复变函数习题总汇与参考答案
复变函数习题总汇与参考答案
第1章 复数与复变函数
一、单项选择题
1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad)
2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z|
3、若z=x+iy, 则y=(D)
A B C D
4、若A= ，则 |A|=（C ）
A 3
B 0
C 1
D 2
二、填空题
1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）
2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）
3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。
4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充
2z
z +2z z -i z z 2+i
z z 2-)1)(4()
1)(4(i i i i +--++∞
→n lim
+∞
→n lim
分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。
三、计算题
1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=
2、写出复数-i 的三角式。 解：
3、写出复数 的代数式。 解：
4、求根式 的值。
解： ππ4
5
|11|
arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 π
π2
3
sin 23cos i i +=-i i i i
i i
i i i i i i
i i i
2
12312
1
21)1()1)(1()1(11--=--+-=?-+
+-+=
-+
-i
i
i i -+-113
27
-)27arg(3
273π
=-=
四、证明题
1、证明若 ，则a 2+b 2=1。
证明：
而
bi a yi
x yi
x +=+-bi
a yi x yi x +=+- ||
||yi
x yi
x bi a +-=+∴2
2||b a bi a +=+1
1
1
2
2222
2
22=+∴=+∴=++=
+-∴b a b a y
x y x yi x yi x
3、证明：
证明：
)
Re(2212
2212
2
1z z z z z z +++=+∴
=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(()
)(())((211221*********
2211221221121212121221z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yi
x z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)
Re(2212
2212
2
1z z z z z z ?++=+
第2章 解析函数
一、单项选择题
1．若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D ）
A B
C D
3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C ） A 仅在点z=0解析 B 无处解析
C 处处解析
D 在z=0不解析且在z ≠0解析 4、若f （z ）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C ）
A 解析
B 可导
C 连续
D 不连续 二、填空题
1、若f(z)在点a 不解析，则称a 为f(z)的奇点。
2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。
3、若f(z)=z 2+2z+1，则
4、若 ，则 不存在。 )
()(D z f ='y
v x v y u x u ??=????=??且x
v x u x v y u ??=
????-=??且y
v x
v y
u x
u ??=????=??且x
v
y u y v x u ??-=????=??且2
2)(+='z z f )
2)(1(7
)(--=z z z f =')1(f
三、计算题：
1、设f(z)=zRe(z), 求
解： = 2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求
解：f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iy u=e x cosy v=e x siny f(z)=u+iv
∴f(z)在复平面解析，且 =e x cosy+ie x siny
3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=x 3-3xy 2， f(i)=0,试求f(z)。
解：依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2
则V （x1y ）=3x 2y-y 3+c(c 为常数)
故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic =z 3+ic ，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时， f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0
?Z -?Z +→?)
0()0(lim
f f z ?Z
-?Z +→?)0()0(lim 0f f z ?Z
?Z ?Z →?)
Re(lim 0z 0)Re(lim 0
=?Z =→?z )(z f 'y e y v
x u x cos =??=?? y e y
v y u x sin =??-=??ie
y e z f x +='cos )()(z f 'c
x Q xy uy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴?)(6)(6)(3)33(3222
∴c=1 ∴f(z)=Z 3+i
4、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。 解：依C-R 条件有Vy=ux=2y
∴V= =y 2
+?(x) ∴Vx= ∴?(x)= V=y 2-x 2+2x+c(c 为常数) ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x+c)
为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x-1) =-(z-1)2i 四、证明题
1、试在复平面讨论f(z)=iz 的解析性。 解：令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0
∵ux 、uy 、vx 在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-Vx 。
?ydy 2z x uy x +-=-='2)(??++-=+-c
x x dx x 2)22(2
∴f(z)=iz在复平面解析。
2、试证：若函数f(z)在区域G内为解析函数，且满足条件f'（z）=0，z∈G，则f(z)在G内为常数。
证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G
∵f(z)在G内解析，
Ux=Vy, Uy=-Vx
又f'（z）=0, f'（z）=Ux+iVx
Ux=0 Vx=0
Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0
U为实常数C1，V也为实常数C2，
f(z)=C1+iC2=Z0
f(z)在G内为常数。
复变函数课程作业参考解答2
第3章初等函数
一、单项选择题
1. z = ( A ) 是根式函数
n z
w=的支点.
(A) 0 (B) 1
(C) π(D) i
2. z = ( D ) 是函数z
w ln
=的支点.
(A) i (B) 2i
(C) -1 (D) 0
3. e i =( B ).
(A) e -1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos1 4. sin1= ( A )
(A) i e e i i 2-- (B) i e e i
i 2-+ (C) 21--e e (D) 21
-+e e
二、填空题
1. cosi = 21e
e +-
2.
i e +1= e(cos1+isin1)
3. lni =i 2π
4. ln(1+i) = )
24(221ππ
k i Ln ++k 为整数.
