圆与圆的位置关系 (2)
圆与圆的位置关系
【教学目标：】
1、 知道圆与圆之间的五种位置关系.
2、 经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并能运用相
关结论解决有关问题.
3、 在动手实践的过程中体会分类的思想，增强探究的意识和能力. 【教学重点、难点：】
知道圆与圆之间的五种位置关系及两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系 【教学过程：】
一、创设情境 导入新课
1、导入：我们已研究过点与圆、直线与圆的位置关系。
直线与圆的有几种位置关系？有几种判定方法？（板书：公共点个数、d 与r 的数量关系）
过渡：那么圆与圆又有怎样的位置关系呢？（板书课题）
2、操作与思考：（1）画⊙O 1
（2）拿出透明纸上的⊙O 2，放在同一平面内，让 ⊙O 2 从⊙O 1的外部逐渐向⊙
O 1移动.
（3）在移动过程中，⊙O 1与⊙O 2的位置关系发生了怎样的变化？你能描述这种
变化吗？
3、多媒体展示5种位置关系的图片
【设计意图：通过情境，唤醒旧知，为用类比迁移的办法研究圆与圆的位置关系作铺垫】 二、探索新知：
1、问题：你能把上述位置归类吗？你为什么这样归类？
2、归纳：
1）两圆位置关系的五种情况归纳为三类： 相离 、 相切 、 相交 . （1）两圆相离包括外离和内含 （2）两圆相切包括外切和内切； 2）给出五种情况具体的描述性定义
(1）外离： （2）外切： （3）相交： （4）内切：
（5）内含： （同心圆是特例） 【设计意图：通过公共点的个数说明两圆的位置关系，形象直观】
3、介绍连心线（过两圆圆心的直线）.问：上述图形有何特征？（轴对称图形）
4、观察并思考：两圆的切点与连心线有什么关系？
（如果两圆相切，那么切点一定在连心线上）
【反证法】假设切点不在连心线上，根据对称性，有一个点与切点对称，那么两圆有两个
交点，则两圆相交，与已知相切矛盾，假设不成立.
【设计意图:介绍切点一定在连心线上，为下面研究用数量关系描述位置关系作铺垫】 5、 介绍圆心距（两圆心之间的距离）d.
通过观察可以发现，圆心距的变化决定着圆与圆的位置关系.类比直线与圆的位置关系，我们研究d 与R 、r 之间的数量关系描述两圆的位置关系.
（设⊙O 1、⊙O 2的半径为R 、r ，圆心O 1 、O 2之间的距离O 1O 2为d ） 过渡：你认为哪几种比较好描述？
【设计意图：找到用数量关系区分五种位置关系的关键点：R+r ，R-r 】 6、 多媒体演示后归纳：
【设计意图：本环节启发学生运用数形结合、类比的思想来思考问题，解决问题.并且利用数轴表
示法来帮助学生记忆 R 、r 、d 这三者之间的关系，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化】
7、试一试：
（1）已知两圆的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（ ）
(a)两圆外切:
d=R+r ;
(b)两圆内切：
d=R-r(R>r);
两圆内含： d
（a)
(b)
(c)
O 1 O 2 R r d A ? ?
O 1 O 2 R r d ??
A ．外离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
（2）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个
图案中反映出的两圆位置关系有（ ）
A.内切、相交
B.外离、相交
C.外切、外离
D.外离、内切 【设计意图：通过简单的试一试，会用公共点的个数或数量关系判别圆与圆的位置关系】
三、例题精讲：
例1 已知⊙O 1、⊙O 2的半径为r 1、r 2，圆心距d=5，r 1=2. （1） 若⊙O 1与⊙O 2外切，求r 2
（2） 若r 2=7，⊙O 1与⊙O 2有怎样的位置关系？ （3） 若r 2=4，⊙O 1与⊙O 2有怎样的位置关系？
变式：若⊙O 1与⊙O 2相切，求r 2
【设计意图：本环节教师通过引导学生感受圆与圆的位置关系与数量关系的相互转化，体验转化的思想】
【练一练：】如图,⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 外一点， OP=8cm.
以P 为圆心作⊙P 与⊙O 相切，则⊙P 的半径是 cm.
例2 已知定圆O 的半径为2cm ，动圆P 的半径为1cm..若⊙P 与⊙O 相外切，那么点P 与点O 之
间的距离是多少？点P 应在怎样的图形上运动？
变式：若⊙P 与⊙O 相切，情况怎样？
【设计意图：通过变式训练，进一步体会相切分两种情况，继续渗透分类讨论的思想】
四、课堂小结：
1、本节课你学到的知识是：
2、本节课你用到的数学思想、方法是: 【设计意图：利用图表的形式，形象的展示本节课的知识脉络，在学生脑海里形成知识体系，并且体会数学数形结合、分类讨论、转化等思想方法】
五、拓展延伸：
如图，王大伯家房屋后有一块长12m,宽8m 的矩形空地，他在以长边BC
为直径的半圆内种菜.他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，拴羊的绳长为3m.问羊是否能吃到菜？为什么？
【设计意图：备用.数学来源于生活，又服务于生活】
【设计说明：这节课的内容与“直线和圆的位置关系”有密切的联系，但这节课的两圆位置关系远比直线与圆的位置关系复杂.因此，准备通过复习引入和让学生动手操作，猜测两圆可能存在的位置关系，然后经过讨论，归纳确定两圆位置关系的各种情况.在与两圆位置关系相应的数量关系的研究中，鉴于学生已有直线与圆的位置关系中两量（半径、圆心到直线的距离）的数量关系的认知基础，就只运用了类比迁移的方法.这些方法的运用，都是为了充分发挥学生在探求新知过程中的主体作用.
