山东省潍坊市寿光现代中学2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题

山东省潍坊市寿光现代中学【最新】高一下学期开学考试数

学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．已知集合11|

22,|ln 022x A x B x x ?????

?=<≤=-≤???? ??

????

?,则()R A B =( ) A ．?

B ．11,2

??- ??

?

C ．1,12??????

D ．(]1,1-

2．设0.5

0.4

434

34,,log 43a b c ????

=== ? ?????,则

( ) A ．c b a <<

B ．a b c <<

C ．c a b <<

D ．a c b <<

3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β B ．若m ∥α，n ?α，则m ∥n

C ．若α∩β=m ，n ∥α，n ∥β，则m ∥n

D ．若α⊥β，且α∩β=m ，点A ∈α，直线AB ⊥m ，则AB ⊥β

4．若函数2()3f x x ax =--在(1)-∞-，

上是减函数,则a 的取值范围是( ) A ．2a >

B ．2a <

C ．2a ≥

D ．2a ≥-

5．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1

21(3

f x f -<）的x 的取值范围是（ ）

A ．12,33??????

B ．1233?? ???，

C ．1233?? ???，

D ．1233??????

，

6．直线420mx y +-=与直线20x y n -+=垂直,垂足为(1

)p ，,则n 的值为( ) A ．2-

B ．4-

C ．10

D ．8

7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1

C ．1

D

2

8．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的

A ．22(2)(1)1x y -+-=

B ．2

27(3)13x y ??-+-= ??? C ．22

(1)(3)1x y -+-=

D ．2

23(1)12x y ??-+-= ??

?

9．如图所示,已知(1

0)(10)M N -，，，,直线20x y b +-=与线段MN 相交,则b 的取值范围是( )

A ．[22]-，

B ．[11]-，

C ．11[]22

-，

D ．[0]2，

10．已知函数22

log (1),(12)

()43,(2)

x x f x x x x ?+-<≤=?-+->?,若关于x 的方程()0f x t -=有3个不同的实数根,则实数t 的取值范围是( )

A ．[0]1，

B ．()01，

C ．20lo [g ]3，

D ．2(0log 3)，

11．如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -，点,P Q 分别在侧棱1AA 和1CC 上，1AP C Q =，平面BPQ 把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为（ ）

A ．2:1

B ．3:1

C ．3:2

D ．4:3

12．过点(12)M ，的直线l 与圆()2

229C x y -+=：交于A B 、

两点,C 为圆心,当点C 到直线l 的距离最大时,直线l 的方程为( ) A ．1x = B ．1y = C ．10x y -+= D ．230x y -+=

二、填空题 31log 2

14．函数()()ln 3f x x =

-的定义域为_____.

15．已知点()M a b ，在直线34200x y +-=上,_____. 16．如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD 为正方形,E F ，分别为PA PD ，的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线BE 与直线CF 异面;②直线BE 与直线AF 异面;③直线//EF 平面PBC ;④平面BCEF ⊥平面PAD ;其中正确的是_____.

三、解答题

17．已知集合{|121}A x a x a =-<<+,函数()()0f x ax b a =+≠,且

()2141f x x =++.

(1)求()f x ;

(2)若集合()13{|}B x f x =<<,且B A ?,求实数a 的取值范围.

18．如图，四棱锥P ?ABCD 中，BC ∥AD,BC =1,AD =2,AC ⊥CD ，且平面PCD ⊥平面ABCD .

（1）求证：AC ⊥PD ；

（2）在线段PA 上是否存在点E ，使BE ∥平面PCD ？若存在，确定点E 的位置，若不存在，请说明理由.

19．已知以点C 为圆心的圆经过点()10A -，和()34B ，，且圆心在直线3150x y +-=上.

（1）求圆C 的方程；

（2）设点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值.

20．如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,2AB AD CD AB ⊥=，,平面PAD ⊥底

面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:

(1)PA ⊥底面ABCD ; (2)平面//BEF 平面PAD ; (3)平面BEF ⊥平面PCD .

21．某工厂生产甲?乙两种产品所得的利润分别为P 和Q (万元),它们与投入资金m

(万元)的关系为:3

3020

P m Q =

+=，今将300万资金投入生产甲?乙两种产品,并要求对甲?乙两种产品的投入资金都不低于75万元.

(1)设对乙种产品投入资金x (万元),求总利润y (万元)关于x 的函数; (2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润. 22．已知函数()()4

10,12x

f x a a a a

=->≠+且()00f =. （1）求实数a 的值；

（2）若函数()()

()21x

g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围；

（3）若存在()0,1x ∈，使()22x

f x m >?-成立，求实数m 的取值范围.

参考答案

1．B 【解析】 【分析】

求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】

1{|

22}{|11}2x A x x x =<=-<，113{|()0}{|}222

B x ln x x x =-=<， 3{|2R B x x ∴=>

或1}2x

，则12(1,)A B ?