三、计算题 1. 设z=x+iy ，计算
2
z
e .
解: xyi y x iy x z 2)(2
222+-=+=
∴ xy i y e e x z 22
2
2?+-= )]]2s i n ()2)[c o s (e x p [(
22
xy i xy y x +- ∴ 2
z
e =2
2y x e -
)
e x p (2z = 2
2
y x
e -
2. 设z = x+iy, 计算)Re(1
z
e . 解: ∵ z = x+iy
∴ 222
211y x y i y
x x iy x z +-+=+= ∴ )sin (cos 12
22222y
x y
i y x y y x x z
e
e +-++=
∴
222
1
cos
)Re(2
2
y x y e e y x x +=-
3. 求方程i z π=ln 2的解. 解: ∵ lnz =2/πi
∴ 由对数函数的定义有: Z=
i
i e i =+=2
sin
2
cos
2/π
π
π
∴ 所给方程的解为z = i
4. 求方程i e z
31+=的解.
解: ∵
)
3sin
3
(cos
231π
π
i i e z +=+=
=
)3sin 3(cos
2π
π
i e Ln +
根据指数函数的定义有: z=n2+i 3/π 或z=n(1+i 3)
四、证明题
1. 试证: z z z cos sin 22sin ?=.
证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：
i e e z iz
iz 22sin 22--=
222cos sin 2iz
iz iz e e i iz e z z -+?
-=
i e e iz iz 222?-?-=
∴ sin2z=2sinz ·cosz
2. 证明:
x
n x x
n nx x x 2sin 2sin 21
sin
sin 2sin sin ?+=
+++ .
证明: 令A=nx x x cos 2cos cos 1++++ B=sinx+sin2x+…sinnx
∴ inx x i ix e e e Bi A ++++=+ 21
2
2)1(12
1
111x i iz ix
x
n i e
x n e e e
-+-=
--=
+
x n i x i x n i
e x x n e
x i xe
n i 22
2
1
2sin 21
sin 2sin 221sin 2?+=
+=?+
=
)
2sin 2(cos 2sin 21sin
x n i x n x x
n ++
∴
x
n x x
n x x x 2sin 2sin 21
sin
sin 2sin sin +=
+++
第4章 解析函数的积分理论
一、单项选择题
1.
=
?c
dz 2( D ) , c 为起点在0 , 终点在1+i 的直线段.
(A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2.
?==1
)
(sin z A zdz .
(A) 0 (B) 10i π
(C) i (D) 123+i
3.
?==5
)(5
z B dz z
(A) i (B) 10i π (C) 10i (D) 0
4.
?=-32)
2(sin 2z z z =( A ). (A)
23
cos
4?i π (B) i π4
(C) i π2 (D) i π2- 二、填空题
1. 若)(z f 与)(x g 沿曲线c 可积，则???+=+c
c
c
dz
z g dz z f dz z g z f )()()]()([.
2. 设L 为曲线c 的长度, 若f(z)沿c 可积, 且在c 上满足M z f ≤)(,则
ML
dz z f c
≤?)(.
3.
?=1
77i
zdz
4.
e
e zdz i i
-=?-0
1cos 2
三、计算题 1.计算积分?c
zdz
Im ,其中c 为自0到2+i 的直线段.
解: c 的方程为:
)10()()(≤≤+==t t i z t z z 其次由t i t z z yi x )2()(+===+得 t z =Im dt i dt t z dz )2()(+='= ∴ ??+=c tdt i zdz 1
0)2(Im =
?+1
0)2(tdt
i
=i
211+
2. 计算积分?=+-+1
212102sin z z dz z z z
e .
