一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组
一 内容提要
1． 基本概念
一阶微分方程组：形如
???
?????
???===)
,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111
n n n n
n y y y x f dx
dy y y y x f dx
dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式
),,2,1))((,),(),(,()
(21n i x y x y x y x f dx
x dy n i i ==成立，则
)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解
含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解
??????
?===)
,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n
n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组
???????=Φ=Φ=Φ0
),,,,,,,,(
0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n
n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x
则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数
Y )(x =?
???
??
??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n n
n n y y y x f y y y x f y y y x f
??
?
????
??
?
??????????=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，?????????
?????????????=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式
),,(Y x F dx
dY
= (3.2) 初始条件可记为
Y (0x )=0Y ,其中?????
???????=no y y y Y 20100 则初值问题为:
???
??==0
0)(),(Y x Y Y x F dx
dY
(3.3) 一阶线性微分方程组:形如???
?????
???++++=++++=++++=)
()()()( )()()()()()()()(212112
22221212112121111
x f x a y x a y x a dx
dy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)
的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.
令
A (x )=????
??????)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =?????
?
??????)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:
)()(x F Y x A dx dY
+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dx
dY
)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,
(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
在（3．5）式A (，的每一个元素都为常数)x 即A (????????????==nn n2
n12n 22211n 1211a a a a a a a a ) a A x )(x F AY dx
dY
+= (3.7) 叫做常系数线性非齐次微分方程组.
AY dx
dY
= (3.8) 叫做常系数线性齐次微分方程组.
2． 一阶线性微分方程组的通解结构.
定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组
)()(x F Y x A dx
dY
+=中的A )(x 及F )(x 在区间I=[]b a ,上连续，
则对于[]b a ,上任一点0x 以及任意给定的Y 0，方程组 )()(x F Y x A dx
dY
+=的满足初始条件的解在[]b a ,上存在且唯
一。
1)向量函数线性相关性及其判别法则
定义：设)(),(),(21x Y x Y x Y m 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数。如果存在m 个不全为零的常数,,,,21m C C C 使得0)()()(2211=+++x Y C x Y C x Y C m m 恒成立，则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关；否则它们在区间I 上线性无关。 判别法则：①定义法
②朗斯基（Wronski ）行列式判别法： 对于列向量组成的行列式
)
( )(
)
( )()(1111x y x y x y x y x W nn n n =
通常把它称为n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式。 定理1 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性相关，则们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在I 上恒等于零。
逆定理未必成立。
如：
??
????=???
???=0)(Y
02)(221x x x x Y
朗斯基行列式)(x W 在I 上恒等于零，但它们却是线性无关。
定理2 如果n 个n 维向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上某一点0x 处不等于零，即,0)(0≠x W 则向量函数组)(),(),(21x Y x Y x Y n 在区间I 线性无关。
逆定理未必成立。同前例。
但如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是一阶线性齐次微分方程组Y x A dx
dY
)(=的解，则上述两定理及其逆定理均成立。即
定理 3 一阶线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=的解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处不等于零；解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处恒等于零
2).基本解组及其有关结论
定义：一阶线性齐次微分方程组
Y x A dx dY
)(=的n 个线性无关解称为它的基本解组 判别：一阶线性齐次微分方程组Y x A dx
dY
)(=的解)(),(),(21x Y x Y x Y n 是一个基本
解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski ）行列式)(x W 在区间I 上任一点0x 处不等于零。
结论：①一阶线性齐次微分方程组Y x A dx
dY
)(=必存在基本解组。 ②基本解组有无穷多个。 3）一阶线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=通解的结构 定理：如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=的基本解组，则其线性组合Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 是线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=的通解。 结论： 线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=的解的全体构成一n 维线性空间。 4）解与系数的关系，即刘维尔公式
定理：如果)(),(),(21x Y x Y x Y n 是线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=的解，则
这n 个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(=的系数的关系是： []?=+++x
x nn dt
t a t a t a e x W x W 0
2211)()()(0)()(
此式称为刘维尔（Liouville ）公式.
