初中二次函数知识点汇总 和典型中考题

二次函数知识点及典型中考题

一、基本概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2

y a x h =-的性质：（左加右减）

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法2：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()

2

y a x h k

=-+与2

y ax

bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到

前者，即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ???

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开

口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点

为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，

，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．当2b

x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上

是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠

的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

部编人教版九年级数学上册中考热点微专题二

二次函数

重点强化一 二次函数的性质及其图象

（一）二次函数的开口方向

1.（2019·株洲）若二次函数

2

y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）．

解：二次函数开口向下，则a<0。 （二）二次函数的顶点坐标

2.（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3）

B.（1，-3）

C.（-1.3）

D.（-1.-3）

解：二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），

故选A.

（三）二次函数的对称轴

3.（2019·重庆B 卷）物线y ＝263-2

++x x 的对称轴是（ ）

A.直线 2=x

B.直线 2-=x

C.直线 1=x

D.直线 1-=x

解：设二次函数的解析式是y=c bx ax ++2

， 则二次函数的对称轴为直线

a b

x 2-

=,顶点横坐

标为a b 2－顶点纵坐标为a ac 44２

－ｂ.所以抛物线y ＝263-2

++x x 的对称轴是直线 1=x .故选

Ｃ．

（四）二次函数的增减性

4.（2019·无锡）某个函数具有性质：当x >0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式

可以是____________（只要写出一个符合题意的答案即可）.

解：本题主要考查了一次函数与二次函数的增减性， y=kx （k>0）和y=ax 2（a>0）都符合条

件，故答案可以为y=x 2.

（五）二次函数的最值

5.（2019·温州）已知二次函数y=x 2-4x+2，关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，下列说

法正确的是

（ ）

A ．有最大值-1，有最小值-2

B ．有最大值0，有最小值-1

C ．有最大值7，有最小值-1

D ．有最大值7，有最小值-2

解：∵二次函数y=x 2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，当x=2时，y 有最小值-2；当x=-1时，y 有最大值7．故选D. （六）二次函数的表达式互相转化

6.（2019·陇南）将二次函数y ＝x 2﹣4x+5化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式为 ． 解：y=2x -4x+5=2)2(-x +1，故答案为：y=2)2(-x +1，． （七）二次函数的图象平移

7.（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线

)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )

A.向左平移2个单位

B.向右平移2个单位

C.向左平移8个单位

D.向右平移8个单位

解：y ＝（x+5）（x ﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．

y ＝（x+3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x+5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x+3）（x ﹣5），故选B ．

8.（2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）

A ．y ＝(x －4)2－6

B ．y ＝(x －1)2－3

C ．y ＝(x －2)2－2

D ．y ＝(x －4)2－2 解；y ＝x 2

－6x ＋5＝ (x －3) 2

－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2． （八）二次函数的性质及其图象的综合

9.（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m+1（m 为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x+1上；

②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A（x

1，y

1

）与点B（x

2

，y

2

）在函数图象上，若x

1

＜x

2

，x

1

+x

2

＞2m，则y

2

＜y

2

；

④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．

其中错误结论的序号是（）

A．①B．②C．③D．④

解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,

①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,

∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,

故结论①正确；

②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，

解得：x＝m﹣，x＝m+，

∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,

∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,

解得：m＝0或1,

∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,

故结论②正确；

③∵x

1+x

2

＞2m,

∴,

∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m, ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,

∵x

1＜x

2

，且﹣1＜0,

∴y

1＞y

2

, 故结论③错误；

④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0, ∴m的取值范围为m≥2．

故结论④正确．故选C．

10.（2019·烟台）已知二次函数

2

y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表： x -1 0 2 3 4 y

5

-4

-3

下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线2x =；③当04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x

<．其

中正确的个数是（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解：先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，

所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)

A x ，2(,3)

B x 是抛物线上两点，

既有可能

12

x x <，也有可能

12

x x >，所以结论⑤错误．

重点强化二 二次函数的图象与一次函数、反比例函数

11.（2019·自贡）一次函数y=ax+b 与反比例函数y=x

c

的图象如图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的大致图象是（ ）

解：∵双曲线y=

x

c

经过一、三象限，∴c ＞0. ∴抛物线与y 轴交于正半轴.

∵直线y=ax+b 经过第一、二和四象限，∴a ＜0，b ＞0，即a

b

2-

＜0. ∴抛物线y=a 2x+bx+c 开口向下，对称轴在y 轴的右侧.故选A.

12.（2019·凉山）当0≤x ≤3时，直线y=a 与抛物线y=(x-l)2-3有交点，则a 的取值范围

是．

解：抛物线y=(x-1)2-3的顶点坐标为（1，-3），当x=0时，y=-2，当x=3时，y=1，∴当0≤x≤3时，-3≤y≤-2，∴直线y=a与抛物线有交点时，a的取值范围为-3≤a≤-2.

