五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功
一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θ
cos
s
F
w?
=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小
不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可
以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩
擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果图1
把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一
段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为
，，…，，摩
擦力在一周内所做的功
二、平均值法
当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值
2
2
1
F
F
F
+
=，再由α
cos
L
F
W=计算变力做功。如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为（）
A．0 B．
2
1
x
F
m
C．
4
x
F
m
π
D．2
4
x
π
【精析】由于W＝Fx，所以F-x图象与x轴所夹的面
积表示功，由图象知半圆形的面积为
4m
F x
π
．C答案正
确．
图2
F
x0
F m
x
F
?
O x0
图2－甲
图2乙
三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过
A 、
B 、
C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：
A ．E K
B -E KA =E K
C -E KB B ．E KB -E KA C ．E KB -E KA >E KC -E KB D ． E KC <2E KB 【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD. 四.应用公式Pt W =求解。 当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功Pt W =。 例4.质量为m 的机车，以恒定功率从静止开始启动，所受阻力是车重的k 倍，机车经过时间t 速度达到最大值m v 。求机车在这段时间内牵引力所做的功。 解析：机车以恒定功率启动，从静止开始到最大速度的过程中，所受阻力不变，但牵引力是变力，因此，机车的牵引力做功不能直接用公式αcos FS W =来求解，但可用公式Pt W =来计算。 根据题意，机车所受阻力kmg f =。且当机车速度达到最大值时，f F =牵。 所以机车的功率为：max max max kmgv fv v F P ===牵。 根据Pt W =，机车在这段时间内牵引力所做的功为： t kmgv Pt W m ==牵。 五.S F -图象法。 在S F -图像中，图线与坐标轴围成的面积在数值上表示力F 在相应的位移上对物体做的功。这一点对变力做功问题也同样适用。 例5.如图4所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴 图4 线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为1x 过程中拉力所做的功。如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由1x 增大到2x 的过程中，拉力又做了多少功 解析：在拉弹簧的过程中，拉力大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力kx F =。 作出x F -关系图象，如图5所示，由图可知1AOx ?的面积在数值上等于把弹簧拉伸了1x 过程中拉力所做的功。 即: 211112 121kx x kx W ==。 梯形B x Ax 21的面积在数值上等于弹簧伸 长量由1x 增大到2x 过程中拉力所做的功。 即: )(2 1))((21212212212x x k x x kx kx W -=-+=。 以上所列举的方法只是物理学中常见 的方法，跟多的还是要带着学生进一步的思考和训练，才能掌握好变力做功的情况 图5