由此公式可以看出n 个解的朗斯基行列式)(x W 或者恒为零，或者恒不为零
∑=n
k kk
x a
1
)(称为矩阵A )(x 的迹。记作)(x trA 。
一阶线性非齐次方程组的通解结构
定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组)()(x F Y x A dx
dY
+=的通解等于对应的齐次微分方程组 Y x A dx dY )(= 的通解与)()(x F Y x A dx
dY
+=的一个特解之和。即
)(x F AY dx
dY +=的通解为Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ )(~
x Y + 其中)()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 为对应的齐次微分方程组Y x A dx
dY
)(=的通
解，)(~
x Y 是)()(x F Y x A dx
dY +=的一个特解。
求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组Y x A dx
dY
)(=的一个
基本解组)(),(),(21x Y x Y x Y n 构成基本解矩阵
????
?
?????=Φ)(y )(y )( (x))(nn n1111x x x y y x n 齐次微分方程组Y x A dx
dY
)(=的通解为 C X x Y )()(Φ= 其中?????
???????=n 2
1C C C C
线性非齐次方程组
)(x F AY dx
dY
+=的通解为 ?-ΦΦ+Φ=x x dt t F t x C x x Y 0
)()()()()(1。
结论：线性非齐次方程组
)()(x F Y x A dx
dY
+=解的全体并不构成n+1维线性空间。 3． 常系数线性微分方程组的解法
常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）
① 求特征根：即特征方程式
det(A-0
)21222211n 1211=?????
???????---=λλλλnn n n n a a a a a a a a a E 的解。
②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）
常系数线性非齐次微分方程组的解法：
①求相应的齐次微分方程组的基本解组； ② 用待定系数法求特解。（详略）
二．典型例题及解题方法简介
（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。
例1 化如下微分方程为一阶线性微分方程组：
0)()(2=++y x q dx
dy
x p dx y d 解：令21dx
dy
,y y y ==则 0)()(dx dy ,d , 122
221221=++==y x q y x p dx dy dx
y y dx dy ∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：
??????
?--==1222
1
)()(y
x q y x p dx
dy y dx
dy 例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：
??????
?=-=-02032
2x dt
dy t y dt x
d 解：令,, dt
dx
, 321x y x x x ===则有 dt
dx x dt dx 3
21dt dy , == ∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：
????
?????===31332
21
2t x dt dx x dt
dx x dt dx （一）
一般线性微分方程组的求解问题
对于一般线性齐次微分方程组
Y x A dx
dY
)(= ，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。
消元法（化方程组为单个方程的方法） 例3 求解方程组
???????+-=+-=yt x dt
dy t yt x dt
dx t 2
解：有前一个方程解出y 并求导，有 dt
dx
t x y +=
2221dt x d dt dx t t
x dt dy ++-= 代入后一方程化简得
02
22
=dt
x
d t 假定,0≠t 则有02
2=dt x d ，积分得
t
C C C t t
C C dt dx t x y t
C C x 12221212+=++=+=
+= 原方程组的通解为 )0(2,
2121≠?
?
?+=+=t C t C y t C C x
常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单
常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。
例4 解方程组
??????
?+=+=11x dt
dy y dt
dx
解：由前一方程得x y x y ''='∴-'= 1代入后一方程，得常系数二阶线性方程 01=--''x x
其通解为
121-+=-t
t
e
C e C x
从而 1121--=-'=-t
t
e C e C x y
所以通解为
?????--=-+=--1
1
2121t
t t
t e C e C y e C e C x
例5解方程组
??
?