解:
?=+-+1
212102sin z z dz z z z
e =
?=--+1
)3)(2(2sin z z dz z z z
e
作区域D:1≤z 积分途径在D 内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D 内,所以被积函数在D 内解析. 由定理4.2得:
?=+-+1
212102sin z z dz z z z
e =0
3. 计算积分
?=--c z c dz z z 41
:,)1)(1(132. 解: ?--c dz z z )1)(1(1
32
∵ 奇点z=1和z=-1不在区域D,1 2==k e z ik k π 也不在D 内 ∴ 由定理4.2 得 ? --c dz z z )1)(1(1 32=0 4. 计算积分?c z dz z e 5, 5:=z c . 解: 由定理4.6得 0) 4(5])[(!42==?z z c z e i dz z e π =12i π 四、证明题 1. 计算积分?=+1 21z dz z ，并由此证明0 cos 45cos 210 =++?θθθ d n . 证明：∵ 21 )(+= z z f 在圆域 |z|≤1内解析 ∴?=+1 21z dz z =?==+1 021 z dz z 另一方面,在圆|z|=)2)(sin (cos 1≤≤+?θθθz i ∴ ?=+1 21 z dz z =?-+++π πθθ?θ)sin (cos 2sin cos 1 i d (实部和虚部为0) = ??- --+++-++-=+++-π π ππθ θθθθθθθθθ?θθθd i i i i c d i ]sin )cos 2][(sin )cos 2[(] sin )cos 2[(cos sin 2sin cos cos sin =θ θθθθθπ πd i ?-+++++-sin cos cos 44) 1cos 2(sin 2 =dz i ?-+++-π π θθθcos 45) cos 21(sin 2 =θθθθθθ ππππd i d ??--++++-cos 45cos 21cos 45sin 2 ∵ ?=+1 21z dz z =0 ∴0cos 45sin 2=+-?-θθθ π πd ∴ 0 cos 45cos 21=++?-θθθ π πd 而θθ cos 45cos 21++为偶函数 ∴0=θθθ π πd ?-++cos 45cos 21 =θ θθπ d ? ++0 cos 45cos 212 ∴ cos 45cos 210 =++? θθθ π d 复变函数课程作业参考解答3 第5章 解析函数的幂级数表示 一、单项选择题 1. 幂级数∑∞ =0 n n z 的收敛半径等于( B ) ( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 点z=-1是f(z)= 51052 ++z z r ( B )级零点. ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数∑∞ =0 n n z 的收敛圆为( D ). (A) | z-1|< 3 (B) |z|<3 (C) |z-1| >1 (D) |z| <1 4. 设f(z)在点a 解析, 点b 是f(z)的奇点中离点a 最近的奇点,于是,使f(z)=∑∞ =-0 )(n n n a z c 成立的收敛圆的半径等于( C ). (A) a+b+1 (B) b-a+1 (C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题 1.级数1+z+? ?++??+!!22n z z n 的收敛圆R=+∞．即整个复平面． 2.若f(z)= sinz k ?(k 为常数),则z=m π(m=0, 2,1±±……)为f(z)的 1 级零点. 3.幂有数∑∞ =0 !n n z n 的收敛半径等于 0 . 4.z=0是f(z)=e z -1的 1 级零点. 三、计算题 1.将函数f(z)=()()[]1 21-+-z z 在点z=0展开幂级数. 解: f(z)= ()()21161312131113121111110z z z z z z z z n n +--=+--? =??? ??+--=+-∑+∞= =- ∑∑∑∞+=∞+=∞+=??? ??---=??? ??--?-000 261312116131n n n n n n z z z z 1 2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解：()()[] '-=-=--12 11f(z)z z 而(1-z)-1=∑+∞ ==-011 n n z z () [ ]∑∑+∞ =-+∞ =--='=' -=-∴0 1 1 2 ))((1) 1(n n n n nz z z z =∑+∞ =+0)1(n n z n 1 3．将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数. 解：f(z)=(z+2)-1=[]3) 1(11 )1(3113121---? =---=-+=+z z z z =∑∑∞+=∞+=-?-??????--?003)1()1(313)1(31n n n n n n z z 31<-z 4．将函数f(z)=e z 在点z=1展开成幂级数. 解： f(z)=e z f (n)=e z ()e f n =∴1) ( n n n z z n f e )1(! f(z)0) 1() (-?==∴∑ ∞ += ＝∑+∞ =-0 ) 1(!n n z n e 四、证明题 1．证明:1-e i2z =-2isinze iz 证：e iz =cosz+isinz ∴e -iz =cos-isinz ∴e iz -e -iz =2isinz ∴-2isinz=-( e iz -e -iz ) = e iz -e -iz ∴-2isinz e iz =( e -iz - e iz ) e iz =e 0- e 2iz =1- e 2iz 2．试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos 2z-sin 2z 证①f 1(z)=cos2z,则f 1(z)复平面G 解析 设f 2(z)＝cosz －sin 2ｚ，则f 2(z)也在整个复平面G 解析 ②取E=K 为实数轴,则E 在G 内有聚点. ③当E 为实数时,知cos2z=cos 2z-sin 2z,即f 1(z)= f 2(z) ∴由解析函数唯一性定理,由以上三条知 f 1(z)= f 2(z) G Z ∈成立 即cos2z= cos 2z-sin 2z G Z ∈ 第6章 解析函数的罗朗级数表示 一、单项选择题 1．函数f(z)=231 2+-z z 在点z=2的去心邻域( D ) 内可展成罗朗级数. (A) 0<3 2．设点α为f(z)的孤立奇点，若α →z z Iim f ) (=c ()∞≠，则点α为f(z)的 ( C ). (A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点 3．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) ∞ →z Iim f f(z)=c(∞≠) (B) ∞ →z Iim f(z)=∞ (C) α →z Iim f(z)=c(∞≠) (D) α →z Iim f(z)=∞ 4．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A) ∞ →z Iim f(z)= c(∞≠) (B) α →z Iim f(z)不存在 (C) α→z Iim f(z)=c(∞≠) (D) α →z Iim f(Z)=∞ 二、填空题 1．设∑+∞ -∞ =-n n n z c ) (α为函数f(z)在点α的罗朗级数,称n n n a z c )(1 -∑--∞ =为 该级数的主要部分. 2.设点α为函数f(z)的奇点,若f(z)在点α的某个 某个去心邻域 εα<-z 内解析,则称点α为f(z)的孤立奇点. 3.若f(z)=z e +14 ，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= z e +14 则z=0为f(z)的一个极点. 4.若f(z)=(sin 21 )-1,则点z ＝0为f(z)非孤立 奇点. 三、计算题 1．将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=21-z =- z -21=-n n n n n n z z z 2 )1(21)2(212112100∑∑∞=∞=--=--=-- 2．