交变电流的产生与描述

交变电流的产生与描述

一、交变电流的产生和变化规律

1、 交变电流：大小和方向都随时间作周期性变化的电流叫做交变电流，简称交流电。

2、 正弦式电流；随时间按正弦规律变化的电流叫做正弦式电流，正弦式电流的图象是正弦曲线，我国市用的交变电流都是正弦式电流

3、中性面：中性面的特点是，线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零；线圈经过中性面时，内部的电流方向要发生改变。

4、正弦式交流电的产生和变化规律 （1）产生过程 （2）规律

函数形式：N 匝面积为S 的线圈以角速率ω转动，从某次经过中性面开始计时，则e=NBSωsinωt ，用Em 表示峰值NBSω，则t E e m ωsin =，电流t

i R

E R

e m ωsin =

=

。

二、 描述交变电流的物理量

1、周期和频率

交变电流的周期和频率都是描述交变电流变化快慢的物理量。

（1）周期T ：交变电流完成一次周期性变化所需的时间，单位是秒（S ），周期越大，交变电流变化越慢，在一个周期内，交变电流的方向变化2次。

（2）频率f:交变电流在1s 内完成周期性变化的次数，单位是赫兹，符号为Hz ，频率越大，交变电流变化越快。 （3）关系：

π

ω

21=

=T f

2、瞬时值、最大值、有效值和平均值

（1）感应电动势瞬时值表达式：(在计算通电导体或线圈所受的安培力时，应用瞬时值。) 若从中性面开始，感应电动势的瞬时值表达式：t e e m ωsin =（伏）。 感应电流瞬时值表达式：

t

I i m ωsin ·=（安）

若从线圈平面与磁力线平行开始计时，则感应电动势瞬时值表达式为：t

e m ωεcos ·=（伏）。

感应电流瞬时值表达式：

t

I i m ωcos ·=（安）

（2）交变电流的最大值（以交变电动势为例）。

m ε——交变电动势最大值：当线圈转到穿过线圈的磁通量为0的位置时，取得此值。应强

调指出的是，

m ε与线形状无关，与转轴位置无关，其表达式为ωεNBS m =。在考虑交流

电路中电容器耐压值时，应采用最大值。 （3）交变电流的有效值

①有效值是根据电流的热效应来规定的，在周期的整数倍时间内（一般交变电流周期较短，如市电周期仅为0，02s ，因而对于我们所考察的较长时间来说，基本上均可视为周期的整数倍），如果交变电流与某恒定电流流过相同电阻时其热效应相同，则将该恒定电流的数值叫做该交变电流的有效值。注意：这是在三个相同下的等效。 ②正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：

I I U U m m m 2,2,2===εε。

上述关系式只适用于线圈在匀强磁场中相对做匀速转动时产生的正弦交变电流，对于用其他方式产生的其他交变电流，其有效值与最大值间的关系一般与此不同，其它形式的交流电按热效应相同进行计算，利用分阶段计算效变电流一个周期内在某电阻上产生的热量，然后令其与直流电在相同时间内在同一电阻上产生的热量相等，此时直流电的值为交变电流的有效值。这是根据有效值的定义作具体分析。

③一般交变电流表直接测出的是交变电流的有效值，一般用电器铭牌上直接标出的是交变电流的有效值，一般不作任何说明而指出的交变电流的数值都是指有效值。 （4）交变电流的平均值

①交变电流图象中图象与t 轴所围成的面积与时间的比值叫做交变电流的平均值，

②平均值是利用

t n

E ??=?

来进行计算的，计算电量时只能用平均值，

【要点名师透析】

一、正弦式电流的变化规律

1.正弦式电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)

规律 物理量

函数 图象

磁通量

Φ＝Φm cos ωt ＝BS cos ωt

电动势

e ＝E m sin ωt ＝nBSωsin ωt 电压

u ＝U m sin ωt ＝RE m R ＋r sin ωt

电流

i ＝I m sin ωt ＝E m R ＋r

sin ωt

2.两个特殊位置的特点

(1)线圈平面与中性面重合时,S ⊥B,Φ最大

, =0,e=0,i=0,电流方向将发生改变. (2)线圈平面与中性面垂直时,S ∥B,Φ

=0,

最大,e 最大,i 最大,电流方向不改变.

3.书写交变电流瞬时值表达式的基本思路

(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式Em=nBS ω求出相应峰值. (2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式.