?- ??

?=R ． 故选：B ． 【点睛】

本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题. 2．C 【分析】

利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案． 【详解】

0.50330()()144a <=<=，0.4044

()()133

b =>=，3344log 410

c log =<=，

c a b ∴<<．

故选：C ． 【点睛】

本题考查对数值的大小比较、有理指数幂与对数的运算性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意引入中间变量0和1. 3．C 【解析】 【分析】

对每一个选项逐一判断得解. 【详解】

A 选项不正确，因为α⊥β，m ⊥β时，可能有m ?α；

B 选项不正确，因m ∥α，n ?α，则m ∥n 或异面．

C 选项正确，因为α∩β=m ，n ∥α，n ∥β，则画图如下左图：必有m ∥n ，

D 选项不

正确，画图如下右图：故选：C ．

【点睛】

本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键． 4．D 【分析】

二次函数的图象开口向上，根据题意，对称轴12

a

x =-，得出结论．

【详解】

2()3f x x ax =--在(,1)-∞-上是减函数，开口向上，

对称轴12

a

x =-，即2a -.

故选：D ． 【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 5．B 【分析】

根据偶函数的对称性可得()f x 在区间(,0)-∞上单调性，然后利用单调性脱去

()1

21(3

f x f -<）的""f ，得到关于x 的不等式，解出即可.

【详解】

解：因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，

所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减， 故x 越靠近y 轴，函数值越小， 因为()1

21(3

f x f -<）， 所以1213

x -<

， 解得：

1233

x <<， 故选：B. 【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，是基础题. 6．A 【分析】

根据：直线420mx y +-=与直线20x y n -+=垂直，垂足为(1,)p ，可得240m -=，再把点(1,)p 代入方程即可得出． 【详解】

∵直线420mx y +-=与直线20x y n -+=垂直， ∴240m -=，∴2m =，

∵垂足为(1,)p ，∴420,2420,20,20,m p p p n p n +-=+-=?????-+=-+=??

，解得：2n =-．

故选：A ． 【点睛】

本题考查相互垂直的直线斜率之间的关系、方程的解法，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 7．C 【解析】 【分析】

由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】

设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，

∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝

πr 2，S 底＝πr 故选C ．

本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题． 8．A 【解析】

试题分析：设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0）， 由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=

4315

a b r -==，

化简得：|4a-3b|=5①， 又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去）， 把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-1

2

（舍去），∴圆心坐标为（2，1）， 则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1． 故选A

考点：圆的方程的求解

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程． 9．A 【分析】

由题意知，两点(1,0)A -，(1,0)B ，分布在直线20x y b +-=的两侧，列出不等式，解之即得b 的取值范围． 【详解】

由题意得：两点(1,0)A -，(1,0)B ，分布在直线20x y b +-=的两侧，

(2)(2)0b b ∴---， [2b ∴∈-，2]．

故选：A ． 【点睛】

本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、点与直线的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

【分析】

画出函数()f x 的图象，利用数形结合转化求解即可． 【详解】

方程()0f x t -=有3个不同的实数根，

画出()y f x =的函数图象以及y t =中的图象，22|log 3||log 2|1>=， 当(0,1)t ∈时，两个函数图象有3个不同的交点. 故选：B ．

【点睛】

本题考查分段函数的性质、方程的根与图象的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离的应用. 11．A 【解析】 【分析】

连接11,BA BC ，三棱柱111ABC A B C -可分割为：B APQC -，11B C QPA -，111B B A C -，三部分，分析可得三部分体积相等，整理即可求解。 【详解】

设直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，

连接11,BA BC ，点P 、Q 分别在棱1AA 和1CC 上，1AP C Q =，

∴四棱锥的B APQC -，11B C QPA -的底面积相等，

∴把直三棱柱111ABC A B C -分割为：B APQC -，11B C QPA -，111B B A C -，

∴三棱锥的111B B A C -为1

3

V ，

∴四棱锥B APQC -，11B C QPA -的体积之和为：12

-33

V V V =，

四棱锥的B APQC -，11B C QPA -的底面积，高相等．

∴四棱锥的B APQC -，11B C QPA -的体积相等，即为1

3V ，

∴棱锥B APQC -，11B C QPA -，111B B A C -的体积相等，为1

3V ，

∴平面BPQ 把三棱柱分成两部分的体积比为2:1．

【点睛】

本题考查椎体体积的求法，考查空间想象能力，计算推理的能力，属中档题 12．D 【分析】

判断点C 到直线l 的距离最大时的特征，求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【详解】

点C 到直线l 的距离||d

CM ，

当l CM ⊥时，点C 到直线l 的距离最大， 所以1CM l k k =-．又20212

CM k -=

=--，所以1

2l k =．

所以直线l的方程为

1

2(1)

2

y x

-=-．即230

x y

-+=．

故选：D．

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系、直线互相垂直、直线方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意在垂直情况下取到最值. 13．33

【分析】

利用指数及对数的运算法则直接计算即可．

【详解】

原式

3

22

(3)2(2)(425)274233

lg

=-?-+?=++=．

故答案为：33．

【点睛】

本题考查指数及对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题．14．[2)3，

【分析】

根据函数解析式有意义的条件，建立不等式关系进行求解即可．【详解】

要使函数有意义，则

240

30

x

x

?-

?