将函数f(z)＝12 -z z 在点ｚ＝１的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=11 1211111)1)(1(1111 22-+ -+=-++=-++-=-+-=-z z z z z z z z z z z 3．试求函数f(z)=z -3·sinz 3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 3sin z 解析,无奇点,∴f(z)的有限奇点为z=0. 并且为3阶极点. 4．试求函数f(z)=[z ()2 1z -]-1的有限奇点，并判定奇点的类别. 解: f(z)的m 阶奇点即)(1z f 的阶零点,而) 1)(1()1() (1 2z z z z z z f +-=-=零点为z=0，z=1，z=-1，且均为1阶零点。 [] 1 2)1()(--=∴z z z f 的有限奇点为z=0，z=1,z=-1且均为1阶极点. 四、证明题 1．设f(z)=[ ] 1 3 3 )1(8--z e z ,试证z=0为f(z)的6级极点. 证:要证z=0为f(z)的6级极点,只需证z=0为) 1(8)(1 33g e z z f z =的6 阶零点即可. 而 ??????-??+??++++=-=1)(3)(2)(18)1(8)(13333233 333n ！z ！z ！z z z e z z f z 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1-+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- 复变函数与积分变换复习题汇总 一、填空题 1、31i +的三角函数表示为_____________________； i i +-12的指数函数表示为______________________； 2、=-)1ln(___________________； 3、i 有两个根，他们分别是_________________和_______________； 4、)3(3)(2323xy x i y x y z f -+-=，则=)(z f ___________________； 5、31z e z -的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________； 6、=-]01[Re 42，z e s z ________________； 7、)(2]1[ωπδ=g ，则=]2[cos t g __________________； 8、￡ =][0t s e ____________________; 9、n n n n z ∑∞ +313的收敛半径是_______________； 10、=+-?c z z dz 422_____________，其中C ：|z|=1 正向； 11、bi a Z +=，a 与b 是实数，且00> 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==． 复变函数与积分变换 第一章 练习题 1． 计算 (1)(2) i i i --； 解：（1） 10 3) 31)(31()31(312 3) 2)(1(2 i i i i i i i i i i i i i +-= +-+= -= +-= --； （2）10 310 ) 2)(1() 2)(2(1)1)(1()2)(1() 2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-= ---= ----------= --。 2． 解方程组1212 2(1)43z z i i z iz i -=??++=-?； 解：消元法，)2()1(+?i 得：i z i 33)31(1-=+， 解得：5 63) 31)(31()31)(33(31331i i i i i i i z --= -+--= +-= ， 代入)1(得：5 1765 6322i i i z --= ---? =。 3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值； 解：]arg arctan arctan ,arctan arg ππππ，（，，三 ，二一，四 -∈??? ? ? ???? -+=z x y x y x y z ， ?? ? ???-+-= --)43s i n ()43c o s (21ππi i ； [])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-= +-ππi i 。 4 ．用复数的三角表示计算3 12?? - ? ??? 、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(2313 3 -=-+-=??? ?? -+-=??? ? ??-ππππi i i ； 3,2,1,0,424 3s i n 4243c o s 2)43s i n 43(c o s 2283 4 1 =???? ? ? ? ? +++=?? ??? ? +k k i k i ππππππ， 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ 第一章习题解答 （一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。 解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是接 于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. 解： i 4 π ππe cos isin 442222-??????=-+-=+=- ? ? ? ??????? ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613 i 7i 11+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 311;;;.22n z i ??-+-- ???? ①解： ∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴()222 22 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵()() ()()()()()()3 2 3 22222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴()3 3 2Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ ( ( )( ){ } 3 3 232 11 131318 8 -+????== --?-?+?-????? ??? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-????=?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()() Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当21n k =+时，()Re i 0n =，()() Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解： ()( )2i 32i 2i 32i ++=++ ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 222 ++==()1i 11i 222i ++-??== ??? z z =时，z 才是实数． 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =?。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件 ()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。 （8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有复变函数课后习题答案(全)69272
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