如：①线圈从中性面位置开始转动，则i-t 图象为正弦函数图象，函数式为i=Imsin ωt. ②线圈从垂直中性面位置开始转动，则i-t 图象为余弦函数图象，函数式为i=Imcos ωt. 【例1】如图(a)所示，一矩形线圈abcd 放置在匀强磁场中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时针匀速转动.若以线圈平面与磁场夹角θ=45°时［如图(b)］为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时电流方向为正.则下列四幅图中正确的是( )

二、交变电流“四值”的理解与应用

物理量 物理含义 重要关系 适用情况及说明 瞬时值

交变电流某一时刻的

值 e ＝E m sin ωt i ＝I m sin ωt 计算线圈某时刻的受

力情况 峰值

最大的瞬时值

E m ＝nBSω

I m ＝E m

R ＋r

讨论电容器的击穿电

压

有效值

跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值

E ＝

E m

2 U ＝U m 2

I ＝I m 2

适用于正(余)弦式电流

(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电

功率、电热等) (2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效

值

(3)保险丝的熔断电流

为有效值

平均值

交变电流图象中图线

与时间轴所夹的面积

与时间的比值

E ＝Bl v

E ＝n ΔΦ

Δt

I ＝

E

R ＋r 计算通过电路截面的

电荷量

【例2】一个电阻为r 、边长为L 的正方形线圈abcd 共N 匝,线圈在磁感应强度为B 的匀强

磁场中绕垂直于磁感线的轴OO ′以如图所示的角速度ω匀速转动,外电路电阻为R.

(1)在图中标出此刻线圈感应电流的方向.

(2)线圈转动过程中感应电动势的最大值有多大?

(3)线圈平面与磁感线夹角为60°时的感应电动势为多大?

(4)设发电机由柴油机带动,其他能量损失不计,线圈转一周,柴油机做多少功? (5)从图示位置开始,线圈转过60°的过程中通过R 的电量是多少? (6)图中电流表和电压表的示数各是多少?

三、几种典型交变电流有效值的计算问题

1.计算交流电有效值应注意的几个问题

(1)计算有效值时要注意根据电流的热效应,抓住“三同”:“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解.

(2)利用两类公式Rt I Q 2

=和t R

U Q 2

=可分别求得电流有效值和电压有效值.

(3)若图象部分是正弦(或余弦)交流电,其中的和周期部分可直接应用正弦式交变电流

有效值与最大值间的关系I=Im/,U=Um/

求解.

2.几种典型的交变电流

【例3】两个完全相同的电热器，分别通过如图a 和b 所示的电流最大值相等的方波交变电

流和正弦交变电流，则这两个电热器的电功率之比Pa∶Pb等于多少？

【感悟高考真题】

1.（2011·安徽高考·T19）如图所示的区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B 。电阻为R 、半径为L 、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O 轴以角速度ω匀速转动（O 轴位于磁场边界）。则线框内产生的感应电流的有效值为

A.22BL R ω

B. 222BL R ω

C. 224BL R ω

D. 24BL R ω

2.（2011·天津理综·T4）在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直转轴匀速转动，如图1所示。产生的交变电动势的图象如图2所示，则 A. t =0.005s 时线框的磁通量变化率为零 B. t =0.01s 时线框平面与中性面重合 C. 线框产生的交变电动势有效值为311V D. 线框产生的交变电动势频率为100HZ

3.（2010·广东卷）19.图7是某种正弦式交变电压的波形图，由图可确定该电压的

A.周期是0.01S

B.最大值是311V

C.有效值是220V

D.表达式为U=220sin100πt （V ）

4.（09·天津·9）（1）如图所示，单匝矩形闭合导线框abcd 全部处于磁感应强度为B 的水平匀强磁场中，线框面积为S ，电阻为R 。线框绕与cd 边重合的竖直固定转轴以角速度ω匀速转动，线框中感应电流的有效值I= 。线框从中性面开始转

过2π

的过程中，通过导线横截面的电荷量q= 。

5.（09·福建·16）一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图甲所示。已知发电机线圈内阻为5.0Ω，则外接一只电阻为95.0Ω的灯泡，如图乙所示，则（ ） A.电压表○v 的示数为220v

B.电路中的电流方向每秒钟改变50次

C.灯泡实际消耗的功率为484w

D.发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为

【考点模拟演练】

1.下面关于交变电流的说法中正确的是( )

A.交流电器设备上所标的电压和电流值是交流的最大值

B.用交流电流表和电压表测定的读数值是交流的瞬时值

C.给定的交流数值，在没有特别说明的情况下都是指有效值

D.对同一电阻且时间相同，则跟交流有相同的热效应的直流的数值是交流的有效值

2.(2011·泉州模拟)如图所示,面积均为S的线圈均绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B中以角速度ω匀速转动,能产生正弦交变电动势e=BSωsinωt的图是( )

