北师大版八年级数学上第七章平行线的证明教案
第七章平行线的证明
§7.1 为什么要证明
【教学目标】
知识与技能目标：
1.经历观察、验证、归纳等过程，让学生初步了解猜测得到的结论不一定正确。要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理，从而认识证明的必要性。
2. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等。
过程和方法目标：体会、检验数学结论常用的方法：实验验证、举反例验证、计算、推理等，发展学生推理能力。
情感与价值目标：通过积极参与，理解数学的严谨性；培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的自信心，让学生体会数学来源于生活又为生活服务的道理。
【教学重点】理解判断一个结论是否正确需要进行证明。
【教学难点】理解数学证明的重要性；验证某些问题的结论正确与否。
【教学方法】问题情境、观察猜想、交流讨论、验证总结
【教学过程】
一、创设情境，引入新课
内容1.课件展示故事《知人不易》谈谈自己的感受.
颜回是孔子最得意的门生。
有一次孔子周游列国，困于陈蔡之间七天没饭吃.颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭.米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中。
等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：「我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他。」颜回赶快说：「不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了.」
孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：「所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃.弟子记之，知人固不易！」
内容2.我们再来欣赏几组图片(多媒体展示)：
上图中的线是直的吗?
下图中中心的两个圆哪个大?
【师】我们常说，
“
百闻不如一见”，“耳听为虚，眼见为实”，但“眼见真的全为实”吗？
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?
今天这节课我们就通过具体问题来探讨判断数学结论正确性的方法——引入新课，
【设计意图】通过故事和精美的图片，使学生在愉快的氛围中激发起学习兴趣，燃起学习热情。 二、活动探究 课件展示内容：
活动一：猜一猜，比一比 1．、观察图1中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下．
22中四边形是正方形吗？然后设法验证． 3、观察下列图形，回答下列问题：
（1）线段a ，b 相等吗? （2）谁与线段d 在一条直线上？
通过观察四幅图使我们明白：眼见 （未必、一定）为实，只有实践才能出真知的道理。
【设计意图】通过看一看，让学生明白视觉有可能产生错觉，了解生活中的错觉.然后
a b
通过测量让他们知道仅仅靠观察得到的数学结论不一定正确，同时也锻炼了学生的语言表达能力。
在活动1的基础上，问：所有的数学结论都可以用实验的方法来验证吗？ 活动二：想一想，量一量
如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的ABC 都成立吗?与同伴进行交流。
位置关系： 数量关系：
学生以小组为单位进行讨论交流。
活动2让我们明确：毕竟是测量结果，测量有 ，结论难以令人信服，还需寻求更可信的方法。
【设计意图】通过测量得到问题的结论，多次实验后认为结论的正确性，但毕竟是测量得出的，还得需要证明，让学生体会证明的必要性。 活动三：做一做，推一推
质数：就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数又叫做 数。如2，3，5，7，11，13，17，19，23……这样的数就是质数。
合数：一个数的约数除了1和它本身，还有其它的约数，叫做合数. 如 4、6、8、9、10、12、14、15、16……这样的数就是合数。 寻找质数：（1）不难发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2－n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n2－n+11的值都是质数。你认为呢？与同伴交流。
（2）你能否得到结论：对于所有自然数n ， n 2－n+11的值都是质数？ 先猜测，后验证判断。
答：猜测结果为 。 验证如下：
判断：猜测的结果与验证的结果 一样。 举反例是一种常用验证数学结论不正确的方法。
【设计意图】让学生进一步对归纳所得的结论产生怀疑，且体验举反例是判断错误结论的方法.通过该题的计算，用归纳的方法，仍不能判断数学结论的正确性，同时培养了学生的合作竞争意识。 活动四：试一试，算一算
设圆的半径为r ，则圆的周长C= ；若圆的周长为C ，则圆的半径r= 。 一个圆环外圆周长比内圆周长多6πcm ，则环宽为______cm ．
如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m 的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
答：猜测结果为 。
验证如下：
解：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为：
)________(2)(221m c
c ≈=-+π
ππ= (cm) 答：它们的间隙不仅 ，而且 。 说明：猜测的结果与验证的结果 一样。
进一步明确：要说明一个结论是否正确，光靠观察、猜测是不够的，必须经过有根有据的 才行．
学生先自己感觉，然后再分小组讨论交流，发表自己的见解，最后进行计算验证自己的所想。教师参与到学生中间去，对计算有所迷惑的小组，进行适当的引导。验证结束后，小组派代表回答.
【设计意图】通过这个问题让学生感受凭直觉得到的结论不一定正确，需要通过计算进行推理.感受为什么要证明。 三、归纳明晰 活动一：读一读 课本“费马的失误”
【设计意图】通过阅读材料使学生认识到，仅由几个特殊情况归纳出来的结论并不可靠，即使如费马这样的名家，归纳的结论也难免错误。 活动二：议一议
【师】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法是人们认识事物的重要手段。那么通过实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验等方法得到的结论都正确吗？通过以上问题，你怎样才能判断一个结论是否正确?说说你的经验与困惑。 学生讨论交流，教师参与其中，然后进行归纳。
【生】实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳、猜测、直觉、经验是不够的，必须进行有根有据的证明。
【设计意图】本环节是本节课的重难点，从学生的实际情况出发，让学生理清判断一个数学结论的正确性必须进行有根有据的证明.利用小组合作方式培养学生的合作意识。
【实际效果】学生在自由愉快的环境中学习，在讨论中探索知识，最后得出结论。 四、巩固提高 1.随堂练习
2.当n 为正整数时，2
31n n ++的值一定是质数吗?
3.下列判断是否正确?
（1）从书架上抽出5本书，5本书都是数学书，因此书架上的书都是数学书. （2）有一条线段AB 长3cm ，另一条线段BC 长2cm ，那么AC 长为5cm. 4.此次数学考试七年级九班全班65名学生没有不及格的。李妙是七年级九班的一名学生，由此推断李妙考试 (填“及格”或“不及格”)。
（学生先独立完成，然后再交流自己的结果， 教师巡视，了解学生对知识的掌握情况。）
【设计意图】在巩固提高过程中，让学生进一步体会证明的必要性，明白数学来源于生活，又服务于生活，联系生活. 五、课堂小结
【师】通过本节课的学习，你有哪些收获？和大家一起分享吧！
【生1】我知道了眼睛看见的未必是真实的.
【生2】实验得到的结论也不一定是真实的.
【生3】归纳得到的结论同样不一定真实.
