湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

湖南省长郡中学2019-2020学年上学期期末考试

高二数学（理）试题

一、选择题：本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.与命题“若a A ∈，则b A ?”的真假性相同的命题是（ ）

A ．a A ∈或b A ?

B ．若b A ?，则a A ∈

C ．若a A ?，则b A ∈

D ．若b A ∈，则a A ?

2.某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）

A ．10200y x ∧=+

B ．10200y x ∧=-+

C ．10200y x ∧=-

D ．10200y x ∧=--

3.设复数113z i =-，232z i =-，则12

z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

4.“0x <”是“ln(1)0x +<”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件

5.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，E F G 、、分别是11DD AB CC 、、的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（ ）

A

B

D ．0 6.若二项式7(2)a x x +的展开式中31x

的系数是84，则实数a =（ ） A ．2 B

C.1 D

7.函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(,)a b 内的极

大值点共有（ ）

A ．1个

B ．2个 C.3个 D ．4个

8.设椭圆2212x y m +=和双曲线2

213

y x -=的公共焦点分别为12,F F ，P 为这两条曲线的一个交点，则12||||PF PF ?的值等于（ ）

A ．3

B ． D ．9.在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a ?>?.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q >，则4578,,,b b b b 的一个不等关系是（ ）

A ．4758b b b b +>+

B ．4758b b b b +<+

C. 4857b b b b +>+ D ．4857b b b b +<+

10.设,,a b c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a

+（ ） A ．都大于2 B ．都小于2

C.至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2

11.函数2()276f x x x =-+-与()g x x =-的图像所围成的封闭图形的面积为（ ）

A ．23

B ．2 C.83

D ．3 12.若函数3()12f x x x =-在区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）

A ．3k ≤-或11k -≤≤或3k ≥

B ．31k -<<-或13k <<

C. 22k -<< D ．不存在这样的实数k

13.假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间，那么小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（ ）

A ．34

B ．14 C.78 D ．18

14.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工

作，则不同安排方案的种数是（ ）

A ．152

B ．126 C. 90 D ．54

15.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A B 、两点，直线2l 与C 交于D E 、两点，则||||AB DE +的最小值为（ ）

A ．16

B ．14 C. 12 D ．10

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

16.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有 ．（用数字作答）

17.在ABC ?中，不等式

1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π

+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想在n 边形12n A A A 中，不等式 成立．

18.如图，60?的二面角的棱上有,A B 两点，

线段AC BD 、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB ，已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长等于 ．

19.已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=?，则C 的离心率为 ．

20.已知函数1()ln 22

x f x =+，2()x g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.

21.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,4)，离心率为35

. （1）求椭圆C 的方程；

（2）求过点(3,0)且斜率为

45

的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标. 22.设曲线2()x ax f x e =在点(1,(1))f 处的切线方程为3y x b e =+（其中，,R a b ∈，e 是自然对数的底数）. （1）求,a b 的值；

（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.

23.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=?.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=?，求二面角A PB C --的余弦值.

24.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，倾斜角为45?的直线l 过点F 与抛物线C 交于,A B 两点，

OAB ?的面积为O 为坐标原点）.

（1）求p ；

（2）设点E 为直线2

p x =与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为12,k k 的两条弦,EM EN ，如果121k k +=-，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标.

25.已知函数2()ln 21f x x x ax =+-+（a 为常数）.

（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；

（2）若存在0(0,1]x ∈，使得对任意的(2,0]a ∈-，不等式202(1)()24a me a f x a a ++>++（其中e 为自然数对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围.

湖南省长郡中学2019-2020学年上学期期末考试

高二数学（理）试题参考答案

一、选择题

1-5:DBDBD 6-10:CBACD 11-15：CBCBA

二、填空题

16.34 17.2123

111111(2)n n n A

A A A A n π-++

++≥- 18.20.ln2 三、解答题 21.解：（1）将(0,4)代入椭圆C 的方程得2161b =，∴4b =. 又35c e a ==得222925a b a -=即2169125

a -=，∴5a =. ∴椭圆C 的方程为22

12516

x y +=. （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为4(3)5

y x =-， 设直线与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，

将直线方程4(3)5

y x =-代入椭圆C 的方程，得22(3)12525x x -+=， 即2380x x --=，于是123x x +=， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==，121226(6)255

y y y x x +==+-=-， 即中点坐标为36(,)25

-. 22.解：（1）22

222'()()x x x

axe ax e ax ax f x ex e --==， 依题可得：3'(1)a f e e =

=，∴3a =. 又33(1)f b e e

==+，∴0b =. ∴3a =，0b =.