3.矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的转轴匀速转动，产生的交流电动势的最大值为Em.设t=0时线圈平面与磁场平行，当线圈的匝数增加一倍，转速也增大一倍，其他条件不变时，交流电的电动势为( )

A.e=2Emsin2ωt

B.e=4Emsin2ωt

C.e=Emsin2ωt

D.e=4Emcos2ωt

4.某交变电流表串联一电阻构成交变电压表，总电阻R=2 kΩ，然后将改装的电表接到u=311sin100πt V的交流电源上，则( )

A.通过电流表电流的瞬时值为0.11sin100πt A

B.作为改装的电压表，其两端电压的瞬时值为311sin100πt V

C.电流表的示数为0.11 A

D.作为改装的电压表，其示数应为311 V

5．电阻R1、R2与交流电源按照图所示甲方式连接，R1

＝10 Ω，R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦交

变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则()

A．通过R1的电流有效值是1.2 A

B．R1两端的电压有效值是6 V

C．通过R2的电流最大值是1.2 2 A

D．R2两端的电压最大值是6 2 V

6.如图所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与

时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，

则经过1 min的时间，两电阻消耗的电功之比W甲∶W乙为()

A．1∶ 2 B．1∶2

C．1∶3 D．1∶6

7．如图所示，一单匝闭合线框在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴匀速转动，在转动过程中，线框中的最大磁通量为Φm ，最大感应电动势为Em ，下列说法正确的是( )

A ．当磁通量为零时，感应电动势也为零

B ．当磁通量减小时，感应电动势在减小

C ．当磁通量等于0.5Φm 时，感应电动势等于0.5Em

D ．角速度ω等于

Em

Φm

8．将阻值为5 Ω的电阻接到内阻不计的交流电源上，电源电动势随时间变

化的规律如图所示．下列说法正确的是( ) A ．电路中交变电流的频率为0.25 Hz

B ．通过电阻的电流为 2 A

C ．电阻消耗的电功率为2.5 W

D ．用交流电压表测得电阻两端的电压是5 V

9．如图(甲)所示，为电热毯的电路图，电热丝接在u ＝311sin100πt V 的电源上，电热毯被加热到一定温度后，通过装置P 使输入电压变为图(乙)所示的波形，从而进入保温状态，若电热丝电阻保持不变，此时交流电压表的读数是( ) A ．110 V B ．156 V C ．220 V D ．311 V

10．一只矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动，穿过

线圈的磁通量随时间变化的图象如图甲所示，则下列说法正确的是( )

A ．t ＝0时刻，线圈平面与中性面垂直

B ．t ＝0.01 s 时刻，Φ的变化率最大

C ．t ＝0.02 s 时刻，交流电动势达到最大

D ．该线圈产生的交流电动势的图象如图乙所示 11．(16分)一矩形线圈abcd 放置在如图所示的有理想边界的匀强磁场中(OO′的左边有匀

强磁场，右边没有)，线圈的两端接一只灯泡．已知线圈的匝数n ＝100，电阻r ＝1.0 Ω，ab 边长L1＝0.5 m ，ad 边长L2＝0.3 m ，小灯泡的电阻R ＝9.0 Ω，磁场的磁感应强度B ＝1.0×10－2 T ．线圈以理想边界OO′为轴以角速度ω＝200 rad/s 按如图10－1－22所示的方向匀速转动(OO′轴离ab 边距离为2

3L2)，以如图所示位置为计时起点．求：

(1)在0～T

4

的时间内，通过小灯泡的电荷量；

(2)画出感应电动势随时间变化的图象(以abcda 方向为正方向，至少画出一个完整的周期)； (3)小灯泡消耗的电功率．

12．如图所示，一个被x 轴与曲线方程y ＝0.2sin

10π

3

x(m)所围的空间中存在着匀强磁场．磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B ＝0.2 T ．正方形金属线框的边长是L ＝0.2 m ，电阻是R ＝0.1 Ω，它的一边与x 轴重合，在拉力F 的作用下，以v ＝10 m/s 的速度水平向右匀速运动．试求： (1)拉力F 的最大功率是多少？

(2)拉力F 要做多少功才能把线框拉过磁场区？

(3)有位同学在老师的帮助下算出了曲线与x 轴所围的面积为0.12

π m2.请你再帮他算出线框

右边框通过磁场区域的过程中通过线框某一截面的电荷量．(结果保留两位有效数字)

参考答案

例 1 【答案】选D.

