初三数学教案-切割线定理 精品
6.8 切割线定理
一、教学目标
知识目标：
1．使学生理解切割线定理及其推论；
2．使学生初步学会运用切割线定理及其推论．
能力目标：通过对切割线定理及推论的证明，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力；
情感目标：通过对切割线定理及其推论的初步运用，培养学生的分析问题能力．
二、教学重点、难点
1．重点：使学生理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．
2．难点：学生不能准确叙述切割线定理及其推论，针对具体图形学生很容易得到数量关系，但把它用语言表达，学生感到困难．
三、教学步骤
1、明确目标
我们已经学过相交弦定理及其推论，现在我们用同样的数学思想方法来研究圆的另外的比例线段．
2、定理探究
现在请同学们在练习本上画⊙O，在⊙O外一点P引⊙O的切线PT，切点为T，割线PBA，以点P、B、A、T为顶点作三角形，可以作几个三角形呢？它们中是否存在着相似三角形？如果存在，你得到了怎样的比例线段？可转化成怎样的积式？现在请同学们打开练习本，按要求作⊙O的切线PT和割线PBA，后研究讨论一下．
学生动手画图，完成证明，教师巡视，当所有学生都得到数量关系式时，教师讲解．
最终教师指导学生把数量关系转成语言叙述，完成切割线定理及其推论．
1．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
关系式：PT2=PA·PB
2．切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线．这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
数量关系式：PA·PB=PC·PB．
3、教学过程
切割线定理及其推论也是圆中的比例线段，在今后的学习中有着重要的意义，务必使学生清楚，真正弄懂切割线定理的数量关系后，再把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样，定理叙述并不困难．
例1：如图，过圆O外一点P作两条割线，分
别交圆O于A、B和C、D。再作的切线PE，E为
切点，连结CE、DE，已知AB=3cm，PA=2cm，
CD=4cm，
（1）求PC的长
（2）设CE=a，试用含a的代数式表示DE
练习1，P．72中2、如图7-87，已知：Rt△ABC的两条直角边AC、BC 的长分别为3cm、4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．
此题已知Rt △ABC 中的边AC 、BC ，则AB 可知．容易证出BC 切⊙O 于C ，于是产生切割线定理，BD 可求．
例2：如图，A 是圆O 上一点，过点A 的切
线交直径CB 的延长线于点P ，AD ⊥BC ，D 为垂足，求证：PD PB =PC
PO 分析；要证明结论，只需证PB.PC=PD.POPA 2，由切线割定理得PB.PC= PA 2,所以只需证PD.PO=PA 2.
练习2:如图7-89，已知：⊙O 的割线PAB 交⊙O 于点A 和B ，PA=6cm ，AB=8cm ，PO=10.9cm ．
求⊙O 的半径．
此题要通过计算得到⊙O 的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长PO 与圆交于另一点，则可产生切割线定理的推论，而其
切割线定理(一)(含解析)
切割线定理（一）? 2011 菁优网
一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分） 1、（10分）（2010?江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r． （1）若∠E=30°，求证：BC?BD=r?ED； （2）若BD=3，DE=4，求AE的长． 2、（10分）（2009?淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD． （1）求BD的长； （2）求∠ABE+2∠D的度数； （3）求的值． 3、（10分）（2008?苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T． （1）求证：AK=MT； （2）求证：AD⊥BC； （3）当AK=BD时，求证：． 4、（10分）（2008?濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC； （2）当时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．
5、（10分）（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP， （1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数； （2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点， ①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD； ②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 6、（10分）（2007?天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于 C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5． （1）求PE的长； （2）求△COD的面积． 7、（10分）（2007?庆阳）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B 作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长． 8、（10分）（2007?河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点 （P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E． （1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）； （2）求四边形CDPF的周长； （3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG=CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦定理、切割线定理、割线定理 一、单选题 1．如图，与切于点，是的割线，如果， 那么的长为（） A． B． C． D． 2．是外一点，切于，割线交于点、，若， 则的长是（） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则 DE=_____． 4．如图⊙的半径为，弦，的长度分别为，，则弦，相交所 夹的锐角__________． 5．已知弦和弦相交于内一点，，，，则________． 6．如图，的直径与弦相交于点，若，，，则________． 7．如图，切于，是的割线，如果，，则的长为________．