??-==--='+='2y(0) ,6)0(383x y x y y x x
解：由第二式得y y x '--=3
y y x ''-'-='∴3 代入第一式得0='-''y y 从而可求得 t
t e C e C y -+=21 代入y y x '--=3得 t
t
e C e C x ---=2124 将0=t 代入上述两式得???+=---=2
12
12246C C C C
解得 121-==C C 所以原方程组的解为
?????--=+=--t
t t t e
e y e
e x 24 （三）常系数线性齐次微分方程组AY dx
dY
=的通解问题 虽然一般线性齐次微分方程组 Y x A dx
dY
)(= ，
如何求出基本解组，至今尚无一般方法，但是常系数线性齐次微分方程组
AY dx
dY
=通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。
在此我们介绍一种通用的方法——待定系数法
步骤：①解特征方程式
det(A-0
)21222211n 1211=?????
???????---=λλλλnn n n n a a a a a a a a a E ，得特征根； ②根据根的重数，求出对应于每一个根的解式 设λ是线性齐次微分方程组 AY dx
dY
=是k 重根（单根为k=1）
，则线性齐次微分方程组
AY dx
dY
=对应λ的解式为
??????
?+++=+++=+++=---t
k nk n n n
t k k t k k e t C t C C x e
t C t C C x e t C t C C x λλλ)(
)()(12112222121112111 其中ij C ),,2,1,,,2,1(k j n i ==为待定常数，将此解式代入
AY dx
dY
=中，比较两端同类项的系数，得一关于ij C 的线性代数方程组，解之即可定出ij C 。
③ 把对应于每一个根的解式相加，即可得到
AY dx
dY
=的通解。 例6 （均为单根的情形，教材170页例3.5.1）解方程组
??
?
??+-='-+-='+-='z y x z z y x y z y x x 353
解：特征方程为
λ
λλ-------3 1 1 1 5
1
1 1 3=0
即036361123=-+-λλλ
解之得特征根6,3,2321===λλλ（均为一重）
21=λ时令待定解为t t t e z e y e x 211211211,,γβα===代入原方程组，化简得
???
??=+-=-+-=+-0
030111
11111γβαγβαγβα 解得0,111=-=βαγ，若11C =α为任意常数，11C -=γ 对应于21=λ的解式为：
???
??-===t t e
C z y e C x 21112110
同理对应于32=λ的解式为：
??
???===t t
t e C z e C y e C x 322322322
对应于63=λ的解式为：
?????=-==t t
t e C z e C y e C x 6336336332
通解为： ??
???++-=-=++=t t t t
t t
t t e C e C e C z e C e C y e C e C e C x 63322163326332212
例7 （特征方程有复根的情形）解方程组： ??
?-='-='y x y y x x 25
解：特征方程为
λ
λ----1 2 5 1=0
即092=+λi 32,1±=λ都是单根象例6可得对应i 31=λ的特解： it
it
e i y e x 3131)31(,5-== 因为原题是实系数的方程组，所以 it it
e i y y e x x 312312)31(,5--+====
是i 32-=λ的特解
且1111Im ,Im Re ,Re y x y x 及为原题的实线性无关解。（注：若bi a z +=则记Rez=a,Imz=b ）
所以复通解为
?????++-=+=--it
it it
it e
C i e C i y e
C e C x 32313231)31()31(55 实通解为：
?
?
?-++=+=)3cos 33(sin )3sin 33(cos 3sin 53cos 52121t t C t t C Y t
C t C x 例8 （特征方程有重根的情形）解方程组
??
-='x
y y 4 解：特征方程为
λ
λ---4 1
1 2=0
即;0962
=+-λλ解得λ=3是两重根 即k=2 对应的待定解式为
?????+=+=t
t e
t y e
t x 322311)()(βαβα 代入原方程并比较两边的同次幂的系数，得
??????