【生4】要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠观察、测量、经验或实验是不能确定的，必须是一步一步有根有据的证明。
……
学生畅所欲言，相互进行补充，用自己的语言进行归纳
【设计意图】引导学生自己小结本节课的的知识点，使学生再次回顾探索的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，在整个过程中，体会证明的必要性.
五、布置作业
习题7.1
§7.2 定义与命题（一）
【教学目标】
知识与技能：
1.了解定义、命题、真命题、假命题的含义。
2.了解命题的结构，会区分命题的条件和结论；会把一个命题写成“如果……那么……”的形式；会判断命题的真假。
3.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。
过程与方法：
1.经历感受定义的含义，体验命题的含义，感悟数学术语的科学性和严密性.
2.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性，通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯。
3.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法。
情感态度价值观：
1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立
统一体。
2.通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系。
3.在合作交流的过程中，鼓励学生大胆尝试，获得成功的体验，培养学生合作意识和团队精神。
【教学重点】理解命题的组成：条件和结论；会判断命题的真假。
【教学难点】找出命题的条件和结论
【教学方法】引导发现、合作探究
【教学过程】
第一环节：情景引入（由学生表演）
活动内容：
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
小亮说：……
小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”
小刚说：“……”
小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：
一人说：“这黑客是个小偷吧？”
另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼。”……
一人说：“那因特网肯定是一张很大的网。”
另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网。”……（表演结束）
教师提出问题：在这个小品中，你得到什么启示？
人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行。为此，我们需要给出它们的定义。——引入新课
①关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行；
②对定义含义的解释；
③举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义（学生举例，看哪个小组的举例又多又好）。
活动目的：让学生通过对一个学生比较感兴趣的名词：“黑客”、“因特网”的不同理解，从而使学生了解定义的含义，由此产生了对定义的兴趣。
第二环节：了解定义、命题含义
活动内容1：定义的含义（师生互动）
［师］在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给他们下定义.
如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国
公民”的定义。
大家还能举出一些例子吗？
［生］“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。［生］“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义。
［生］“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义。
［生］“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义。
……
［师］同学们举出了这么多例子。说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定。
设计意图：兴趣是最好的老师。根据学生的年龄特点，安排趣味情境，提出问题，设置悬念，激发学生学习兴趣。而且从身边的生活实例引出数学问题，学生更熟悉。同时在这个设计的这个环节，培养了学生的自学能力，独立思考解决问题的能力。
［生］如果B处工厂排放污水，那么e、f、g处也会受到污染的.
［生］如果C处受到污染，那么a、b、c处便受到污染.
［生］如果C处受到污染，那么d处也会受到污染的.
［生］如果E处受到污染，那么a、b处便会受到污染.
［生］如果h处受到污染，我认为是A处的那个工厂或B处的那个工厂排放了污水.因为A处工厂的水向下游排放，B处工厂的污水也向下游排放。
学生讨论交流互动，老师归纳：同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断。像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题。
即：命题是判断一件事情的句子。如：
熊猫没有翅膀；对顶角相等。大家能举出这样的例子吗？……
［师］很好。大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，
不能同时既否定又肯定。如：
你喜欢数学吗？
作线段AB=a.
平行用符号“∥”表示.
这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题。一般情况下：疑问句不是命题。图形的作法不是命题。
小结：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整。从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句。
活动目的：通过对水流的污染问题引入命题的概念，使学生了解命题的含义，会判断某些语句是不是命题。学生通过小组讨论交流、互相帮助，培养了合作学习团队精神。
第三环节：探索命题的结构与真假
活动内容Ⅰ：课本想一想
1．探讨命题的结构特征：投影展示
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同结构特征？与同伴交流。
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等。
（2）如果a=b，那么a2=b2。
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等。
（4）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
分小组交流讨论，教师引导进行归纳。
2．总结命题的结构特征
学生活动——探索命题的结构特征，学生观察、分组讨论，得出结论
（1）上述命题都是“如果……，那么……”的形式叙述的。
（2）上述命题都是由已知得到结论。
（3）上述个命题都有条件和结论。
教师活动——归纳总结
（1）一般地，每个命题都是由条件和结论两部分组成的，条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项。
（2）命题通常都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出部分是条件，“那么”引出部分是结论。每个命题都有条件和结论。
活动目的：对命题的结构进行分析，让学生会判断一个命题的条件和结论。
应告诫学生当一个命题改写成“如果……那么……”的形式时，要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整。活动内容Ⅱ：课本做一做
1．探究命题的真与假：投影展示
找出下述命题中的条件和结论，指出它们哪些是正确的命题？哪些是不正确的命题？你又是如何知道的呢？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
（3）全等三角形的面积相等。
（4）等腰三角形的两个底角相等。
（5）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识。
2．探究真假命题的验证
结论：
（1）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
（2）有的命题的描述没有用“如果……那么……”的形式，在分析时可以扩展成这种形式，以分清条件和结论。
（3）说明一个命题是假命题，通常举出一个反例就可以了。使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。但是要说明一个命题是正确的无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性．如何验证命题的正确性呢？
活动目的：使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题。
第四环节：展示生动
活动内容1：随堂练习
活动内容2：
1.你能列举出一些命题吗？
2.举出一些不是命题的语句。
答案：如：
①画线段AB=3 cm.
②两条直线相交，有几个交点？
③等于同一个角的两个角相等吗？
④在射线OA上，任取两点B、C。等等。
3.认真思考以下句子，并回答哪些是命题，并判断命题的真假。
（1）动物都需要水（是）
（2）猴子是动物的一种（是）
（3）美丽的天空（否）
（4）负数都小于零（是）
（5）你的作业做完了吗？（否）
（6）如果a=b，a=c，那么b=c（是）
（7）如果|a|=3，那么a=3（是）
（8）作线段AB的中垂线（否）
（9）两个锐角之和一定是钝角（假命题）
活动目的：训练与反馈。让学生展示这节课的成果，培养了学生的自信心。
第五环节：课堂小结
活动内容：师生互动，归纳总结：
1.本课时学习了什么内容？
2.有哪些数学方法？
3.你还有哪些困惑？
设计意图：前后呼应，让整堂课成一整体。让学生进一步感受一方面数学来源于生活又实践于生活，感受学习数学知识的重要性. 同时使学生对本节知识体系有一个清晰的认识。同时对本节课中还存的困惑，及时的进行解决，不让学生留下残缺，争取达到透彻的目的。
第六环节课后作业
习题7.2
§7.2 定义与命题（二）
【教学目标】
知识与技能
1.理解公理、定理和证明的含义以及它们与命题之间的联系与区别。
2.理解本教科书上的八条基本事实，并通过实例感受证明的过程与格式。
3.结合实例意识到证明的必要性，培养说理有据，有条理的表达自己想法的良好意识，体会证明的严密性。
过程与方法
1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体。使学生学会反面思考问题的方法，培养学生的语言表达能力。
2.经历实际情境，初步体会公理化思想和方法。
情感态度与价值观
阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣。
【教学重点】正确区分公理、定理和证明间的关系。
【教学难点】如何证明一个定理，明确证明的过程与格式。
【教学方法】探讨发现、合作交流
【教学过程】
第一环节：回顾引入
1.活动内容：投影展示
阅读下面的句子：
①三角形内角和等于180°。
②对顶角相等。
③今天天气好吗?