8．如图，、是的割线，，，，则 ________． 9．如图，是的切线，为切点，是的割线，，， 则________． 三、解答题 10．如图，在半径为的中，直径与弦相交于点，，．求的大小； 求弦的长． 11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长． 12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 14．如图，中，弦与弦相交于点，且．求证：． 15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC 的长．
参考答案 1．B 2．C 3．． 4．75°． 5． 6． 7． 8．9 3 9．5 10．(1)；(2). CD 11．235 12．详见解析. 13．215 14．详见解析. 15．6．
初三数学相交弦定理和切割线定理人教版
初三数学相交弦定理和切割线定理 一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点： 1. [例 BP [例 证明： 作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF 由切割线定理，CB CA CE ?=2 DA DB DF ?=2 ∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2 2 DF CE = CE=DF ∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ???（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。 解：
设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ?=? 即x x )8(43-=? 61=x ，22=x （舍） 由切割线定理，BP AP PT ?=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +?= ∴ )7(6)4(2 2 ++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解： 连AB ，∴ ∠1=∴ EF CE =由切割线定理得：1441692 =?=?=CF CB AC ∴ AC=12 [例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证： （1）PB PA PC ?=2 （2）若证明： （1）延长CP
解： （2）易知32 1 == OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ?=?，即27)63(3)3(=+?=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ?中有20462 2 2 =-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+ =x y 代②得，0203 162=-+x x ∴ 0601632 =-+x x ，3 61 28±-= x （舍负） ∴ AP 长为 3 61 28+- [例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE= 2 5 ，求AB 长。 解： 设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K 由相交弦定理，ED CE BE EK ?=?，故a r r 3)2 5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ?=-=2 2 2 ∴ )6(3)2 5(62 2 a r +=-- ② 由②—①得：018522 =--r r ，2 9 1= r ，22-=r （舍） ∴ 32)2 529(62 22=--=AB ，AB=24 [例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ?中三个内角的正切值。 解：易知?=∠= ∠452 1 BOA C ∴ 145tan tan =?=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ?=∠90BCF 又 ∵ ?=∠90BOM ∴ BCF BOM ??~
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》 知识梳理： （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方=PA?PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD?PC=PA?PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD． 一．选择题 1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）
A．无限长B．C．4 D． 2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（） A．6 B．C．7 D．20 3．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH?AD+BH?BE+CH?CF 等于（） A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2） C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2） 4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（） A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB?BC 5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、
O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（） A．B．C．8 D．5 6．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（） A． B．C．5 D．4 7．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（） A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 8．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的
方法篇-椭圆中“类切割线定理”透析