?-=+=-=++=+1
222111
222211143234323ββββββααβαααβα 解得，12112 ,βββαα=+=。
令2111 C C ==βα 得 通解为
?????++=+=t
t
e
t C C C y e
t C C x 3221321)()( （四）常系数线性非齐次微分方程组
)(x F AY dx dY
+=的通解问题 根据常系数线性非齐次方程组)(x F AY dx
dY
+=的通解等于对应的常系数齐次微分
方程组 AY dx dY = 的通解与)(x F AY dx dY +=的一个特解之和。即 )
(x F AY dx
dY
+=的通解为Y =)(x )()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ +)(~
x Y
其中)()()(2211x Y C x Y C x Y C n n +++ 为对应的齐次微分方程组AY dx
dY
=的通解。
前面已经介绍了对应的齐次微分方程组AY dx
dY
=的通解问题，只须用拉格朗日常数变易法求出一个特解即可。
例9解方程组
???++='++='t
e
y x y t y x x 823532
解：特征方程为
λ
-2 3 =0542=--λλ
特征根为1,521-==λλ
易于求得对应的对应的齐次微分方程组的通解为
?????-=+=--t
t t
t e
C e C y e
C e C x 251251
根据拉格朗日常数变易法，令原方程组的特解为
?????-=+=--t t t t e
t C e t C y e
t C e t C x )()(~)()(~251251
代入原方程组得
?????='-'='+'--t
t t t t e e t C e t C t e t C e t C 8)()(5)()(251
251
解之得
???
????-='+='--t
t t t e te t C e te t C 22451425)(42
5)(
积分得
???
????--=---=--t
t t t e e t t C e e t t c 224512)2525()()10
121()(
代入 ?????-=+=--t t t t e
t C e t C y e
t C e t C x )()(~)()(~251251
即得一个特解
???
????++-=--=t
t
e t y e t x 5123~35
132~
所以，已知方程组的通解为
???
????++--=--++=--t
t t t t t e t e C e C t y e t e C e C t x 5123)(35
132)(251251
说明：本章的理论相对来说不难理解，但在求解时非常繁琐，所以在求通解时要特别仔细，在实际解题时我们也只能求解未知函数个数较少的常系数线性微分方程组，两个或三个的情形。根据教学大纲的要求，本章的重点是：含有两个未知函数的常系数线性微分方程组且特征根是单根情形的通解。
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 13 2 () 的通解。 解： ] 23 )1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23 )1([22 )1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++- ?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()] x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组
第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与 一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时） 一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念. 二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式. 三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1. 一阶线性微分方程组的一般概念 如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成 1111122112211222221122()()()()()()()()()()()() n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ?=++ ++???=++++?????=++++? ?
(3.6) 则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ? 上连续. 为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记 1112121 22212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ??????=?????? 及 12()()()()n f x f x F x f x ???? ??=?????? 根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式 ()()dY A x Y F x dx =+ (3.7) 如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成 ()dY A x Y dx = (3.8)
一阶线性微分方程
第四节 一阶线性微分方程 教学目的：使学生掌握一阶线性微分方程的解法，了解伯努利方程的解法 教学重点：一阶线性微分方程 教学过程： 一、 一阶线性微分方程 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)2(021=--y x dx dy 是齐次线性方程 (2) 3x 25x 5y 0y 3x 25x 是非齐次线性方程 (3) y y cos x e sin x 是非齐次线性方程 (4)y x dx dy +=10 不是线性方程 (5)0)1(32=++x dx dy y 0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +- 不是线性方程 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy , 两边积分得 两边积分得
ln|y |ln|x 2|lnC, 方程的通解为 y C (x 2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y 2ln (x 1) ln C , 齐次线性方程的通解为 y C (x 1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y u ×(x 1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得 2522)1()1(1 2)1(2)1(+=+?+-+?++?'x x u x x u x u 21 )1(+='x u , 两边积分, 得
一阶常系数线性齐次微分方程组的求解
一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x - 5y , 沿y 轴正向的速率为2x - 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程? 图31 虫子爬行的轨迹 【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )). 【模型构成】由已知条件和上述假设可知 d 45,d d 23,d x x y t y x y t ?=-????=-??而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程. 【模型求解】令A =4523-?? ?-?? , 则|λE -A | =4523λλ--+= (λ+1)(λ-2). 可见A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 2. (-E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ; (2E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T . 令P = (ξ1, ξ2), 则P -1AP =1002-?? ??? . 记X =x y ?? ???, Y =u v ?? ??? , 并且作线性变换X = PY , 则Y = P -1X , d d t Y = P -1d d t X = P -1AX = P -1APY =1002-?? ??? Y , 即 d d d d u t v t ?? ???=1002-?? ???u v ?? ??? , 故u = c 1e -t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e -?? ??? . 因而 12c c ?? ??? = Y |t =0 = P -1X |t =0 =2/35/31/31/3-?? ?-??10?? ???=2/31/3-?? ???. 于是 x y O 1 何去何从?