④连接A，B两点。
⑤正数大于负数。
⑥作线段AB∥CD。
⑦能被5整除的数末位数字一定是0。
⑧绝对值相等的两个数一定相等。
⑨天空是美丽的。
（1）在上面的句子中，属于命题的是：
（2）在上面的句子中，是命题的改写成“如果……，那么……”的形式，并说出它们的条件和结论。
（3）在上面的命题中，假命题的是
设计意图：学生举手发言，提问个别学生。回顾上节知识，为本节课的展开打好基础。
2.引入新课
想一想：举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？
设计意图：由上节课的知识内容自然的过度到本节课的知识点，开门见山，直奔主题，为本节课的展开打好基础做好铺垫，自然地过渡到本节课的目标，从而出示目标。3.出示本课时教学目标
多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标。
设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
第二环节：介绍《几何原本》、公理、定理等知识
活动内容：读一读《原本与几何原本》
1.学生阅读：
在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
2.教师说明：
（1）《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍象《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。
（2）公理、证明及其定理的定义
①公理：公认的真命题称为公理
②证明：演绎推理的过程称为证明。
除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
③定理：经过证明的真命题称为定理。
每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。且证明时所需的定义、公理和其它定理都要编写在这个定理的前面。
（3）公理、定理、概念和证明的关系（投影展示）
第三环节：介绍本教材的公理（学生阅读）
本套教材选用九条基本事实（即公理）作为证明的出发点和依据。（略）
其它公理：
此外，数与式的运算律和运算法则，等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质也可作为证明的依据。比如：如果a=b，b=c，那么a=c．（等量代换）
活动目的：采取教师讲解与学生习读相结合的方式。培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯。
第四环节：交流汇报，教师点拨
1.探究证明的格式
活动内容：自学例题，并总结得出“对顶角相等”这一定理。注意格式及每一步的依据。处理方式：学生先自学例题，然后小组讨论交流每一步的依据，最后教师点拨注意格式。
2.课本所给定理共有三条，你是如何证明的？小组交流成果。
处理方式：让学生分小组合作讨论，得出证明的方法。当然三个定理学生未必能一一做出，多数学生可能考虑根据条件，画出图形，结合图形，写出已知、求证；最后有条理地写出证明过程来解决，所以教师可以作必要引导，然后学生根据教师的引导作进一步的求解。
设计意图：以“小组学习”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，既培养了学生数学转化的思想意识，又提高了学生的观察力和运用数学语言的表述能力.
3.明确证明一个文字题应该写出已知及其求证，最后来证明，每证明一步要写出依据。第五环节：练习巩固，拓展提高
活动内容：随堂练习。
处理方式：可由学生直接到黑板板演过程，其余学生练习本上完成。完成后可由学生对板演的过程进行矫正，充分发挥学生的小老师的作用。
设计意图：通过该题让学生进一步体会证明定理的一般步骤：
1.根据条件，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号；
2.结合图形，写出已知、求证；
3.分析因果关系，找出由已知推出结论的途径；
4.有条理地写出证明过程(每一步推理要有依据)。
第六环节：反思与小结
活动内容：这节课你的主要收获是什么？还有没有感到困惑的地方？学生畅谈自己的收获，并提出自己的困惑之处！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，学生对本节课所学进行梳理，形成了较为清晰的知识脉络。并养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识。
第七环节：课后作业：
习题7.3
§7.3平行线的判定【教学目标】
知识目标：
1.理解掌握平行线的判定公理及两个判定定理。
2.通过经历探索平行线的判定方法的过程，逐步掌握规范的推理论证格式。 技能与方法：
通过学生画图、讨论、推理等活动，发展学生的逻辑推理能力，了解化归和分类的思想。
情感、态度与价值观：
通过活动及实际问题的探究，使学生了解数学知识的联系性，在观察，猜想，思考的推理过程中培养学生们的合作交流意识。
【教学重点】平行线的判定公理和定理的应用 【教学难点】证明过程的规范表达
【教学方法】尝试指导、引导发现、交流讨论 【教学过程】
第一环节：情景引入
活动内容：回顾两直线平行的判定方法
师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？
生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线。
生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行。 师：很好。这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的。 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题。除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实。
我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义。“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理。那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨。引入新课
活动目的：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔。
第二环节：探索平行线判定方法的证明 活动内容证明1：投影展示
证明1：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：
如图，已知，∠1和∠2是直线a 、b 被
直线c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补．
求证：a ∥b ．
如何证明这个题呢？我们来分析分析。
师生分析：
要证明直线a 与b 平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明。这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a 与b 即平行。
1
23a b c
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°，所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°，所以∠1=180°－∠2，因此由等量代换可以知道：∠1=∠3。
学生分小组讨论并书写推理过程，投影展示学生成果。
师：这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理。
这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．
注意：
（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据。用来证明新定理。（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内。
活动内容证明2：投影展示
证明2：内错角相等，两直线平行。
师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（投影展示）
学生独立用规范的语言书写这个真命题的证明过程，然后交流展示。
师：这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行．
活动内容3：投影展示
借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？
生1：已知，如图，直线a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．
生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．
师：同学们讨论得真棒。下面我们总结借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，可以得到哪个正确的结论？哪些可以判定两直线平行？
活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式。
第三环节：反馈练习
活动内容：随堂练习
活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．第四环节：课堂小结
活动内容：教师引导学生反思总结。
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：
②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．
③注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．
活动目的：通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．
第五环节：课后作业
习题7.4
§7.4 平行线的性质
【教学目标】
知识目标：
1.理解并掌握平行线的性质；能熟练运用这平行线的性质进行推理和计算。
2.进一步理解和总结证明的一个命题的步骤、格式、方法。
能力目标：
1.了解平行线的性质定理和判定定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程。
2.进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力。
情感目标：
通过在探究活动中的学习让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习的热情和勇于探索、锲而不舍的精神，培养学生观察分析和进行简单逻辑推理的能力。【教学重点】理解和应用平行线性质。
【教学难点】平行线性质定理与判定定理的区别与联系。
【教学方法】情境引入、问题驱动、合作交流
【教学过程】
第一环节、创设情境，导入新课
活动内容：
一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，
第一次拐的角∠B是130°，第二次拐的角
∠C是多少度？