->

?

，得

2

3

x

x

?

?

<

?

，

∴即函数的定义域为[2，3).

故答案为：[2，3).

【点睛】

本题考查函数定义域的求解，结合条件转化为不等式是解决本题的关键，属于基础题. 15．4

【分析】

34200

x y

+-=上的点的距离，求出原点到直线

34200

x y

+-=的距离为4

【详解】

34200x y +-=上的点的距离，

∴34200x y +-=的距离，

原点到直线34200x y +-=的距离为

20

45

=，

∴4，

∴4．

故答案为：4． 【点睛】

本题考查点到直线的距离、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

. 16．②③ 【分析】

对①，根据三角形的中位线定理可得四边形EFBC 是平面四边形，直线BE 与直线CF 共面；对②，由异面直线的定义即可得出；对③，由线面平行的判定定理即可得出；对④，可举出反例 【详解】

由展开图恢复原几何体如图所示：

对①，在PAD ?中，由PE EA =，PF FD =，根据三角形的中位线定理可得//EF AD ， 又

//AD BC ，//EF BC ∴，因此四边形EFBC 是梯形，故直线BE 与直线CF 不是异

面直线，故①不正确；

对②，由点A 不在平面EFCB 内，直线BE 不经过点F ，根据异面直线的定义可知：直线BE 与直线AF 异面，故②正确；

对③，由①可知：//EF BC ，EF ?/平面PBC ，BC ?平面PBC ，

∴直线//EF 平面PBC ，故③正确；

对④，如图：假设平面BCEF ⊥平面PAD ．过点P 作PO EF ⊥分别交EF 、AD 于点O 、

N ，在BC 上取一点M ，连接PM 、OM 、MN ，PO OM ∴⊥，又PO ON =，

PM MN ∴=．

若PM MN ≠时，必然平面BCEF 与平面PAD 不垂直．故④不一定成立． 综上可知：只有②③正确.

故答案为：②③

【点睛】

本题考查空间中直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理、异面直线的定义，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意侧展图与直观图的联系. 17．(1)21x -;(2)1

22

a ≤≤. 【分析】

（1）利用代入法求出()21f x +，即可求()f x ；

（2）化简集合B ，利用B A ?，建立不等式，即可求实数a 的取值范围． 【详解】

(1)∵函数()()0f x ax b a =+≠,∴()21241f x ax a b x +++=+=

∴241a a b =??+=?

,∴21a b ==-，,

∴()21f x x =-;

(2)集合(){|}{|13121312{|}B x f x x x x x =<<-<=<<<=, ∵B A ?,

∴11212a a -≤??+≥?

,

∴

1

22

a ≤≤. 【点睛】

本题考查函数解析式的求解、集合间的关系求参数，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号能否取到.

18．(1)证明过程见解析；（2）当点E 是线段PA 的中点时，BE//平面PCD ，证明过程见解析.

【解析】试题分析：（1）由平面PCD⊥平面ABCD，根据面面垂直性质定理可得AC⊥平面PCD，故可得线线垂直；（2）当E为中点时，取PD中点F，连接EF，CF，利用三角形中位线结合构造平行四边行可得BE//CF，故可得结论.

试题解析：证明：（1）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

AC⊥CD，AC?平面ABCD，

∴AC⊥平面PCD,

∵PD?平面PCD,所以AC⊥PD.

(2) 当点E是线段PA的中点时，BE//平面PCD.

证明如下：分别取AP,PD的中点E,F，连接BE,EF,CF.

则EF为ΔPAD的中位线，

AD=1，

所以EF//AD,且EF=1

2

又BC//AD，所以BC//EF,且BC=EF，

所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE//CF,

又因为BE?平面PCD，CF?平面PCD

所以BE//平面PCD.

点睛：本题考查了线线垂直的判定以及线面平行的探究等；破解线面、线线垂直关系的技巧：(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求解线面平行的题型中，常见的方式有：1.利用三角形中位线；2.构造平行四边形；3.利用面面平行等.

19．（1）；（2）1685

．

【解析】

试题分析：（1）根据题意，得出圆心为的垂直平分线和直线的交点，

进而求解圆心坐标和半径，即可得出圆的方程；（2）由（1）中得出AB ，圆心到

的

距离为d ，得出P 到

距离的最大值，得到PAB △的面积的最大值.