【详解】t=0时，由右手定则得，此时ad 中电流方向为由a 到d ，与规定的正方向相反，电流为负值.又因为此时ad 、bc 两边的切割速度方向与磁场方向成45°夹角，由E=2Blv ⊥，

可得E=2×

Blv=

Em ，故电流是最大值的

，A 、B 均错.线圈在接下来45°的转动过

程中，ad 、bc 两边的切割速度越来越小，所以感应电动势应减小，感应电流应减小，因此C 错D 正确.

例 2【答案】(1)由右手定则可判定电流的方向沿dcba.(2分)

(2)Em=NBS ω=NB ωL2 (2分) (3)线圈平面与B 成60°角时的瞬时感应电动势

e=Em ·cos60°=NB ωL2. (2分) (4)电动势的有效值E= (1分)

电流的有效值I=

,柴油机做的功转化为电能,线圈转一周柴油机做的功

W=EIt=t= ·= (2分)

例 3【答案】2∶1

【详解】有效值与最大值关系I=是仅对正弦交变电流适用，即对于b 图才有

Ib=

，Pb=

R=

R ，对于a 图的方波交变电流来说，由于每时刻通过电阻R 的电流

都是Im ，只是方向做周期性变化，而对于电流通过电阻发热来说，它与电流方向是没有关系的.因此从热效应来说,a 图交变电流与电流是Im 的恒定电流是等效的，也可以说a 图交变电流有效值就是Im.因此Ia=Im ，Pa=

R=

R.所以Pa ∶Pb =1∶

=2∶1.

感悟高考真题 1 【答案】选D.

【详解】线框进入磁场和穿出磁场产生感应电动势均为

2

2

1L B ωε=, 产生感应电动势的时

间均为8T ,由一个周期产生的电热RT I T R R L B Q 2

2228)2(=??=ω,

R BL I 42ω=

,选D. 2 【答案】选B ．

【详解】由图2可知该正弦交变电流的电压最大值为311v ，周期等于0.02s ，因此，根据正

弦交变电流的最大值与有效值之间的关系式

2m U U =

得知选项C 错误，又T f 1=

，则频率

为Hz f 50=，选项D 错误，当t=0.005s 时，

v t n

u 311=??Φ

=，取得最大值，穿过线圈的

磁通量变化率最大，选项A 错误，当t=0.01s 时，交变电压及电流方向发生改变，电压值最

小等于零，线框平面与中性面重合，选项B 正确。 3 答案：BC

解析：交流电考察

由图知：最大值Um=311V 有效值

V

U U m 2202

==

周期T=0.02s 表达式

)(100sin 311V t u π= 选BC 。 4 答案：（1）R BS 22ω，R BS

解析：本题考查交变流电的产生和最大值、有效值、平均值的关系及交变电流中有关电荷量的计算等知识。

电动势的最大值ωBS E =m ，电动势的有效值

2m E E =

，电流的有效值R BS R

E

I 22ω

=

=；

R BS R t t R t R E t I q ====

=?Φ???Φ??。

5 24.2J 解析：电压表示数为灯泡两端电压的有效值,由图像知电动势的最大值

Em=2220V ，有效值E=220V ，灯泡两端电压

()V

r R RE

U 209=+=

，A 错；由图像知

T=0.02S ，一个周期内电流方向变化两次，可知1s 内电流方向变化100次，B 错；灯泡的实

际功率459.8W

W 95209R U P 2

2===,C 错；电流的有效值

A r R E

I 2.2=+=

，发电机线圈内阻

每秒钟产生的焦耳热为

J J rt I Q r 2.24152.22

2=??==，D 对。

考点模拟训练

1 【答案】选C 、D.【详解】交流电器设备上所标值及交流电表的测定值均为有效值，故A 、

B 错；根据有效值的定义，D 正确；通常情况，如果没有特别说明，给出的交流值均为有效

值，故C 正确. 2 【答案】选A. 【详解】线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴(轴在线圈所在平面内)匀速转动,产生的正弦交变电动势为e=BS ωsin ωt,由这一原则判断,A 图中感应电动势为e=BS ωsin ωt;B 图中的转动轴不在线圈所在平面内;C 、D 图转动轴与磁场方向平行,而不是垂直. 3 【答案】选D.

【详解】t=0时，线圈平面与磁场平行，此时磁通量为零，感应电动势达最大值，所以它应为余弦函数.当线圈的匝数和转速未增加时，e=Emcos ωt 当线圈的匝数和转速增加后，N ′=2N,ω′=2ω感应电动势的最大值Em ′=N ′BS ω′=4NBS ω=4Em 所以e ′=4Emcos2ωt.故正确答案为D. 4 【答案】选B 、C.