说明：这是一个实际问题，要求出∠C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质。活动目的：
通过对一个实际问题的解决，引出平行线的性质。
第二环节、探究学习，获取新知
活动内容1：
①画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？
②平行公理：两直线平行，同位角相等。
你能写出这个命题的条件和结论吗？
活动内容2：
两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？你能利用已有的定理证明它吗？
处理方式：让学生自己动手尝试写出已知、求证，画出图形，尝试证明，然后组内交流、展示。最后师生共同订正，规范写法。
已知：如图，直线a∥b，∠2和∠3是直线a、b被直线c截出的内错角。
求证：∠2=∠3
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两条直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)．
师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？
学生活动：同学们积极举手回答问题。
教师根据学生叙述，给出板书：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
师：下面请同学们自己推导同旁内角是互补的。并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成。师生共同订正推导过程并写出第三条性质，形成正确板书。
已知：如图，直线a∥b，∠2和∠4是直线a、b被直线c截出的同旁内角。
求证：∠2+∠4=180°
证明：∵a∥b(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
∵∠1＋∠4=180°(邻补角定义)
∴∠2+∠4＝180°(等量代换)
即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成，两直线平行，同旁内角互补。
师：我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：
∵a∥b，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵a∥b(已知)，
∴∠2+∠4＝180°．(两直线平行，同旁内角互补)
（板书在三条性质对应位置上）
活动目的：通过对平行线性质的探索，使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识，认识证明的必要性，进而培养学生分析问题的能力，在学生有成就感的同时也激励了学生的学习兴趣。
活动内容3：
你能用上面的定理，证明其他的平行线的性质定理吗？
例题：定理：平行于同一条直线的两条直线平行。
处理方式：在前面的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，学生已能够进行推理，所以在教师不给任何提示的情况下，学生独立完成，把理由写成推理格式，然后组内交流、展示。最后师生共同订正推导过程。
活动内容4：议一议
完成一个命题的证明，需要哪些环节？
学生交流讨论，最后师生共同归纳。
证明命题的一般步骤：
(1)根据题意画出图形（若已给出图形，则可省略）
(2)根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证；
(3)经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程；
(4)检查证明过程是否正确完善。
第三环节：课堂练习
活动内容：
1、课本随堂练习
2、已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D。
求证：BD平分∠ABC
活动目的：
通过这个活动，培养学生自主学习的能力，让学生经历各种的解答过程，以真正达到学以致用的目的。对学生中出现的不同解法给予肯定，培养学生的解题能力。
第四环节：回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家。
让学生畅谈自己的收获，教师在学生展示后，适当总结：
①归纳两直线平行的判定与性质。
②总结证明一个命题的一般思路及步骤。
活动目的：
使学生认识到平行线的判定与性质是一对互逆定理，并由感性认识上升到理性认识，归纳总结出证明题的一般思路及步骤。
教学效果：
应让学生积极讨论，说出平行线的判定及性质，由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来，由已知直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质，能通过具体实例，使学生在有充足的感性认识的基础上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同，总结证明的一般步骤，养成严谨的推理习惯．
第五环节：课后作业
习题7.5
§7.5 三角形内角和定理（一）
【教学目标】
知识与技
1.掌握三角形内角和定理的证明，灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。
2.初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。
过程与方法
1.对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。
2.通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。
3.引导学生应用运动变化的观点认识数学。
情感与态度目标
通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。
【教学重点】
探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。
【教学难点】
应用运动变化的观点认识数学。
从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。
【教学方法】指导实践、引导发现、交流讨论
【教学过程】
第一环节：情境引入
活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理。
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（如
图（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果。
（1）（2）（3）（4）
试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？
（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。
试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？
教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？？（证明）由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°？渗透公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。
活动目的：
对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。
第二环节：探索新知
活动内容一：动手操作、探索解法：
每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验。通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？
1、开展小组竞赛（看哪个小组发现多？说理清楚。），各小组派代表展示拼图，并说出理由。学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法。
归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线（学生讨论，教师点评），为书写证明过程做好铺垫。
2、指导学生写出已知、求证、证明过程（抽两人板演，教师点评，规范证明格式）。应指出辅助线通常画为虚线，并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。
活动目的：
1、用严谨的证明来论证三角形内角和定理。
2、晒一晒：看哪个同学想的方法最多？调动学生学习的积极性。
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA
∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）A
E
初中数学 10.3平行线的性质1
课题：10.3 平行线的性质（1） 第一课时平行线的性质 年级班姓名： 学习目标： 1．经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。 2．能结合一些具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯。 学习重点： 探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算。 学习难点： 能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题。 一、学前准备 【回顾】 1、平行线的判定方法有哪些？ (1) (2) (3) 2、填空：如图 (1)由∠1=∠2，可以得到∥，理由是 (2)由∠3=∠4，可以得到∥，理由是 (3)由∠DAB=∠5，可以得到∥，理由是 (4)由∠DAB+∠CDA，可以得到∥，理由是 【自学】 1．认真阅读教材P124内容 2．标出平行线的三个性质定理二、探究活动 2 1 c b a 5 4 3 2 1 D C B A
1、操作：画直线AB ∥CD ，再画一条直线EF 分别与AB 、CD 相交得8个角，标出所形成的八个角，如图所示 2、观察并猜想： (1)∠1和∠5是 角，数量关系是： (2)∠3和∠5是 角，数量关系是： (3)∠3和∠6是 角，数量关系是： 3、归纳平行线的性质： 性质1： 〖几何语言〗 性质2： 〖几何语言〗 性质3： 〖几何语言〗 4、你能根据性质1，说出性质2、性质3成立的道理吗？对于性质2，试在下面的说理中注明每步推理的根据。 如图，∵ a ∥b ∴∠1=∠3（ ） ∵∠2=_____（ ） ∴∠2=∠3 5、想一想：平行线的性质与平行线判定的区别是什么？ 【例题分析】 2 1 c b a c 2 1b a
(完整版)北师大版第二章相交线与平行线复习
