利用一次函数图象解决实际问题专项训练 (含答案) (1)
一次函数 专项训练
专训1.一次函数的两种常见应用
名师点金：
一次函数的两种常见应用主要体现在解决实际问题和几何问题．能够从函数图象中得到需要的信息，并求出函数解析式从而解决实际问题和几何问题，是一次函数应用价值的体现，这种题型常与一些热点问题结合，考查学生综合分析问题、解决问题的能力．
利用函数图象解决实际问题
题型1 行程问题
(第1题)
1．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y(km )与甲车行驶的时间t(h )之间的函数关系如图所示，则下列结论
①A ，B 两城相距300 km ；
②乙车比甲车晚出发1 h ，却早到1 h ；
③乙车出发后2.5 h 追上甲车；
④当甲、乙两车相距50 km 时，t ＝54或154
. 其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h；
(2)求线段DE对应的函数解析式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
(第2题)
题型2工程问题
3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．
(2)求乙组加工零件总量a的值．
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
题型3实际问题中的分段函数
4．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙店标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．
(1)分别写出到甲、乙两个商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数解析式；
(2)李阿姨要买一条质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商店购买合算？
5．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t
的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费
y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？
(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数解析式．
(第5题)
利用一次函数解几何问题
题型4利用图象解几何问题
6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；
(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；
(3)当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2?
(第6题)
题型5利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)
7．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设动点P所经过的路程为x，△APD 的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)画出此函数的图象．
(第7题)
专训2.二元一次方程(组)与一次函数的四种常见应用名师点金：
二元一次方程(组)与一次函数的关系很好地体现了“数”与“形”的结合，其常见应用有：利用两条直线的交点坐标确定方程组的解；利用方程(组)的解求两直线的交点坐标；方程组的解与两
6.5一次函数图象的应用(第二课时)教学设计
第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺
五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞 瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发， 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同 的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪 种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km） 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？ 意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否
一次函数图象的应用
一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问
题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
幂函数题型归纳
幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两
点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）
一次函数实际问题
1．一列动车从开往，一列普通列车从开往，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系. 根据图象进行以下探究： （1）到两地相距_________千米，两车出发后___________小时相遇； 普通列车到达终点共需__________小时，普通列车的速度是___________千米/小时. （2）求动车的速度； （3）普通列车行驶t小时后，动车的达终点，求此时普通列车还需行驶多少千米到达？2．某超市鸡蛋供应紧，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如下表： 设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元． （1）试写出W与x的函数关系式． （2）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？ 3．写出下列各小题中y关于x的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为x的正比例函数？ (1)长方形的面积为20，长方形的长y与宽x之间的函数表达式． (2)某地西瓜刚上市时的价格为3.6元/千克，买西瓜的总价y(元)与所买西瓜x(kg)之间的函数表达式． (3)地面气温为28 ℃，高度每升高1 km，气温下降5 ℃，气温y(℃)与高度x(km)之间的函数表达式． (4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总钱数y(元)与月数x之间的函数表达式． 4．甲、乙二人骑自行车分别从A地出发，沿同一路线去B地.甲先行1小时到达距离A地20千米的C地，甲因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶，并与乙同时到达B地.下图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程S（千米）随时间t（小时）变化图象（全程）.据图象回答下列问题： （1）A、B两地相距千米，乙骑自行车的速度为千米/时，甲因事耽误了小时. （2）求出甲、乙二人在途中相遇以后，距离甲出发多长时间甲、乙二人相距5千米？
一次函数图象的应用
一次函数图象的应用 一、知识点睛 1.函数图象共存问题 选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b符号，验证另一个函数图象存在的合理性. 2.数形结合求范围 __________、__________、__________. 二、精讲精练 1.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a 5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（） A．x>1 B．x<1 C．x<2 D．x>2 6.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当0 函数图像专题 1．已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题： （1）确定自变量的取值范围； （2）求当x=﹣4，﹣2，4时y的值是多少？ （3）求当y=0，4时x的值是多少？ （4）当x取何值时y的值最大？当x取何值时y的值最小？ （5）当x的值在什么范围内是y随x的增大而增大？当x 的值在什么范围内时y随x的增大而减小？ 2．（2015?海南）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的 路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示， 则下列说法错误的是（） A．甲、乙两人进行1000米赛跑 B．甲先慢后快，乙先快后慢 C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等 D．甲先到达终点 3．（2015?南通）在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：① 两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人 行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km； ④甲比乙先到达终点．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．（2015?济宁）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满， 在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中 OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（） A．