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
二阶常系数齐次线性微分方程求解方法
第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
(整理)一阶线性偏微分方程.
第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不 相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-， 即有 0=---ydy A C B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-， 即有 0=---zdz B A C ydy A C B ， 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于，雅可比矩阵 ? ???? ?????------=????? ???? ????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。
评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 () () ???????-+--=-+-=11d 222 2y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(2 2 2 2 2 2 -++-=+ 这个方程关于变量t 和2 2 y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为 122 2221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-， 即有 1arctan -=?? ? ?? x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于，雅可比矩阵为 ()( ) ???? ? ?????? ?++-++=????????? ????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?2222 222 222 2222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ，
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常 系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。
一阶齐次线性微分方程组解的一个结论-2019年精选文档
一阶齐次线性微分方程组解的一个结论 1 预备知识 在实际问题中,我们将会看到稍微复杂的物理系统(例如两个或两个以上回路电流变化规律,几个互相作用的质点的运动等等)的数学模型会导出多于一个微分方程的方程组。通过某些简化的假设,在相当广泛的问题里,这种方程组可以化为一阶线性微分方程组。本文主要给出了一个一阶齐线性微分方程组解的伏朗斯基行列式的结论。为讨论问题的方便,引入以下定义。 定义1 对于线性微分方程组 (1) 其中A(t)是区间a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为aij(t),i,j=1,2,…,n。f (t)是区间a≤x≤b上的已知n 维连续列向量。如果f (t)≠0,则方程组(1)称为非齐线性的;如果f (t)=0,则方程组的形式为 (2) (2)称为齐线性的。 本文主要讨论齐线性微分方程组(2)的问题。 定义2 设有n个定义在区间a≤x≤b上的向量函数 由这n个向量函数构成的行列式 称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。 定理 1
2 一阶齐线性微分方程组(2)解的伏朗斯基行列式的结论 定理2 考虑一阶齐线性微分方程组(2),其中A(t)是区间 a≤x≤b上的已知n×n连续矩阵,它的元素为 aij(t),i,j=1,2,…,n。 a.如果x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,那么他们的伏朗斯基行列式W[x1(t),x2(t),…xn(t)]≡W(t)满足下面的一阶线性微分方程 W′=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]W (6) b.解上面的一阶线性微分方程,有下式 成立。 证明 a.设 因为根据定理1 而由已知x1(t),x2(t),…xn(t)是方程组(2)的任意n个解,故 所以(8)式等于 根据行列式的性质 即满足(6)式。 b.将上面的一阶线性微分方程(6)变量分离 积分求解得 结论b.得证 3 总结 本文结合微分方程和矩阵代数的有关理论,给出的一阶齐线
.高阶微分方程与微分方程组
§4 高阶微分方程与微分方程组 一、 高阶微分方程与微分方程组的互化 已给一个n 阶方程 ()()() y f x y y y y n n ='''-,,,,, 1 设y 1=y ,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n -1)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方程组 ()????? ?? ??????====-n n n n y y y x f x y y x y y x y y x y ,,,,d d d d d d d d 2113221 式中y 1,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数. 反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n 阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组 () ()?????==21222111 ,,d d ,,d d y y x f x y y y x f x y (1) 将方程(1)对x 求导数 221 11112 12d d f y f f y f x f x y ??+??+??= 记作 ()212 1 2,,d d y y x F x y = (2) 从方程(1)中解出y 2 ()y y x y y 2211=',, 代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程 ()1 121 2,,d d y y x x y '=Φ 这里函数()1 1,,y y x 'Φ由函数f 1，f 2所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程. 二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法 1. y (n ) = f (x ) 将方程写成 ()()x f y x n =-1d d 积分后得到
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)
其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.