第二章 相交线与平行线 知识点一、余角与补角： 1、 如果两个角的和是 ，称这两个角互为余角． 2、 如果两个角的和是 ，称这两个角互为补角． 典型考题： 例１：如图所示，点A 、O 、B 在一条直线上，OC 垂直于AB 垂足是O ，若∠1＝∠2，则图互余、互补的角有哪些？ 例2：已知一个角的余角比它的补角的 13 5还少4°求这个角。 3、性质：（1） 的余角相等；（2）同角或等角的 角相等。 例3： （1）如右图，∵∠1+∠A =90°，∠1+∠2=90°（已知）， ∴∠____=∠________（________________________________）； （2）如右图，∵∠2+∠B =90°，∠1+∠2=90°（已知）， ∴∠____=∠________（________________________________）； 4、两个角有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做 ，对顶角的性质：对顶角 。 例4：下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ） 1 2 12 12 12 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例5：如图所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOF ＝3 ∠FOB ，∠AOC=90°,求∠EOC 的度数。 课堂练习： 一、填空题 12D A B C
1.如图，直线l1与l2相交，∠1=50°，则∠2=_________，∠3=_________. 2.如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，∠BOC=150°，则∠DOC=________，∠AOD =________. 3.如图，直线AB与CD相交于O，∠EOD=90°，正确填写下列两角关系的名称. ∠1与∠2:_________________；∠2与∠3:_____________________ ∠2与∠4:_________________；∠1与∠4:_____________________ 三、选择题 1.两条直线相交于一点，则共有对顶角的对数为（） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2.下面说法正确的个数为（） ①对顶角相等②相等的角是对顶角③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.若∠1和∠2互余，∠2与∠3互余，∠1=40°，则∠3等于（） A.40° B.130° C.50° D.140° 四、解答题 1.如图，AO⊥BO，直线CD经过点O，∠AOC=30°，求∠BOD的度数. 考点二、探索直线平行的条件 例1：如图，写出图中的同位角、内错角和同旁内角。 同位角： 内错角： 同旁内角： A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8
(完整版)七年级数学平行线经典证明题
平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个 α 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE= 3 1 ∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是（ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 6.如图，OP ∥QR ∥ST ，则下列各式中正确的是（ ） A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB ∥D E ，那么∠BCD 于（ ） A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． α 45° 30° 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB ∥CD ，AF 平分∠CAB ，CF 平分∠ACD ．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________. 11.如图，AB ∥CD ，∠A=120°，∠1=72°，则∠D 的度数为__________．
北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题
八年级上册第七章平行线的证明 【要点梳理】 要点一、定义、命题及证明 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释： （1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理. (4) 经过证明的真命题称为定理. 3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.要点诠释： （1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论． （2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点三、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 要点诠释： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.
初二上数学 平行线的证明训练题 有答案北师大版
初二上数学第七章平行线的证明训练题（有答案北师大版）（本检测题满分：100分，时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； ③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．点P是直线l外一点，,A为垂足，且PA=4cm，则点P到直线l的距离（）A．小于4cm B．等于4cm C．大于4cm D．不确定 3．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（） A．∠1=∠2B．∠3=∠4 C．∠5=∠D．∠+∠BDC=180° 第3题图第4题图第5题图 4．如图，a∥b,∠3=108°，则∠1的度数是（） A．72°B．80°C．82°D．108° 5．如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（） A．3对B．4对C．5对D．6对 6．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（） A．1个B．2个C．3个D．4个第6题图7．（2013?安徽中考）如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（）A．60°B．65°C．75°D．80°
第7题图第8题图 8．如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠DCB相等的角的个数为（） A．2个B．3个C．4个D．5个 9.下列条件中能得到平行线的是（） ①邻补角的角平分线；②平行线内错角的角平分线；③平行线同旁内角的角平分线．A．①②B．②③C．②D．③ 10.两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（） A．互相重合B．互相平行 C．互相垂直D．相交 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．命题“对顶角相等”的题设是，结论是． 12．一个三角形的两个内角是35°和110°，则另一个内角是． 第13题图第14题图第15题图13．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1与∠2的关系是．
新北师大版八年数学上册平行线的判定教案
a b 1 2 7.3平行线的判定 教学目标： 知识与技能： 1、能根据平行线的判定公理证明平行线的两个判定定理，并能简单应用这个两个判定定理； 2、初步了解证明的基本步骤和书写格式。 过程与方法：经历探究证明定理的思路和证题过程，合作交流，进一步理解证明的步骤、格式和方法。 情感态度价值观：感受几何中推理的严谨、结论的确定，发展初步的演绎推理能力；在探索的过程中学会与他人合作。 教学重点：平行线判定定理的证明及其应用。 教学难点：平行线判定定理证明的思考方法以及书写格式。 课型：新授课。 教学方法：探索讨论法，学案导学法。 教具：多媒体，三角板、导学卷、课件。 教学过程： 一、知识回顾，引入新课 1、从奖状、双杠等实物说明判断两直线平行的方法。 2、平行线的定义是什么？ 3、两条直线在什么情况下互相平行呢？你能写出几种判定方法？ 公理：_________，两直线平行. ①_________，两直线平行. ②_________，两直线平行 从公理“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”来证明其他的两个真命题。 二、自主学习、合作探究 探究（一）（师生共同探究） “内错角相等，两直线平行”是平行线的判定方法。 将上面判定改写成如果……那么……的形式 条件是：，结论是：。 教师示范用规范的语言书写这个真命题的已知、求证，并写出它的证明过程. 已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c 截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b c 3
2 3 1 C A B D 总结：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 这是平行线的判定定理一。可以简单说成：内错角相等，两直线平行。 探究（二）（学生合作探究） “同旁内角互补，两直线平行” 是平行线的另一个判定方法。 1.指出这个命题的条件和结论，画出图形，结合图形写出已知和求证。 2.说说你的证明思路，写出证明过程。 已知：如图，∠1和∠2是直线a 、b 被直线c 截出的同旁内角，且∠1 与∠2互补。 求证：a ∥b . 总结：我们经过推理的过程证明了这个命题是真命题，我们把这个真命题称为：平行线的判定定理二。可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行。 学生总结归纳：证明一个命题的一般步骤： (1)弄清条件和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据条件和结论写出已知、求证； (4)分析证明思路，写出证明过程. 三、学以致用 1、我们可以用如下图所示的两块同样的三角板作出了平行线，你能说出其中的道理吗？ 2、课本随堂练习、习题7.4第1题、第4题 3、导学卷第四部分 四、当堂测试 已知：如图，∠DAB 被AC 平分，且∠1=∠3. 求证：AB ∥CD. 证明：∵ AC 平分∠DAB ( ) ∴ ∠1=∠2 ( ) ∵ (已知) ∴ (等量代换) ∴ AB ∥CD ( ) 五、课堂小结，布置作业 小结：1、判定两直线平行的方法有哪几种？ 2、证明一个命题的一般步骤: 作业：导学卷第六部分 a b c 1 3 2
七年级数学平行线的性质练习题