椭圆中的“类切割线定理” ——2016年高考四川卷理科第20题 【原题呈现】 (2016年全国高考四川卷理科第20题)已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l :y =－x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T . （I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标； （II ）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P . 证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=?，并求λ的值. 【考情综述】 在高考中，解析几何综合题的地位是无人可以撼动的，无论是四川卷还是其它省市卷或全国卷，解答题中必有它的身影，并且往往还是以压轴题(倒数第二题)的身份出现．究其原因，是其在中学数学中的地位决定的．解析几何倡导用代数方法研究几何问题，把代数的知识和方法系统地用于研究几何之中，数形结合的思想和方法使代数、几何获得统一．通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力．同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也会为今后学习高等数学奠定坚实的基础． 就全国高考四川卷中的解析几何综合题而言，近三年的理科试题都位于整卷第20题的位置，统一以直线与椭圆的位置关系为素材，主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，并考查数学思维的严谨性、深刻性与灵活性． 从考查内容看，试题同样以两问的形式进行设置，第一问一般是“求椭圆的方程”，这一问都是送分题，往往是要求考生熟练掌握椭圆的标准方程和简单几何性质．如2013年“已知椭圆的焦点坐标，椭圆过定点，求椭圆的离心率”；2014年“已知椭圆的焦距，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，求椭圆的方程”；2015年“已知椭圆的离心率，过特殊点的特殊直线被椭圆截得的弦长（本质是椭圆过定点），求椭圆的方程”等．由此可见，今年的第一问设置较前几年难度有所增加，其难度在于：第一问中就要动用直线与椭圆联立方程组，使用“判别式”，无形中增加了运算量． 试题的第二问才是试题或者整卷中的“亮点”，也是难点，是考生发挥能力的“舞台”．这一问往往以定量或定性的方法研究直线与椭圆间形成的某指定几何元素或结构间的关系，要求考生灵活进行转化与化归、准确进行运算与求解、严密进行推理与论证．如2013年“过定点的动直线与椭圆交于Ｍ，Ｎ两点，求线段MN 上满足222 211||||||AQ AM AN =+的Q 点轨迹方程”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式，正确处理参数关系，从定量运算中探索动
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆： 切割线定理综合运用（一） 一．选择题 1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（） A．9 B．3 C．D．18 2．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（） A．2 B．C．4 D． 3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（） A．B．C．7 D．24 4．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）
A．B．C．6 D． 5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（） A．2 B．4 C．6 D． 6．如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（） A．3 B．4 C．D． 7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX?AY＝4，则图中圆环的面积为（） A．16πB．8πC．4πD．2π 8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）
A．6 B．7 C．8 D．9 9．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（） A．B．C．D．4 10．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（） A．16 B．C．D． 二．填空题 11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP?OS＝． 12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）． 13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB
九年级数学圆的知识点总结大全
第四章：《圆》 一、知识回顾 圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr 2 圆环面积计算方法：S=πR 2-πr 2或S=π（R 2-r 2）(R 是大圆半径，r 是小圆半径） 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； A
3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2 个即可 图4 图5
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲 人教四年制版
九年级数学相交弦定理和切割线定理知识精讲 一. 本周教学内容： 相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点： 1. 相交弦定理的使用特征。 2. [例 BP = [例 证明： 作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF 由切割线定理，CB CA CE ?=2 DA DB DF ?=2 ∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2 2 DF CE = CE=DF ∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ???（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。
解： 设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ?=? 即x x )8(43-=? 61=x ，22=x （舍） 由切割线定理，BP AP PT ?=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 2 2 TD BP AP PD +?= ∴ )7(6)4(22++=+y y y ∴ cm y 20= [例4] 若BC=9，AE=6解： 连AB ，∴ ∠1=∴ EF CE =由切割线定理得：1441692 =?=?=CF CB AC ∴ AC=12 [例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证： （1）PB PA PC ?=2 （2）若CM=MO=3，OP=4，求AP
