(完整)厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷

厦门大学《高等代数》课程试卷

数学科学学院 各 系 2008 年级 各 专业

信息科学与技术学院 计算机科学 系 2008 年级 CST 专业

特别说明：答案写在答题纸上

一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）

1.

下列说法错误的是___B____.

A) 若向量组123,,ααα线性无关，则其中任意两个向量线性无关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性无关，则123,,ααα线性无关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；

D) 若向量组123,,ααα线性无关，则112123,,αααααα+++线性无关.

2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性无关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性无关的充要条件是

___D____.

A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表示； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表示； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵. 3.

设线性方程组0Ax =的解都是线性方程组0Bx =的解，则__C__.

A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；

D) ()()r A r B ≤.

4.

设n 阶方阵A 的伴随矩阵*

0A ≠，非齐次线性方程组Ax b =有无穷多组解，则对应的齐次线性

方程组0Ax =的基础解系__ B __. A) 不存在；

B) 仅含一个非零解向量；

C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量. 5.

下列子集能构成22

R

?的子空间的是___B____.

A) 22

1{|||0,}V A A A R ?==∈；

B) 22

2{|()0,}V A tr A A R ?==∈；

C) 222

3{|,}V A A A A R ?==∈；

D) 22

4{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.

6.

设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?

在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =

A) 2n ；

B) 2； C)

1

2

； D) 不能确定.

7.

设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是

A)

?和ψ都是可逆变换； B) Ker ?=Ker ψ；

C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任一组基下的表示矩阵的秩相同.

8.

设?是线性空间V 到U 的同构映射,

则下列命题中正确的有个. (Ⅰ)

?为可逆线性映射；

(Ⅱ) 若W 是V 的s 维子空间, 则()?W 是U 的s 维子空间； (Ⅲ)

?在给定基下的表示矩阵为可逆阵；

(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))???⊕=⊕(V V (V (V . A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

二、 填空题（32分. 共8题,每题4分）

1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为100300

24010500

00-??

?

?

?-

???

, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是

其余向量由此极大无关

组线性表示的表示式为

.

2. 设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)

ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基

.

3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，则12()L V V ?=

4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是

的一组基.

5. 已知12K ?上的线性变换?定义如下：((,))(0,)

a b a ?=-，则Ker ?=

Im ?

6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是

（请写出两个）

7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n αα

α到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表示矩阵是8. 设?是线性空间V

上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表示矩阵为0A B C ?? ???

，

其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的一个非平凡?-三、

(8分) 设线性空间

V 的向量组12,,...,m ααα线性无关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.

求证：或者该向量组线性无关，或者β可由12,,...,m ααα线性表示.

证明： 若1,,,m βααL 线性相关，则存在不全为0的数01k ,k ,,k m L 使得011k +k +k 0m m βαα+=L ．我

们断言，0k 0≠．事实上，若0k =0，则11k +k 0m m αα+=L ．由12,,...,m ααα线性无关知1m k ==k =0L ．于

四、

(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性方程组12n x x x ===L 与120n x x x +++=L 的

解空间. 证明1

12n K

V V ?=⊕.

证明：法一：一方面，?

1

2

12

n

a

a

V V

a

??

?

?∈?

?

?

??

M

，有12

12

n

n

a a a

a a a

===

?

?

+++=

?

L

L

，则

12

n

a a a

====

L．故

五、

(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得

()()r B r C r ==且A BC =.

证明： 充分性： 由于m r

B K

?∈，r n

C K

?∈满足()()r B r C r ==且A BC =，所以

()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=

故()r A r =．

必要性： 由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000r

I A P Q ??

=

???

．令,(,0)0r r I B P C I Q ??

== ???

，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满足()()r B r C r ==且A BC =．

六、

(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映

射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.

证明： 充分性： 法一：取V 的一组基12,,,n αααL ，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射

:V W σ→满足(),1i i i n σαβ=?≤≤，则

()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．

法二：取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,m ηηηL ，W 的一组基12,,,s γγγL ．设

1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?=L L

1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=L L

其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==L L ．

由于Im Im ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?L L ，即1

1,s

j ij i

i j n c αβ

=?≤≤=

∑．取

()ij s n C c ?=，则A BC =．定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=L L ，则?ψσ=.

必要性： 对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈ 从而，Im Im ?ψ?．

附加题: (本部分不计入总分)

设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.

证明： 充分性：法一：由于dim dim V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：

dim dim Ker Ker ?ψ=．取Ker ψ的一组基12,,,r ηηηL ；Ker ?的一组基12,,,r ξξξL ，将其扩充为V

的一组基121,,,,,r r n ξξξξξ+L L ，则1(),()r n ?ξ?ξ+L 是Im ?的一组基．由于Im Im ?ψ=，所以

1(),()r n ?ξ?ξ+L 是Im ψ的一组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，

所以1,,r n ηη+L 线性无关．

我们断言，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=L L ，

则将ψ作用于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=L ．由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以

10r n k k +===L ．于是1122r r k k k ηηη+++L ＝０．又12,,,r ηηηL 是Ker ψ的一组基，故10r k k ===L

从而，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 是W 的一组基． 定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξL 是V 的一组基，12,,,n ηηηL 是W 的一组基，故σ可逆．又()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从而?ψσ=．

法二： 取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,s γγγL ，W 的一组基12,,,n ηηηL ．设

1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=L L

1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=L L

且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =

1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得

A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设11

12121

22X X Q CP X X -??

=

???

，其中11X 是r 阶方阵，则11

121121

22(,0)(,0)X

X A B X X ??= ?

??

．从而，1111A B X =．又1A 列满秩，所以存在2r s

A K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A A

B X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵111

00

n r X X Q P I --??=

???

使得()11

11

11

11

1111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------????=====

? ?????

定义线性映射:V W σ→满足

1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=L L

由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．

必要性： 由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．又由:V W σ→可逆可知1

ψ?σ-=，所

以Im Im ψ??．从而，Im Im ?ψ=．