B．C．D． 5．（2008?菏泽）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP 的面积为y，如果y关于x的函数图象如 图所示，则△ABC的面积是（） A．10 B．16 C．18 D．20 6．（2003?武汉）小李以每千克0.8元的价格从批发市场购 进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余 下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克 数之间的关系如图所示，那么小李赚了（） A．32元B．36元C．38元D．44元 7 ．（2015?聊城）小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00 从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车 沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的 行进路程S（km）与北京时间t（时）的函数图象如图所示．根 据图象得到小亮结论，其中错误的是（） A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家 C．妈妈在距家12km处追上小亮 D．9：30妈妈追上小亮 9．（2014秋?海曙区期末）一次长跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次长跑的全程为（）米．A．2000米B．2100米C．2200米D．2400米 一、幂函数图像的分布规律 幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。 1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现， 分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征 线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区 域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1, α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区 域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。 2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。 3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。 4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。 二、幂函数图像的应用 1.识别图像 例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ） A.-2，-12，12，2 B.2，12，-12，-2 C.- 12，-2，2，12 D.2，12，-2，-12 解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。 2.用于判断方程的个数 例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。 类型一根据实际问题分析函数图象 行程问题 各自路程与时间的函数图象 1. (2017哈尔滨)周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是( ) A. 小涛家离报亭的距离是900 m B. 小涛从家去报亭的平均速度是60 m/min C. 小涛从报亭返回家中的平均速度是80 m/min D. 小涛在报亭看报用了15 min 第1题图 2. (2017聊城)端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( ) A. 乙队比甲队提前0.25 min到达终点 B. 当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m C. 0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m D. 自1.5 min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需提高到255 m/min 第2题图 3. (2017锦州)已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y(千米)与甲所用的时间x(分)之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为________． 第3题图 4. 一辆货车从A地匀速驶往相距350 km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原 来的速度匀速驶往A 地．(货车到达B 地，快递车到达A 地后分别停止运动)行驶过程中两车与B 地间的距离y (单位：km )与货车从出发所用的时间x (单位：h )间的函数关系如图所示．则货车到达B 地后，快递车再行驶________h 到达A 地． 第4题图 5. 快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12 小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y (千米)与所用时间x (小时)之间的函数图象如图所示，快车开始返回之后，经过________小时两车相距100千米的路程． 第5题图 6. (2017重庆指标到校卷)周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5 h 一次函数图像及应用中考题目专项训练 1 、(宁夏) 一次函数y=2x -3的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、(陕西省) 若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 3、（安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是【 】 4、(河北)如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ） 5.（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米 3)与干旱的时间 t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )． A ．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3 B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3 D ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 O y x -2 - 4 A D C B O 4 2 y O 2 - 4 y x O 4 - 2 y x 取相反数 ×2 ＋4 图4 输入x 输出y x 6． (黄冈市)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟 第5题 第6题 第7题 7．（桂林）如图，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为 ． 8．（佛山）画出一次函数y=-2x+4的图象，并回答：当函数值为正时，x 的取值范围是 ． 9．（湘西）一次函数y=3x -b+1的图像过坐标原点，则b 的值为 ． 10．（天津）已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ ． 11．（乌鲁木齐）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？ （2）当0.5x ≥时，求储气罐中的储气量一（立方米）与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． /天 t /万米3 V 20040060080010001200O 5040 302010O y x 2 -1 专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是() 图1－ZT－1 2．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的() 图1－ZT－2 3．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1－ZT－3 4．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限． ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过() 图1－ZT－4 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是() 图1－ZT－5 7．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为() 图1－ZT－6 图1－ZT－7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 图1－ZT－8 9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc； (2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 图1－ZT－9 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． ) 一次函数图像信息题1 基础扫描：1.