一阶线性微分方程及伯努利介绍
一阶线性微分方程及伯 努利介绍 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第三节 一阶线性微分方程 内容要点 一、一阶线性微分方程 形如 )()(x Q y x P dx dy =+ 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程成为 0)(=+y x P dx dy 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程称为一阶非齐次线性方程. 方程的通解 .)(?-=dx x P Ce y 其中C 为任意常数. 求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 一阶非齐次线性方程的通解为 [] ?-?+=?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( 二、伯努利方程：形如 n y x Q y x P dx dy )()(=+ 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n . 伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程两端除以n y ，得 或 ),()()(1111x Q y x P y n n n =+'?--- 于是，令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程
)()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程的通解 雅各布.伯努利（Jacob Bermoulli ，1654~1705) 伯努利瑞士数学、力学、天文学家。1654年12月27日生于瑞士巴塞尔；1705年8月16日卒于巴塞尔。 雅各布.伯努利出生于一商人世家。他的祖父是一位药商，1662年移居巴塞尔。他的父亲接过兴隆的药材生意，并成了市议会的一名成员和地方行政官。他的母亲是市议员兼银行家的女儿。雅格布在1684年一位富商的女儿结婚，他的儿子尼古拉，伯努得是艺术家，巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长。 雅格布毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位。这里的艺术是指“自由艺术”，它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础，以及方法、修辞和雄辩术等七大门类。遵照他父亲的愿望，他又于1676年得硕士学位。同时他对数学有着浓厚的兴趣，但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对，他违背父亲的意愿，自学了数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭教师。从1677年起，他开始在这里写内容丰富的《沉思录》。1678年雅格布进行了他第一次学习旅行，他到过法国、荷兰、英国和德国，与数学家们建立了广泛的通信联系。然后他又在法国度过了两年时光，这期间他开始研究数学问题。起初他还不知道牛顿和莱布尼兹的工作，他首先熟悉了笛卡尔的《几何学》、活利斯的《无穷的算术》以及巴罗的《几何学讲义》。他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作。1681-1682年间，他做了第二次学习旅行，接触了许多数学家和科学家。通过访问和阅读文献，丰富了他的知识，拓宽了个人的兴趣。这次旅行，他在科学上
阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的 等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v
123(,,,)(,,,) (,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =??=??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是 求一阶微分方程组 123(,,,)(,,,) (,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =??=??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12） ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令(1)121,,,n n y y y y y y --'''===就可以把它化成等价的一阶微分方程组
浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法
浅谈一阶线性微分方程组的一般理论知识及解法 王焕 赤峰学院数学学院，赤峰024000 摘要：一阶线性微分方程组是一类特殊的微分方程组。这类微分方程组的理论研究结果比较完整，而且它们在实际和理论问题中都占有很重要的位置。然而，在很多实际和理论问题中，常要求我们去求解多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。那么，首先让我们谈一谈它的基本理论知识，从两个方面进行阐述，第一个方面是一阶线性齐次方程组及一阶线性非齐次方程组，第二个方面是常系数线性微分方程组；然后再从三个方面简要的叙述它解的求法，其中，着重强调常数变易法。 关键词：一阶线性微分方程组 一阶线性齐次方程组 一阶线性非齐次方程组 常数变易法 一阶线性微分方程组的基本理论知识 一、定义 1.一阶线性微分方程组： 含有n 个未知函数,,2,1...,n y y y 的一阶微分方程组的一般形式为： ???????????===),...,,,(......),...,,,() ,...,,,(2121222111n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy 若函数),...,2,1)(...,,,(21n i y y y x f n i =关于,,2,1...,n y y y 是线性的，即 ???????????++++=++++=++++=)()(...)()(......)()(...)()() ()(...)()(2211222221212112121111x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy x f y x a y x a y x a dx dy n n nn n n n n n n n （1） 则称上式（1）为一阶线性微分方程组。