（2）23()x x f x e =，2363(2)'()x x

x x x x f x e e -+--==， ∴()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减

故()f x 在区间[3,3]-上的最大值为max{(3),(2)}f f -=3(3)27f e -=，最小值为

min{(0),(3)}(0)0f f f ==.

23.解：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB AP ⊥，CD PD ⊥.

由于//AB CD ，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD .

又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .

（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，

故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -

.

由（1

）及已知可得

A ，2P ，

B ，(2

C . 所以(22PC =-

，(2,0,0)CB

=

，2(22PA =， (0,1,0)AB =

. 设(,,)n x y z =是平面PCB 的法向量，

则00n PC n CB ??=???=??

即0

220x y z ?+-=?=，可取(0,1,n =-. 设(,,)m x y z =是平面PAB 的法向量，

则00m PA m AB ??=???=??

，即0220x z y -=???=?

.可取(1,0,1)m =. 则3cos ,||||

n m n m n m ?==-， 所以二面角A PB C --的余弦值为. 24.解：（1）(,0)2p F ，则直线l 的方程为2

p y x =-，代入抛物线方程得22304p x px -+=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则123x x p +=.

根据抛物线定义1||2p AF x =+，2||2

p BF x =+， 所以12||||||4AB AF BF x x p p =+=++=.

坐标原点O 到直线l

的距离4p

d ==. 所以OAB ?

的面积为2

14242

p ??== 解得2p =.

（2）抛物线方程为24y x =，直线2

p x =，即1x =，解得(1,2)E . 设33(,)M x y ，44(,)N x y .根据题意，显然12,k k 都不等于零.

直线1:2(1)EM y k x -=-，即11(2)1x y k =-+，代入抛物线方程得211

4840y y k k -+-=. 由于点(1,2)E 在抛物线上，依据根与系数的关系得31824y k ?=

-， 所以3142y k =-.同理42

42y k =-. 而直线MN 的方程为343331()y y y y x x x x --=--，因为,M N 也在抛物线上，所以2334y x =，2444

y x = 代入上述方程并整理得343434

4y y y x y y y y =+++， 12341212

4444k k y y k k k k +-+=?-=-， 1234121212

2()464[1]4(1)k k y y k k k k k k +=-+=+. 令12

1t k k =，则3444y y t +=--，344(61)y y t =+， 代入MN 的方程得161y 11

t x t t +=--++， 整理得(6)(1)0t y x y ++++=，

若上式对任意变化的t 恒成立，则1060x y y ++=??+=?，解得56x y =??=-?

. 故直线MN 经过定点(5,6)-.

25.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

1'()22f x x a x

=

+-， 依题意：1'()220f x x a x

=+-≥在(0,)+∞上恒成立. 即：122()a x g x x

≤+=在(0,)+∞上恒成立.

∴min ()2g x a ≤=. （2）依题意：对任意的(2,0]a ∈-，不等式20max 2(1)()24a me a f x a a ++>++都成立， 即对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420a me a a a +--->都成立，

记2()2(1)42a h a me a a a =+---，由(0)0221h m m >?>?>， 且222(2)04820m h m e e

-≥?--+-≥?≤. ∴对任意的(2,0]a ∈-，不等式22(1)420a me a a a +--->都成立的必要条件为2(1,]m e ∈. 又'()2(1)224a a h a me a me a =++--2(2)(1)a a me =+-，

由'()0h a =得2a =-或ln a m =-.

因为(2,0]a ∈-，所以2(2)0a +>，

①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )a m ∈--时，'()0h a <，

(ln ,0)a m ∈-时，'()0h a >，

所以min ()(ln )ln (2ln )0h a h m m m =-=->，

所以(2,0]a ∈-时，()0h a >恒成立；

②当2m e =时，2'()2(2)(1)a h a a e +=+-，因为(2,0]a ∈-，所以'()0h a >，

此时()h a 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，

所以(2,0]a ∈-时，()(2)0h a h >-=成立.

综上，m 的取值范围是2(1,]e .