七年级数学《平行线的性质》练习题 教学目标 1.经历观察、操作、想像、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,推理能力和有条理表达能力。 2.经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算. 重点、难点 重点:探索并掌握平行线的性质,能用平行线性质进行简单的推理和计算. 难点:能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用. 一、选择题 1.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;?③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 2.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 3、如图（1），a ∥b ，a 、b 被c 所截，得到∠1=∠2的依据是（ ） A ．两直线平行，同位角相等 B ．两直线平行，内错角相等 C ．同位角相等，两直线平行 D ．内错角相等，两直线平行 D C B A 1 E D B A (1) (2) (3) 4.如图2所示,AB ∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图3所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,?那么∠BDC 等 于( ) A.78° B.90° C.88° D.92° 6．同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则直线c 、d 的位置关系为（ ） A ．互相垂直 B ．互相平行 C ．相交 D ．无法确定 7．如图4，AD ∥BC ，∠B=30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
北师大版七年级数学下册 第二章 相交线与平行线(答案版)
第二章相交线与平行线 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.如图,在所标识的角中,互为对顶角的是( C ) A.∠1和∠2 B.∠1和∠4 C.∠2和∠3 D.∠1和∠3 2.下列四幅图中,∠1和∠2是同位角的是( A ) A.(1)(2) B.(3)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4) 3.已知∠A＝25°,则∠A的补角等于( C ) A.65° B.75° C.155° D.165° 4.下列说法:①在同一平面内,不相交的两条线段叫做平行线;②过一点,有且只有一条直线平行于已知直线;③两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;④同旁内角相等,两直线平行.正确的有( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,直线a,b相交于点O,OE⊥a于点O,OF⊥b于点O,若∠1＝40°,则下列结论正确的是( C )
A.∠2＝∠3＝50° B.∠2＝∠3＝40° C.∠2＝40°,∠3＝50° D.∠2＝50°,∠3＝40° 6.如图,AB∥CD,射线AE交CD于点F,若∠1＝115°,则∠2等于( B ) A.55° B.65° C.75° D.85° 7.下列各图中,过直线l外一点P画l的垂线CD,三角板操作正确的是( D ) A B C D 8.如图,AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F,EG平分∥BEF,交CD于点G,∥1＝50°,则∥2等于( B )
A.90° B.65° C.60° D.50° 9.如图,直线a,b被直线c,d所截,若∥1＝∥2,∥3＝125°,则∥4等于( A ) A.55° B.60° C.70° D.75° 10.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D',C'的位置,若∥EFB＝65°,则∥AED'＝( A ) A.50° B.55° C.60° D.65° 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分) 11.已知∥α的补角是它的3倍,则∥α＝__45°_____ . 12.已知∥A与∥B互余,若∥A＝20°15',则∥B的度数为___69°45'_____. 13.如图,已知∥1＝∥2,则图中互相平行的线段是_AD∥BC________ .
七年级数学平行线的有关证明及答案
平行线的性质与判定的证明 练习题 温故而知新： 1.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行互补. 例1 已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数； （2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系． 解析： 在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
例2 如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：∠1＝∠2. 解析：在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系. 例3 （1）已知：如图2-4①，直线AB∥ED，求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？并证明． 解析：在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.
例4 如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？ 解析：把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答. 举一反三： 1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（） A.60° B. 72° C. 90° D. 100°
北师大版八年级上册数学 73 平行线的判定优质教案
平行线的判定7.3 第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况师：下互相平行呢？ 1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生 2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直生3 线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．“两我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以 使学生很快地回忆起这些知识． 第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直① 线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号 列所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下语言．ca12b3． 形式： 如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b． 如何证明这个题呢？我们来分析分析． 师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行． 因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：∠1=∠3． 师：好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”） 证明：∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义） ∴∠3=180°－∠2（等式的性质） ∴∠1=∠3（等量代换） ∴a∥b（同位角相等，两直线平行） 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理． 这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可
七年级下册数学平行线的性质说课稿
七年级下册数学《5.3.1平行线的性质》说课稿 5.3.1《平行线的性质》----说课稿 今天我说课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册第五章的5.3节《平行线的性质》(第一课时).下面我就从教材分析；学生情况分析；教学目标的确定；教学重点、教学难点的分析；教法与学法；教学过程设计这几个方面把我的理解和认识作一个说明． 一．教材分析： 1.地位与作用： 平行线的性质是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到.这部分内容是后续学习的基础,它们不但为三角形内角和定理的证明提供了转化的方法，而且也为今后三角形全等、三角形相似等知识的学习奠定了理论基础，学好这部分内容至关重要。 2.在本节课学习之前，学生已经了解了平行线的概念，经历了两条直线被第三条直线所截同位角相等内错角相等同旁内角互补可以判定两条直线平行，那么两条平行线被第三条直线所截同位角内错角同旁内角之间会有什么关系呢学生有进一步探究的愿望和能力。 二．教学目标的确定： 根据数学课程标准的要求和教学内容的特点，以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下： （1）探索平行线的性质，并掌握它们的图形语言、文字语言、符号语言；了解平行线的性质和判定的区别。 （2）通过学生动手操作、实验、观察，培养他们主动探索与合作能力，使学生领会数形结合、转化的数学思想和方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。 （3）通过问题情境的创设和解决使学生感悟到几何知识来源于实践并反作用于实践及认识事物的规律是从特殊到一般，再从一般到特殊等辩证唯物主义观点。 三．教学重点、难点分析： 平行线的性质是空间与图形领域的基础知识，在以后的学习中经常要用到.这部分内容是后续学习的基础，让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，可增强学生对性质的认识和理解，培养学生多方面的能力.因此我确定 本节课的重点为：探究平行线的性质. 由于学生是第一次接触基本图形的性质和判定方法，且它们互为逆命题，所以学生很容易在记忆和使用时将其混淆.因此，我确定 本节课的难点为：明确平行线的性质和判定的区别 四、教法与学法 1.教法：采用引导发现法，教师通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，使学生在教师的引导和合作下，通过自主探索，合作交流，发现问题，解决问题。引导学生观察动手测量，猜想小组交流合作探究总结出平行线的性质，使教学成为在教师指导下的一种自主探索的活动过程,在探索中形成自己的观点. 2.学法：在教师的引导下，学生通过观察、动手测量、猜想、小组交流合作探究总结出平行线的性质，使教学成为在教师指导下的一种自主探索的活动过程,在探索中形成自己的观点.逐步培养学生善于观察、乐于思考、勤于动手、勇于表达的学习习惯，提高学生的学习能力。 五、教学过程设计 本节课的流程分五部分：创设情境激发兴趣；探究新知实验猜想；归纳性质说理证明；应用新知巩固练习；归纳小结布置作业.