会观察函数图像（一横、二纵、三起始、四关键、五分段、六解析） 2.已知两点用待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回） 举一反三： (陕西省)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货 后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示． 根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离． 思路导航：关键弄清图像的信息，并会观察图像。弄清折线的含义及各段的含义。 解：（1）不同，理由如下： ∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时， ∴往、返速度不同． （2）设返程中y 与x 之间的表达式为y ＝kx+b ， 则? ? ?+=+=.50, 5.2120b k b k 解之，得? ? ?=-=.240, 48b k ∴y ＝－48x+240．（2.5≤x≤5）（评卷时，自变量的取值范围不作要求） （3）当x ＝4时，汽车在返程中， ∴y ＝－48×4+240＝48． ∴这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离为48km ． 模仿操作： 1．（ 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A 村步行返校．小王在A 村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s (千米)和小王从县城出发后所用的时间t (分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求： （1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A 幂函数的图像与性质 （三）幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数 注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x = C ．2y x = D ．1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数 y =_______． 2.幂函数的图像 幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同． α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立； 3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减 增 增 x ∈(0,+∞)时，减； x ∈(-∞,0)时，减 定点 （1，1） 例3．比较大小： （1）112 2 1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质： (1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增； 当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断． 例4．已知幂函数2 23 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于 原点对称，求m 的值． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋ φ)(A >0，ω>0)，x ∈ [0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ 2πω f ＝1 T ＝ω 2π ωx ＋φ φ 2.如下表所示. x 0－φ ω π2 －φω π－φ ω 3π2 －φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A －A 3.函数y x y A x 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π 2，1)，(π，0)，(3π2，－ 1)，(2π，0)这五个点．( × ) (2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π 4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋ π 4 )．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π 2 个单位长度得到的．( √ ) (4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π 4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ ) (6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2 .( √ ) 1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1 2个单位长度 B ．向右平行移动1 2个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A 解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋1 2)的图象，即函数y ＝ sin(2x ＋1)的图象． 2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π 2)的部分图象如图所 示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π 3 B ．2，－π 6 C ．4，－π 6 D ．4，π 3 答案 A 解析 ∵34T ＝5π12－????－π 3，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π 3，k ∈Z ， 又φ∈??? ?－π2，π2，∴φ＝－π 3，故选A. 课题：6.5一次函数图象的应用（2） 【教学目标】 1、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。 2、从函数图象中正确读取信息，进一步发展学生的数形结合能力。 一、自主探究 阅读课本202p 页，并完成相应的空格部分。 例1、如图，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售的关系，根据图象填空． ①当销售量为2t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ②当销售量为6t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ③当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本． ④当销售量 时，该公司赢利， 当销售量 时，该公司亏损． ⑤1l 对应的函数解析式是 ． 2l 对应的函数解析式是 ． 二、练习： 1、如图分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。 根据图象可以知道： （1）这一次是 米赛跑 （2）表示兔子的图象是 （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米 （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米 （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟 三、自学课本P203－204页，并完成相应的问题。 例2、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶 （如图），下图中l 1，l 2分别表示两船相对于海岸 的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的关系． （1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ t （2）A，B哪个速度快？ （3）15分钟内B能否追上A？ （4）如果一直追下去，那么B能否追上A （5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？ 四、练习： 1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆？ 2、如图：OA、BA分别表示甲乙两名学生跑步过程的一次函数的图象，图中s和t分别表示 函数图像练习题 1、小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后，小 华立即在电脑上打字录入这篇文 章，录入一段时间后因事暂停，过 了一会儿，小华继续录入并加快了 录入速度，直至录入完成.设从录 入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y，下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（） 2、某人匀速跑步到公 园，在公园里某处停留 了一段时间，再沿原路 匀速步行回家，此人离 家的距离与时间 的关系的大致图象是 ( ) 3、如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段B0、0A匀速运动到点A，则0P的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（） 4、某人进行登山活动，从山脚到山顶，休息一会儿又沿原路返回。若用横轴表示时间t，纵轴表示与山脚距离h，那么反映全程h与t 的关系的图是（） 5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与所用时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多 C．