由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ?中有20462 2 2 =-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+ =x y 代②得，0203 162 =-+ x x ∴ 0601632 =-+x x ，3 61 28±-= x （舍负） ∴ AP 长为 3 61 28+- [例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE= 2 5 ，求AB 长。 解： 设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K 由相交弦定理，ED CE BE EK ?=?，故a r r 3)2 5 )(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ?=-=2 22
圆切割线定理与相交弦定理练习题
圆切割线定理与相交弦 定理练习题 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
圆---相交弦定理与切线长定理及切割线定理练习题 一、选择题 1.已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝ （） A. B. C. 5 D. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数 （） 图1 A. 50° B. 40° C. 60° D. 55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延 长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（） A. B. C. D. 6. PT切⊙O于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙O于B和A，B在线段PD 上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题 7. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，EF是⊙O的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则 ∠EOF＝_____________度。 8.已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若PA·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_____________。 9.若PA为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，，则PC的长为_____________。 10.正△ABC内接于⊙O，M、N分别为AB、AC中点，延长MN交⊙O于点D，连结BD交 AC于P，则_____________。 三、解答题 11.如图2，△ABC中，AC＝2cm，周长为8cm，F、K、N是△ABC与内切圆的切点，DE切 ⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长。 图2
初三数学教案-切割线定理 精品
6.8 切割线定理 一、教学目标 知识目标： 1．使学生理解切割线定理及其推论； 2．使学生初步学会运用切割线定理及其推论． 能力目标：通过对切割线定理及推论的证明，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力； 情感目标：通过对切割线定理及其推论的初步运用，培养学生的分析问题能力． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理． 2．难点：学生不能准确叙述切割线定理及其推论，针对具体图形学生很容易得到数量关系，但把它用语言表达，学生感到困难． 三、教学步骤 1、明确目标 我们已经学过相交弦定理及其推论，现在我们用同样的数学思想方法来研究圆的另外的比例线段． 2、定理探究 现在请同学们在练习本上画⊙O，在⊙O外一点P引⊙O的切线PT，切点为T，割线PBA，以点P、B、A、T为顶点作三角形，可以作几个三角形呢？它们中是否存在着相似三角形？如果存在，你得到了怎样的比例线段？可转化成怎样的积式？现在请同学们打开练习本，按要求作⊙O的切线PT和割线PBA，后研究讨论一下． 学生动手画图，完成证明，教师巡视，当所有学生都得到数量关系式时，教师讲解． 最终教师指导学生把数量关系转成语言叙述，完成切割线定理及其推论．
1．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 关系式：PT2=PA·PB 2．切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线．这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 数量关系式：PA·PB=PC·PB． 3、教学过程 切割线定理及其推论也是圆中的比例线段，在今后的学习中有着重要的意义，务必使学生清楚，真正弄懂切割线定理的数量关系后，再把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样，定理叙述并不困难． 例1：如图，过圆O外一点P作两条割线，分 别交圆O于A、B和C、D。再作的切线PE，E为 切点，连结CE、DE，已知AB=3cm，PA=2cm， CD=4cm， （1）求PC的长 （2）设CE=a，试用含a的代数式表示DE 练习1，P．72中2、如图7-87，已知：Rt△ABC的两条直角边AC、BC 的长分别为3cm、4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . 用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于T ，割线PB 交⊙O 于A PT 2 ＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT 切割线定理推论 PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A ，CD 为弦 P'C·P'D ＝r 2 －OP'2 PA·PB＝OP 2－r 2 r 为⊙O 的半径 延长P'O 交⊙O 于M ，延 长OP'交⊙O 于N ，用相交 弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证 8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 图1 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt△ADE 中，由勾股定理 ∴， ，