北师大版八年级上册数学《平行线的证明》测试题
第七章 平行线的证明本章测试题 一、 填空题（每题４分，共３2分） 1．在△ＡBC 中，∠C =２（∠A +∠B ),则∠Ｃ＝＿_____＿_. ２．如图,AB ∥ＣD ,直线E Ｆ分别交ＡＢ、ＣＤ于E 、F ,E Ｇ平分 ∠BEF ，若∠1=7２o ，则∠2= ; 3．在△ABC 中,∠BA Ｃ=90o，AD ⊥BC 于Ｄ,则∠B 与∠D ＡC 的 大小关系是_____＿__ 4．写出“同位角相等,两直线平行”的题设为___＿___，结论为＿___＿＿_. 第２题 5．如图,已知A Ｂ∥ＣD ,BC ∥DE ，那么∠B +∠D =__＿＿_＿____. 6．如图,∠1=27o，∠2＝95o，∠３＝38o，则∠4＝＿______ 7.如图，写出两个能推出直线ＡB ∥ＣD 的条件_____＿＿＿＿_____＿___＿＿_＿＿_. 8.满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△AB Ｃ是______＿＿_＿_＿_ 二、 选择题(每小题４分,共２4分) 9.下列语句是命题的是 【 】 （Ａ)延长线段AB (Ｂ)你吃过午饭了吗? (C)直角都相等 (Ｄ）连接Ａ,Ｂ 两点 10.如图，已知∠１+∠2=180o,∠3=７5o, 那么∠4的度数是 【 】 (A)7５o (B)４5o (C ）10５o （D ）135o 11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角” 是假命题是 【 】 (A ）设这个角是30o，它的余角是６0°，但30°<6０° (B)设这个角是４5°,它的余角是45°，但45°＝45° (C)设这个角是60°,它的余角是30°,但30°<6０° (D)设这个角是50°,它的余角是４0°,但４0°＜5０° 1２.若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是 【 】 (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D ）不能确定 1３.如图,△ABC 中，∠Ｂ＝5５°,∠C =６3°,DE ∥AB , 则∠DEC 等于【 】 （A)63° ? (B) 1１8° (C) 5５°?? （D)62° C A B D E E C D B A 1 3 2 4 第5题 第6题 第7题 A B C D E F G 12D A B C E 第10题
初中数学：《平行线的证明(一)》测试题
初中数学：《平行线的证明（一）》测试题 一、填空题 1．命题“任意两个直角都相等”的条件是______，结论是______，它是______（真或假）命题． 2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为______． 3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=______． 4．如图，直线l 1、l 2 分别与直线l 3 、l 4 相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°， 则∠3=______． 5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为______度． 6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE 解：∵AB∥CD（已知） ∴∠4=∠______（______） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠______（______） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（______）
即∠______=∠______（______） ∴∠3=∠______ ∴AD∥BE（______）． 二、选择题 7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（） A．4对B．8对C．12对D．16对 8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（） A．∠2=45°B．∠1=∠3 C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′ 9．下列语言是命题的是（） A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC=OA D．两直线平行，内错角相等． 10．下列命题是假命题的是（） A．对顶角相等 B．﹣4是有理数
人教版初中数学平行线的性质教案
2.3 平行线的性质 一、教材分析： 本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书（五四学制）七年级上册第2章第3节平行线的性质，它是平行线及直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是?空间与图形?的重要组成部分。 二、教学目标： 1.知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。 2.解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。 3.情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。 三、教学重、难点： 重点：平行线的性质 难点：?性质1?的探究过程 四、教学方法： ?引导发现法?与?动像探索法? 五、教具、学具：
教具：多媒体课件 学具：三角板、量角器。 六、教学媒体：大屏幕、实物投影 七、教学过程： （一）创设情境，设疑激思： 1．播放一组幻灯片。内容：①火车行驶在铁轨上；②游泳池；③横格纸。 2．声音：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？ 学生活动： 思考回答。①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行； 教师：首先肯定学生的回答，然后提出问题。 问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？ 引出课题——平行线的性质。 （二）数形结合，探究性质 1．画图探究，归纳猜想 任意画出两条平行线（a‖b），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（如图）。 问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，把结果填入下表： 第一组
北师大版七年级上册平行线
北师大版七年级上册《平行线》课例 教材分析： 本节课的教学内容是北师大版七年级上册第四章第五节《平行线》，从实际生活出发，认识图形的特征并用于解决一些简单的实际问题，为了使学生更好地掌握这一部分的内容，运用启发式教学原则，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、解决实际问题的过程，真正把学生放在主体位置。 学习任务分析： 充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动的经验，加深对图形的认识，体会数形结合的思想。 教学目标： 1.感受平行线的概念，掌握经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. 2.能作出已知直线的平行线. 3.能辨别如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 教学重点与难点： 重点：平行线的概念和平行公理,利用直尺和三角板画已知直线的平行线. 难点:用几何语言描述画图过程,根据几何语言画出图形. 教学方法： 教具直观演示法，启发诱导，尝试研讨法。 教具准备： 多媒体课件、三角尺、小黑板 教学设计： 一、情境引入 教师用多媒体课件展示图片：铁路，双杠等。 想一想：生活中与“平行线”有关的例子。 学生小组讨论，相互交流。 （点评：让学生体验参与实践、合作交流，从被动学习变为主动学习，提高分析、解决问题能力。） 师：请同学们观察黑板相对的两条边和几何作业本中的两条横线，若把它们向两方延长，看成直线，它们还是相交直线吗？ 生：不是． 师：因此，平面内的两条直线除了相交以外，还有不相交的情形，这就是我们本节所要研究的内容．(板书课题) （点评：培养学生通过实物等大量信息中发现、归纳、总结，从而掌握本节重点学习内容。） 二、探究新知 师：在我们生活的周围，平面内不相交的情形还有许多，你能举例说明吗？ 生：窗户相对的棱，桌面的对边，书的对边…… 师：我们把它们向两方无限延伸，得到的直线总也不会相交．我们把这样的直线叫做平行线． [板书]在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 1.平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 注意：概念包含三个方面：1.同一平面；2.不相交；3.两条直线。 画图：直线a与直线b互相平行，记作a∥b．
七年级数学平行线证明题
七年级数学平行线证明 题 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是（ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) ° ° ° ° 6.如图，OP ∥QR ∥ST ，则下列各式中正确的是（ ） A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB ∥DE ，那么∠BCD 于（ ） A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、 180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB ∥CD ，AF 平分∠CAB ，CF 平分∠ACD ．(1)∠B+∠E+∠D=________； (2)∠AFC=________. 11.如图，AB ∥CD ，∠A=120°，∠1=72°，则∠D 的度数为__________．
初中数学相交线与平行线典型题型总结全面