甲先到达终点 D．甲、乙两人的速度相同 6．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌 龟还是先到达了终点．……”用 s1，s2分别表示乌龟和兔子的行程， t为时间，则下列图象中与故事情 节相吻合的图象是（） 7．如图是古代计时器----“漏壶”的示意图在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时 间内y与x的函数关系 8、如图所示的曲线，哪个表示y 是x的函数（） 9．如图所示，一枝蜡烛上细 下粗，设这枝蜡烛点燃后剩下 的长度为h，点燃时间为t，则能大 致刻画出h与t之间函数关系的图象是（） 幂函数图象有规律 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？ 1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n ＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n ＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。 3．0＜n ＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n ＝O 时，变形为y ＝1（x ≠0），平行于x 轴的射线。 5．n ＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。 2．第一象限内图象走向之规律（如图1）： x ≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O ＜x ＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y ＝x 连成一体。 3．各个象限内图象分布之规律：设p n q = ，,p q 互质，,p Z q N 挝。 1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。 2．n ＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。 3．n ＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y 轴对称（如图2）。 4．n ＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。 5. 当n<0时，图像与x 轴，y 轴没有交点。 知识点：幂函数的图象特征: （1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象． 先根据函数特征画出第一象限图象； ① 所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 并且图象都过点（1，1）； ②0>α时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间),0[+∞上是增函数． ③0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减 函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴， 当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． （2）如果幂函数是奇函数，在第 象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第 象限内有其轴（y 轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内． 函数图像练习题 1、小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文章，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x ，录入字数为y ，下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是（ ） 2、某人匀速跑步到公园，在公 园里某处停留了一段时间，再沿 原路匀速步行回家，此人离家的 距离与时间 的关系的大致图象是( ) 3、如图，扇形OAB 动点P 从点A 出发，沿线段B0、0A 匀速运动到点A ，则0P 的长度y 与运动时间t 之间的函数图象大致是（ ） 4、某人进行登山活动，从山脚到山顶，休息一会儿又沿原路返回。若用横轴表示时间t ，纵轴表示与山脚距离h ，那么反映全程h 与t 的关系的图是（ ） 5．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s （米）与所用时间 t （秒）的关系如图所示，则下列 说法正确的是（ ） A ．甲比乙先出发 B ．乙比甲跑的路程多 C ．甲先到达终点 D ．甲、乙两人的速度相同 6．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：“领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是，急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．……”用s 1，s 2分别表示乌龟和兔子的行程，t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的图象是（ ） 7． 如图是古代计时器----“漏壶”的示意图 在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出， 壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计 算时间。用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系？ 8、如图所示的曲线，哪个表示y 是x 的函数（ ） y x y x y x y x §2.3幂函数（教案） 教学目标： 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简 单的应用。 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数 的图象和性质；培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。 教学重点： 重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。 教学关键：揭示出幂函数y x α =的图象的规律。 教学准备：多媒体课件，几何画板。 教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。 学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。 教学程序与环节设计： 教学过程与操作设计： 材料二：幂函数的图象变化规律归纳 ∞）都有定义，并且图象都经 板书设计： 幂函数 1、幂函数的定义例2 例4 2、幂函数的图象与性质 教案说明： （1）本节课的教学内容，课本中虽然只有3页，但内容丰富。课本通过几个特殊幂函数的图象类比 归纳，得到图象都通过点(1,1)。 （2）本节是新课标新增加的内容，教材不仅仅学习有关幂函数图象与性质的问题，还包含着教会学 生通过观察和思考，得到有关幂函数的一些知识的问题。 （3）有意识地将新知识的学习和研究方法渗透到教学过程之中，通过教学过程的设计，将这部分内 容适当展开，重新组合，使知识的传授和能力的培养有机地结合到一起。 （4）利用几何画板方便地研究出幂函数的图象，充分展示由幂指数的变化引起幂函数图象的变化的 内部规律。这样学生就容易从所举函数的个性中归纳出共性来，从而在整体上对幂函数的图象 与性质有较深刻的了解。 学生做题前请先回答以下问题 问题1：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第_______象限；当k0时，图象必过第_______象限； 当b0时，图象必过第_______象限；当b0时，图象必过第_______象限． 问题2：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质_____________； ②验证___________________________________． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第象限；当k0时，图象必过第象限； 当b0时，图象必过第象限；当b0时，图象必过第象限． 答：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第一、三象限；当k0时，图象必过第二、四象限； 当b0时，图象必过第一、二象限；当b0时，图象必过第三、四象限． 问题2：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质； ②验证． 答：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b的符号； ②验证另一个函数图象存在的合理性． 一次函数图象的应用（图象共存问题）（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.一次函数y=-ax+4与正比例函数y=2ax（a为常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图象共存问题 2.一次函数y=kx-k2与正比例函数y=-kx（k为常数且k≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图象共存问题 3.一次函数y=mx+n与正比例函数y=nx（m，n是常数，且mn≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：(完整版)八年级函数图像练习题
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