中考数学切割线定理
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引 的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角； 5.切割线定理：已知-O中，PT切于T,割线PB交、0于A ,则有PT2 =PA PB。证明方法：连结TA、 TB ,证：APTB 直APAT 6.切割线定理推论：已知PB、PD为E 0的两条割线，交Eo于A、C ,则有PAFB = PC PD ,证明方法：
【例4】已知，AB为CO的直径，过B点作、0的切线BC , OC交、O于点E , AE的延长线交BC于D。 (1) 求证：CE^CD CB ; (2) 若AB=BC=2cm ,求CE、CD 的长。 【例5】如图所示，-O是ABC的外接圆，.ACB的平分线CE交AB于D ,交、0于E，0的切线EF交CB 的延长线于F。求证：AE2 =AD EF 。 【课堂练习】 1 ?已知PA、PB分别切VO于A、B , C是劣弧AB上任意一点，过E作、O的切线和PA、PB分别交于D、 A. 4 B. 8 C . 9D.不确定 2.圆外切四边形一组对边和为12,圆的半径为2, 则这个四边形的面积为( ) A. 6 B. 12 C.24 D . 48 E ,若OP =5 , - O半径为3 ,则PDE的周长为( ) 3.外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是)
切割线定理
《正弦定理》说课稿 我说课的题目《正弦定理》，本节是人教版数学必修五第一章第一节第一课时，我把说课内容分成说教材、说教法与学法、说教学过程、说板书设计、说教学评价与反思五个部分。 一、说教材 1、教材分析 本节知识是高中数学必修五第一章《解三角形》第一节的内容，是同学们在学习了三角函数和向量知识的基础上引入的一节概念课，是学生学习解三角形、几何计算等后续知识的基础。是本章的重点内容。因此该节在教材中起着承上启下的作用。 我将本小节分为两个课时，这里我仅谈第一课时正弦定理的探究与推导。 2、学情分析 本节对学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制，根据以上特点，教师恰当引导，，带领学生直接参与分析问题、解决问题，让学生体会定理的形成过程，激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。 3、说教学目标 1.知识与技能：在创设的情境问题中，引导学生思考，根据直角三角 形边角关系发现正弦定理的内容。
2.过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的观察、猜想能力。 3.情感、态度与价值观：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价， 调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣，让学生感觉数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。 4、说教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点：正弦定理的探索与证明。 二、说教法与学法 1、教法：采发现式、探究式。 具体教学模式如下：创设问题情境—师生探究、合作、交流—得到结论、获得方法。 2、学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。 三、说教学过程 1、创设情境，激趣引入 2、探索新知，得出结论 3、回到情境，应用新知 4、归纳总结，提出思考 1·创设情景，激趣引入 2011年3月11日在日本发生地震，中国派遣救援队去日本支援，不久后菲
9年级数学--超经典圆的基本性质垂径定理弦切角定理切割线定理及相交弦定理
专题：圆的补充定理及基本性质 中考考点讲解及典型例题 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 1．圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1∶4，则另一弦长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm 2．⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=8，PB=9，①若PC=4，则PD=______，CD=______；②若PC=PD，则CD=______； ③若PC∶PD=2∶3，则PC=______，PD=______． 3．如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是______． 4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为（） A．x2+12x+28=0 B．x2－12x+28=0 C．x2－11x+12=0 D．x2+11x+12=0 5．如下图，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是（） A．2B．2 C．22D．3 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 6.弦切角分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°，求这个弦切角的度数 7.已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点 8.已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于 Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
9．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项10. 如下右图，割线PAB、PCD分别交⊙O于AB和CD，若PC=2，CD=16，PA∶AB=1∶2，则AB=______．11．如下左图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC相交于D，连BD，若 BC=5－1，则AC=________． 综合题 12已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求BD的长． 圆的基本性质 垂径定理
人教版 九年级 数学 公式
人教版初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理