【详解】交流电表接入交变电流电路后，其示数均为有效值，但通过的电流还是交变电流的瞬时值，两端的电压也是瞬时值，电压的最大值是311 V ，有效值是220 V ；电流最大值是

A=0.156 A ，而有效值为0.11 A ，故选B 、C. 5 【答案】B

【详解】由i －t 图象可知，电流最大值Im ＝0.6 2 A ，有效值I ＝

Im

2

＝0.6 A ，因R1与R2串联，则I1＝I ＝0.6 A ，U1＝IR1＝6 V ，I2m ＝Im ＝0.6 2 A ，U2m ＝ImR2＝12 2 V ，故A 、C 、D 错，B 正确．

6 【答案】C 【详解】电功的计算，I 要用有效值计算，图甲中，由有效值的定义得???

?1

22R×2×10

－2＋0＋??

?

?122R×2×10－2＝I12R×6×10－2，解得I1＝33 A ；图乙中，I 的值不变I2＝1 A ，

由W ＝UIt ＝I2Rt 可以得到W 甲∶W 乙＝1∶3.

7 【答案】D 【详解】当磁通量为零时，线圈处在和中性面垂直的位置，此时感应电动势最大，A 错误；当磁通量减小时感应电动势反而在增大，B 错误；当磁通量等于0.5Φm 时，线圈平面和磁场方向夹角为30°或150°，此时感应电动势的大小e ＝BSωsin60°＝3

2

Em ，C 错误；根据BSω＝Φmω＝Em 判断D 正确．

8 【答案】C 【详解】由周期与频率的关系f ＝1

T 知，f ＝

1

4×10－2

Hz ＝25 Hz ；电压的有效值

U ＝Um 2＝52 V ＝52 2 V ，通过电阻的电流I ＝U R ＝22 A ，电阻消耗的电功率为P ＝U2

R ＝2．5

W ，交流电压表所测电压为有效值．故选C.

9 【答案】B 解析：○V 测的是交流电压的有效值，设为U ，则有： U2

R T ＝

311/ 22R ·T

2

，解得U ＝155.5 V ，故正确．

10 【答案】B 【详解】由Φ-t 图知，t ＝0时，Φ最大，即线圈处于中性面位置，此时e ＝0，

故A 、D 两项错误；由图知T ＝0.04 s ，在t ＝0.01 s 时，Φ＝0，ΔΦ

Δt 最大，e 最大，则B 项正

确；在t ＝0.02 s 时，Φ最大，ΔΦ

Δt

＝0，e ＝0，则C 项错误．

11 【详解】 (1)通过小灯泡的电荷量

q ＝IΔt ＝E R 总Δt ＝nΔΦ

R 总＝nBL1·23L2R ＋r ＝0.01 C.(2)ab 边在磁场里切割磁感线时最大感应电动势为

E1＝nBL1·2

3

L2·ω，代入数据得E1＝20 V .

cd 边在磁场里切割磁感线时最大感应电动势为E2＝nBL1·1

3L2·ω，代入数据得E2＝10 V .

图象如图所示．

(3)设线圈的感应电动势的有效值为U ，则 2022R ·T 2＋1022R ·T 2＝U2R

·T ，得U2＝125 V2， 则小灯泡消耗的电功率P ＝(U R 总

)2R ，代入数据得P ＝11.25 W.

12 答案：(1)1.6 W (2)4.8×10－2 J (3)7.6×10－2 C

解析：(1)当线框的一条竖直边运动到x ＝0.15 m 处时，线圈的感应电动势最大． Em ＝BLv ＝0.2×0.2×10 V ＝0.4 V 根据欧姆定律可得最大电流为Im ＝

Em

R

＝4 A 所以拉力F 的最大值为Fm ＝ImLB ＝0.16 N 拉力F 最大功率为Pm ＝Fmv ＝0.16×10 W ＝1.6 W.

(2)把线框拉过磁场区域时，因为有效切割长度是按正弦规律变化的，所以，线框中的电流

也是按正弦规律变化的(有一段时间线框中没有电流)．

电动势的有效值是E ＝Em

2＝0.2 2 V

通电时间为t ＝0.3×2

10

s ＝0.06 s

拉力做功W ＝E2

R t ＝0.048 J ＝4.8×10－2 J.

(3)通过线框截面的电荷量

q ＝I Δt ，而I ＝ΔΦRΔt ，所以q ＝ΔΦ

R

当磁场全部进入线框内部时，通过线框截面的电荷量最多，qm ＝BΔS R ＝0.2×0.12

0.1×π C ＝7.6×10

－2 C.