高考数学考点归纳之对数函数
高考数学考点归纳之对数函数
一、基础知识
1．对数函数的概念
函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
y＝log a x的3个特征
(1)底数a>0，且a≠1；
(2)自变量x>0；
(3)函数值域为R.
2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质
3．反函数
指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．
二、常用结论
对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，????1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．
(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a
x (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．
(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0 考点一 对数函数的图象及应用 [典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( ) (2)已知当0 4 时，有x [解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝? ???? lg (x －1)，x >1， lg (1－x )，x <1. 当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． (2)若x 4时成立，则0 由图象知 14 ， 所以????? 16 即实数a 的取值范围是????116，1. [答案] (1)A (2)????116，1 [变透练清] 1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( ) 解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C. 2．已知函数f (x )＝? ???? log 2x ，x ＞0， 3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则 实数a 的取值范围是________． 解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1. 答案：(1，＋∞) 3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈????0，1 2时，不等式x 2 ?0，1 2上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0 要使x 2 2， 所以有????122≤log a 12，解得a ≥116，所以1 16≤a <1. 即实数a 的取值范围是????1 16，1. 考点二 对数函数的性质及应用 考法(一) 比较对数值的大小 [典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b [解析] 因为c ＝log 12 1 3 ＝log 23>log 2e ＝a ， 所以c ＞a . 因为b ＝ln 2＝1 log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b . [答案] D 考法(二) 解简单对数不等式 [典例] 已知不等式log x (2x 2＋1) [解析] 原不等式?????? 0 x >1，2x 2＋1<3x <1 ②，解不等式组①得13 2，不 等式组②无解，所以实数x 的取值范围是???? 13，12. [答案] ???? 13，12 考法(三) 对数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1 则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． [题组训练] 1．已知a ＝2-13 ，b ＝log 213，c ＝log 12 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 解析：选C 0 -1 3 <20＝1，b ＝log 213 1 3 ＝log 23>1，∴c >a >b . 2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.????0，1 2 B.????0，1 2 C.??? ?1 2，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A ∵－1 2 . 3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即????? 12a ≤3，9a －3>0， 解得a >1 3 . 答案：????13，＋∞ [课时跟踪检测] A 级 1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.??? ?2 3，＋∞ D.??? ?2 3，＋∞ 解析：选C 由? ???? log 3(2x －1)＋1≥0， 2x －1＞0， 即??? log 3(2x －1)≥log 313 ， x ＞1 2， 解得x ≥2 3 . 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log2x B.12x C ．log 12 x D ．2x － 2 解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12 x y <0，那么( ) A ．y B ．x C ．1 D ．1 解析：选D ∵log 12 x y 1，∴x >y >1. 4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( ) 解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C. 5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π 5 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c 解析：选D 依题意，得a >1,0 5<1,2>1，得c <0，故 a > b > c . 6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 解析：选A 由已知得0f (2)． 7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________. 解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α ＝2，所以α＝1 2 ，故幂函数为f (x )＝x 1 2. 答案：x 12 8．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________. 解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1， 所以????? b －1＝1，b ＝a ，即????? b ＝2，a ＝2. 所以log b a ＝1. 答案：1 9．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)． 答案：(5，＋∞) 10．设函数f (x )＝????? log 2 x ，x ＞0，log 1 2 (－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是 ________________． 解析：由f (a )＞f (－a )得????? a ＞0，log 2a ＞log 12a 或???? ? a ＜0，log 1 2 (－a )＞log 2(－a )， 即????? a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或????? a ＜0， －log 2(－a )＞log 2(－a ). 解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 11．求函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值． 解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝ 12log 2x ·log 2(4x 2)＝1 2 log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝????log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－1 4 . 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间??? ?0，3 2上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2. 由? ???? 1＋x ＞0， 3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在??? ?0，3 2上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级 1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ????2a >f ????3a ，则f ????1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3 a 且 f ????2a >f ????3a ，所以f (x )＝lo g a x 在(0，＋∞)上单调递减，即00，得0<1－1 x <1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ????x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间????1 2，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：令M ＝x 2＋3 2x ，当x ∈????12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数， 又M ＝????x ＋342－9 16 ， 因此M 的单调递增区间为????－3 4，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－3 2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )． 因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12 (－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝? ?? log 12x ，x >0， 0，x ＝0， log 12 (－x )，x <0. (2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5