重点强化三二次函数与一元二次方程

14.（2019山东威海）在画二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

x ……﹣1 0 1 2 3 ……

y甲…… 6 3 2 3 6 ……

乙写错了常数项，列表如下：

x ……﹣1 0 1 2 3 ……

y乙……﹣2 ﹣1 2 7 14 ……

通过上述信息，解决以下问题：

若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

解：因为根据甲同学的错误可知c＝3，

根据乙同学提供的数据，选择x＝﹣1，y＝﹣2；x＝1，y＝2代入

得，解得∴，∴y＝﹣3x2＋2x＋3；

∵方程ax2＋bx＋c＝k（a≠0）有两个不相等的实数根，

即﹣3x2＋2x＋3﹣k＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝4＋12（3﹣k）＞0，解得k＜.

重点强化四二次函数与不等式

15.（2019·济宁）如图，抛物线y＝a2x＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式a2x＋mx＋c＞n的解集是______________．

x

y

B

A

O

由所给的图象可知，x ＜－3或x ＞1时，a 2x ＋c ＞－mx ＋n ．

重点强化五 二次函数与几何结合

16.（2019山东德州，25，14分）如图，抛物线2542

y mx mx =--与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，

0)两点，与y 轴交于点C ，且21112

x x -=

． （1）求抛物线的解析式；

（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，29

2

x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；

（3）抛物线上一点(1,5)D -，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．

解：（1）函数的对称轴为：125242x x b x a +=-

==

，而且2111

2

x x -=， 将上述两式联立并解得：132

x =-，24x =，

则函数的表达式为：233()(4)(46)22

y a x x a x x x =+-=-+-， 即：64a -=-，解得：23

a =，

故抛物线的表达式为：225433

y x x =--； （2）当294

x =时，22y =，

①当52

4a a +时（即3

:)4

a -， 12y y ，则225

4233

a a --，

解得：922a --，而34

a -， 故：324

a --； ②当

5

24

a a +（即5)4a 时，

则22

5

(2)(2)423

3a a +-+-， 同理可得：35

44

a

-

， 故a 的取值范围为：5

24

a

-； （3）当BDC MCE ∠=∠，MDC ?为等腰三角形，

故取DC 的中点H ，过点H 作线段CD 的中垂线交直线BD 与点M ，则点M 为符合条件的点， 点1(2

H ，9)2

-，

将点C 、D 坐标代入一次函数表达式：y mx n =+并解得： 直线CD 的表达式为：4y x =--， 同理可得：直线BD 的表达式为：520

3

3

y x =-

?①， 直线DC MH ⊥，则直线MH 表达式中的k 值为1， 同理可得直线HM 的表达式为：5y x =-?②， 联立①②并解得：52

x =， 故点5(2

M ，5)2

-．

重点强化六 二次函数在实际生活中的应用

17.（2019·襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h ＝20t －5t 2，则小球从飞山到落地所用的时间为________s.

解：球开始和落地时，都说明h=0，则20t-5t 2=0，解得t 1=0，t 2=4，因而小球从飞出到落地的时间为4-0=4秒．

18.（2019·菏泽）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论： ①小球在空中经过的路程是40m ； ②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0； ④小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s ． 其中正确的是（ ）

A ．①④

B ．①②

C ．②③④

D ．②③

解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故①错误；

②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：h ＝a （t ﹣3）2+40， 把O （0，0）代入得0＝a （0﹣3）2+40，解得a 9

40-

=， ∴函数解析式为h 9

40

-

=（t ﹣3）2+40， 把h ＝30代入解析式得，309

40

-=（t ﹣3）2+40，

解得：t ＝4.5或t ＝1.5，

∴小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s 或4.5s ，故④错误，故选D ．

19.（2019·山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米,(即AB ＝90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则次抛物线型钢拱的函数表达式为( )

A.y ＝26675

x 2

B.y ＝26675

-

x 2

C.y ＝

131350

x 2

D.y

＝131350

-

x 2

解：设二次函数表达式为y ＝ax 2,由题可知,点A 坐标为(－45,－78),代入表达式可得:－78＝a(－45)2

,解得a ＝26675-

,∴二次函数表达式为y ＝26675

-x 2

,故选B. 重点强化七 二次函数与一次函数在实际生活中的应用

20.（2019山东省青岛市，22，10分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该

商品每天获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b

k b

=+??

=+?，

解得：2

160k b =-??

=?

， 故函数的表达式为：2160y x =-+；

（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，

20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ，

∴当50x =时，w 由最大值，此时，1200w =，

故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元； （3）由题意得：(30)(2160)800x x --+， 解得：70x ，

∴每天的销售量216020y x =-+，

∴每天的销售量最少应为20件．

21. （2019·衢州市）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间

数为80间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格x （元）的数据如下表：

（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。 （2）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围。

（3）设客房的日营业额为w （元），若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，

客房的日答业额最大？最大为多少元？

x （元）

…

190

200

210

220

…

y （间） … 65 60 55 50 …

解：（1）如图所示。

（2）解：设y=kx+6（k ≠0），把（200,60）和（220，50）代入，

得2006022050k b k b +=??+=?，解得12160

k b ?

=-=????……4分

∴y=-1

2

x+160(170≤x ≤240)。

（3）w=x ·y=x ·（-12x+160）=-1

2

x 2+160x.

∴对称轴为直线x=-2b

a

=160， ∵a=-

1

2

<0，∴在170≤x ≤240范围内，w 随x 的增大而减小。 故当x-170时，w 有最大值，最大值为12750元。