与圆有关的定理 第三课时：切割线定理、割线定理和切线长定理 直线与圆有三种位置关系，一是直线与圆无交点，叫相离，二是直线与圆只有一个交点，叫相切，这条直线叫做圆的切线，三是直线和圆有二个交点，叫相交，这条直线就叫做圆的割线。换个更好理解的就是：把圆的任意一条弦向两方无限延长，这条直线就是圆的割线。 1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 如图1，几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT2=PA?PB（切割线定理） 如图2，设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA?PB 证明：连接A T, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB?PA 2、推论（割线定理）： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如图3，几何语言： ∵PT是○O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD?PC=PA?PB（切割线定理推论） 由上可知:PT2=PA?PB=PC?PD 3、切线长定理：若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 （1）切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是
切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 （ 2）几点说明 对于切线长定理，应明确（1）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径； （2）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补。 （3）推论：圆的外切四边形对边和相等（圆的外切四边形性质定理，逆定理成立）；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 基础知识运用： 例1.如图4，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。 解：由切线长定理知：AF ＝AB ＝1，EF ＝CE 设CE 为x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理 (1+x)2=(1-x)2+12,x=4 1 ∴DE=1- 41=43，AE=1+41=4 5 ， ∴DE ：AE=43：45=3:5 针对性练习： 1、已知：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB ，若AB ＝8，弦AB 的弦心距3，则PA ＝（ ） A. 320 B. 3 25 C. 5 D. 8 例2.如图5，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。 解：∵PC 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线，且PA ：PB ＝1：4 ∴PB ＝4PA
2021推荐初三年级数学说课切割线定理及其推论
2021推荐初三年级数学说课切割线定理及其推论 2021推荐初三年级数学说课切割线定理及其推论 xxxx推荐初三年级数学说课切割线定理及其推论 1.2教学目的 知识目标：让学生掌握切割线定理及其推论的证明与初步运用它们进行计算和证明。 能力目标：培养学生类比、归纳、方程的数学思想和动手初中能力。 情感目标：唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验。如：探究的好奇心理，主动学习的心理素质等。 1.3教材的重点与难点 教学重点是切割线定理及其推论的推导与其初步运用; 教学难点是切割线定理及其推论的灵活运用。 1.4教材处理 教学如何提示知识的发生过程?即它们是如何被提出的、发现的，是如何被抽象、概括的，是如何被猜测、判断的在这一系列的思维活动中，蕴含了极其丰富的思维因素与价值。为此，我对教材进行了再创造。 2.教学方法和教学手段的选用 依据fredenthal的数学教育应当是数学再发现的教育的主张，结合教学大纲和我校学生的实际情况，我在网络课室(单人单机)，结合《几何画板》，使用引导发现教学法进行教学。 3.关于学法的指导 授人以鱼，不如授人以渔，我体会到，必须教会学生自主学习的方法。 教学中以数学问题为中心，安排教学程序，强调学生自己发现，强调发现的过程，强调学生自己获得知识的方法。培养学生收集、处理信息能力和获取新知识的能力。 4.教学过程 4.1切割线定理及其推论的推导 提出问题1
复习上节课的相交弦定理的内容，当点在特殊位置圆周上时，结论还是成立。由此，引出课题：妆点在圆外时，结论如何? 设计意图：创设问题情境，以引起学生学习需要和学习兴趣。此过程约3分钟。问题2的解决 动手实验，提出假设1 带着这些问题，学生动手实验，并观察实验数据的变化。 并由实验数据，归纳出一般的结论。并把猜测展示在展示区上。 设计意图：动手实验，为发现结论提供感性认识，同时也培养学生的观察能力。定理的再发现，培养学生主动探索、发现和解决问题的意识。网络展示，增强数学的学习乐趣。此过程约3分钟。 证明假设1 利用问题引导学生证明假设： (1)你提出的猜测是什么形式的?这种形式的式子可用什么方法证明? (2)相交弦定理的证明用的是什么方法?能否用同样的办法证明你的猜测? (3)只有一种证明的方法吗?还有其它的方法吗? 这对学生来说，应该不难证明。 设计意图：类比学习既使学生学会自主学习的方法，又熟悉了定理的基本图形。此过程约3分钟。 得到切割线定理的推论 教师阶段小结，注意鼓励学生的发现意识。 推论的文字表述，是一个难点。因此，引导学生按照阅读提纲阅读课本，再结合电脑演示逐字理解，分析推论的结构特征，一定是由圆外一点到圆的交点。并用练习1(课后练习)巩固。 设计意图：对自己发现的定理进行反思和小结，以求加深学生对定理的进一步理解。此过程约3分钟。 同类热门： 一元一次方程的应用初中三年级数学说课稿 《为什么是0.618》初三数学同步说课稿
弦切角定理+圆幂定理之 割线 相交弦 切割线定理
弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的 弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 （2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧) 过A作直径AD交⊙O于D, E 若在优弧m所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90° ∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与 点C，求证：∠CAB=∠CBA。 解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A 的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求 证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，