试题解析：（1）依题意所求圆的圆心

为

的垂直平分线和直线

的交点，

中点为

斜率为，

垂直平分线方程为

，即

．

联立解得即圆心，半径，

所求圆方程为．

（2）

，圆心到

的距离为，

P 到

距离的最大值为

，

所以PAB △面积的最大值为

考点：圆的标准方程；圆的最值问题．

【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程的求解、与圆有关的最值问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积公式和点与圆的最值问题等知识点的考查，其中把三角形面积的最值转化为圆的最值是解答的关键，着重考查了学生的转化与化归思想和方程思想，属于中档试题． 20．(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析. 【分析】

（1）平面PAD ⊥底面ABCD ，由此能证明PA ⊥底面ABCD ；

（2）由已知得ABCD 是平行四边形，从而//AD BE ，由三角形中位线定理得//EF PD ，由此能证明平面//BEF 平面PAD ；

（3）由BE CD ⊥，AD CD ⊥，得PA CD ⊥，从而CD PD ⊥，再推导出//PD EF ，由此能证明平面BEF ⊥平面PCD ． 【详解】

(1)∵平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD

底面ABCD AD =，PA ?平面PAD ，

PA AD ⊥，

∴PA ⊥底面ABCD .

(2)∵//2AB CD CD AB E =，，是CD 的中点,

∴//AB DE ,且AB DE =, ∴ABCD 是平行四边形, ∴//AD BE ,

∵BE ?平面PAD ,AD ?平面PAD , ∴//BE 平面PAD ,

∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点, ∴//EF PD ,

∵EF ?平面PAD ,PD ?平面PAD , ∴//EF 平面PAD ,

∵BF BE B AD PD D ?=?=，, ∴平面//BEF 平面PAD .

(3)∵AB AD ABED ⊥，是平行四边形, ∴BE CD AD CD ⊥⊥， , 由(1)知PA ⊥底面ABCD , ∴PA CD ⊥, ∴CD ⊥平面PAD , ∴CD PD ⊥,

∵E 和F 分别是CD 和PC 的中点, ∴//PD EF , ∴CD EF ⊥, ∴CD ⊥平面BEF , ∵CD ?平面PCD , ∴平面BEF ⊥ 平面PCD .

【点睛】

本题考查线面垂直、面面平行、面面垂直的证明，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，

求解时注意定理条件书写的完整性.

21．(1)3

115420

y x =-

+;(2)当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元. 【分析】

（1）根据题意，对乙种产品投资x （万元），对甲种产品投资(150)x -（万元），利用利润公式，可求甲、乙两种产品的总利润y （万元）关于x 的函数表达式； （2）利用配方法，可求总利润y 的最大值． 【详解】

(1)根据题意,对乙种产品投资x (万元),对甲种产品投资(300)x - (万元),

那么总利润33

300304011542020

()y x x =

-+++=-+, 由75

30075x x ≥??

-≥?

,解得75225x ≤≤,

所以3

115420

y x =-+,其定义域为[75]225，

;

(2)令t =因为75[5]22x ∈，

,故[]5t ∈, 则2233

3115101)30200

(2y t t t =-

++=--+, 所以当10t =时,即100x =时,130max y =,

答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元. 【点睛】

本题考查函数的实际应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查阅读理解能力和运算求解能力，求解时注意利用函数的最值解决问题. 22．（1）2a =；（2）1k <；（3）2m < 【分析】

(1)通过函数的解析式解()00f =求出a 即可;

(2)化简函数的解析式，利用函数的零点，结合函数的值域求解即可; (3)利用换元法，令2x t =，则()1,2t ∈，利用分离参数思想化简可得12

1

m t t <+

+，结合

121

y t t =++在()1,2t ∈上的单调性，转化求解函数的最值即可.

【详解】

(1)对于函数()()4

10,12x

f x a a a a

=->≠+， 由()4

0102f a

=-=+， 得2a =.

(2)由(1)知()42

1122221

x x f x =-

=-?++，

若函数()()

()2121221x

x

x

g x f x k k k =++=+?-+=-+有零点，

则函数2x

y =的图象和直线1y k =-有交点， ∴10k ->，求得1k <.

(3)存在()0,1x ∈，使()22x

f x m >?-成立，

即212221

x

x

m -

>?-+成立. 令2x

t =，则()1,2t ∈，且

()()323112111

t m t t t t t t t +<-==++++. 由于12

1y t t =++在()1,2t ∈上单调递减，

∴1212721236

t t >+>+=+，

∴2m < 【点睛】

本题考查函数与方程的应用，考查函数的零点以及函数的最值的求法，函数能成立的应用，考查计算能力，属于中档题.