辅导教案 教学目的 1、理解邻补角、对顶角的概念及性质；理解垂线、垂线段等概念 2、了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线的位置关系，掌握平行公理及 推论 3、理解平行线的性质和距离；会判断是什么命题，分清命题的题设和结论 4、通过实例认识平移，掌握平移的概念及性质 授课日期及时段 2016年 3月 教学内容 一、相交线 1、在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。 2、相交线的定义：在平面内有一个公共交点的两条直线，叫做相交线 3、互为邻补角： 单元回顾 T ——相交线与平行线
（1）定义：如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。 （2）性质：从位置看：互为邻角； 从数量看：互为补角； 4、互为对顶角： （1）定义：如果两个角有有一个公共顶点且它们的两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。 （2）性质：对顶角相等 例.如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD=70°，∠BOE-∠BOC=50°,求∠DOE的度数． 例.如图5-1-21，直线AB、CD、EF相交于O点．∠AOF=4∠BOF，∠AOC=90°，求∠DOF的度数． 二、垂直 1、（1）定义：垂直是相交的一种特殊情形。当两条直线相交所形成的四个角中有一个角是直角，那么 这两条直线互相垂直。它们交点叫做垂足。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。 （2）性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 （3）表示方法：用符号“⊥”表示垂直。 2、任何一个“定义”既可以做判定，又可以做性质。 3、垂线段的定义：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。
八年级数学上册 第七章 平行线的证明达标测试卷 北师大版
第七章达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1．“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( ) A．定义B．命题C．公理D．定理 2．下列命题中，是真命题的是( ) A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．下列四个图形中∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是( ) 4．如图，已知l1∥l2，∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为( ) A．40°B．60°C．80°D．100° (第4题) (第6题) (第8题) (第9题) (第10题) 5．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为( ) A．30°B．70°C．30°或70°D．100° 6．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°，在射线OB上有一点P，从点P射出的一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB 平行，则∠QPB的度数是( )
A．60°B．80°C．100°D．120° 7．用点A，B，C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25°，小红家在小明家正东方向，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB等于( ) A．35°B．55°C．60°D．65° 8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4一定满足关系( ) A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 9．如图，AB∥CD∥EF，下列式子中，等于180°的是( ) A．α＋β＋γB．α＋β－γ C．－α＋β＋γD．α－β＋γ 10．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB，AC 上，将△ABC沿着DE折叠压平，若∠A＝75°，则∠1＋∠2等于( ) A．150°B．210°C．105°D．75° 二、填空题(每题3分，共24分) 11．证明“互补的两个角，一定一个是锐角，一个是钝角”是假命题，可举出反例：_________________________________________________. 12．将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……那么……”的形式：__________________________________． 13．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若∠ADE＝126°，则∠DBC＝________. (第13题) (第14题) (第15题) 14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为________． 15．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝
北师大版八年级数学上册《平行线的证明》知识点归纳
北师大版八年级数学上册《平行线的证明》 知识点归纳 第七章平行线的证明 为什么要证明？实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。 定义与命题 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 命题：判断一件事情的句子，叫做命题。一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题可以写成“如果......那么......”的形式，其中如果引出的部分是条件，那么引出的部分是结论。 真命题：正确的命题称为真命题。 假命题：不正确的命题称为假命题。要说明一低点命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例， 公理、定理 公理：公认的真命题称为公理。 证明：演绎推理的过程称为证明。
定理：经过证明的真命题称为定理。 本书认定的真命题： 两点确定一条直线。 两点之间的距离最短。 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 过直线外一点有且只有一条直线玙这条直线平行。 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 三边分别相等的两个三角形全等。 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。 同角的补角相等。同角的余角相等。 三角形的任意两边之和大于第三边。 对顶角相等。 平行线的判定; 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。。 两条直线被第三条直线所载，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。。
数学北师大版七年级下册平行线
5.3.1 平行线的性质 知识点1：两条直线平行， 相等 知识点2：两条直线平行， 相等 知识点3：两条直线平行， 相等 练习 一、选择题: 1.如图1所示,AB ∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 D C B A 1 E D B A O F E D C B A (1) (2) (3) 2.如图2所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,?那么∠BDC 等于 ( ) A.78° B.90° C.88° D.92° 3.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;?③内错角相等, 两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④ 4.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 5.如图3所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,则∠BOF 为( ) A.35° B.30° C.25° D.20° 6.如图4所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720° F E D C B A G F E D C B A 1 F E D C B A (4) (5) (6) 7.如图5所示,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )? A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
二、填空题: 1.如图6所示,如果DE ∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______; 如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________. 2.如图7所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、?后的两条路平行,若第 一次拐角是150°,则第二次拐角为 ________. D C B A D C B A 1 2 (7) (8) (9) 3.如图8所示,AB ∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=?_______. 三、解答 1. 如图9所示,AD ∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC 的度数. 2. 如图所示,AB ∥CD,AD ∥BC,∠A 的2倍与∠C 的3倍互补,求∠A 和∠D 的度数.? D C B A 3. 如图所示,已知AB ∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°,求∠BED 的度数. E D C B A 4. 如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.