其次，在五种位置关系相应的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略.先让学生解决易于解决的“外切”、“内切”、“外离”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：R －r 最后，通过例题和变式训练加以巩固，总结本节内容，形成知识脉络，从始至终渗透数学的分类讨论、数形结合、转化等思想方法，提高学生的思维能力.】 【教学反思】 本课时教学内容主要探究圆与圆的位置关系和判别方法，学生通过类比、分类、数形结合，体会从不同的角度考虑事物的特点。判别圆与圆的位置关系的方法与判别直线与圆的位置的方法类似，因此本节课首先复习了直线与圆的位置关系，然后通过让学生动手操作，充分感受两圆位置的变化，猜测两圆可能存在的位置关系，经过讨 论，归纳确定两圆位置关系的各种情况.通过直观感受可以得出由“公共点的个数”可以知道两圆的位置关系。在两圆位置关系相应的“数量关系”的研究中，先把课本上“读一读”的内容穿插在其中，因为只有认知了“两圆相切，切点在两圆的连心线上”，才能研究圆心到直线的距离d与两圆半径R、r的数量关系。 在五种位置关系相应的数量关系的研究中，我采用“先易后难，突破关键”的教学策略.先让学生解决易于解决的“外切”、“内切”、“外离”时的三量的数量关系，再解决“内含”时的三量的数量关系，最后突破相交时三量的数量关系：R－r 最后通过例题和变式练习，运用相关结论解决有关问题. 整节课以“探究过程，探究方法，探究结果，探究运用”为主线，高度重视学生的主动参与、亲自探究、动手操作，体验学习知识的过程，基本达到预期效果。上下来也有几处遗憾： 1、两圆相交时，圆心距与大圆半径R和小圆半径r的关系，要让学生主动 发现，要让学生结合操作、完全思考后由学生自己得出结论，这样的感 悟才深刻。 2、例题的教学虽然利用变式渗透了分类讨论的思想，也总结了一些方法教 学生运用，但还不够透彻到位，学生还不够熟练。 3、投影和黑板的位置和灯光的原因不够清楚，版面局限，学生操作的过程 没有充分展示，影响了效果。 26.7 圆与圆的位置关系 教案 一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点： 重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？ 结合学生已有知识以验，启发学生思考，激发学生学习兴趣． 教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时，可互相交流． 2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 引导学生明确两圆的位置关系，并发现判断和 解决两圆的位置 教师引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解 题的方法． 问 题 设计意图 师生活动 关系的方法． 学生观察图形并思考，发表自己的解题方法． 3．例3 你能根据题目，在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么？ 培养学生 “数形结合”的意 识． 教师应该关注并发现有多少 学生利用“图形”求，对这些学生 应该给予表扬．同时强调，解析几 何是一门数与形结合的学科． 4．根据你所画出的图形，可以直观判断两个圆的位置关系．如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？ 进一步培养 学生解决问题、分 析问题的能力． 利用判别式 来探求两圆的位 置关系． 师：启发学生利用图形的特 征，用代数的方法来解决几何问题． 生：观察图形，并通过思考， 指出两圆的交点，可以转化为两个 圆的方程联立方程组后是否有实数 根，进而利用判别式求解． 5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？ 进一步激发 学生探求新知的 精神，培养学生 师：指导学生利用两个圆的圆 心坐标、半径长、连心线长的关系 来判别两个圆的位置． 生：互相探讨、交流，寻找解 决问题的方法，并能通过图形的直 观性，利用平面直角坐标系的两点 间距离公式寻求解题的途径． 6．如何判断两个圆的位置关系呢？ 从具体到一 般地总结判断两 个圆的位置关系 的一般方法． 师：对于两个圆的方程，我们 应当如何判断它们的位置关系呢？ 引导学生讨论、交流，说出各 自的想法，并进行分析、评价，补 充完善判断两个圆的位置关系的方 法． 7．阅读例3的两种解法，解决书上的练习题． 巩固方法， 并培养学生解决 问题的能力． 师：指导学生完成练习题． 生：阅读教科书的例3，并完 成书上的练习题． 问题设计意图师生活动 圆与圆的位置关系 一.选择题 1. （2014?贵州黔西南州, 第6题4分）已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（） A．外离B．内含C．相交D．外切 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5，O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5，O1O2=8， 又∵3+5=8， ∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切． 故选D． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 2. (2014年广西钦州，第9题3分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为（） A．60°B．45°C．30°D．20° 考点：相交两圆的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理 分析：利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形，再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数． 解答：解：连接O1O2，AO2， ∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1 于点C， ∴AO1=AO2=O1O2， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠AO1O2=60°， ∴∠ACO2的度数为；30°． 故选；C． 点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识，得出△AO1O2是等边三角形是解题关键． 3．（2014?青岛，第5题3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（） A．内含B．内切C．相交D．外切 考点：圆与圆的位置关系． 分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4， ∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2， ∵O1O2=5，2＜6＜6， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是：相交． 故选C． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系． 4. （2014?攀枝花，第7题3分）下列说法正确的是（） A．多边形的外角和与边数有关 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 4.2.2 圆与圆的位置关系教案 一、教学目标 1、知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系． 2、过程与方法 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 3、情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点 重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系． 三、教学过程 1.已知两圆：圆C 1：(x-a )2+(y-b )2=r 12 (r 1>0) 圆C 2：(x-c )2+(y-d )2=r 22(r 2>0) (1)利用连心线长与|r 1+r 2|和| r 1-r 2 |的大小关系判断： 连心线长> |r 1圆C 1与圆C 2相离 连心线长= |r 1圆C 1与圆C 2外切 |r 1-r 2|<连心线长< |r 1圆C 1与圆C 2相交 连心线长= |r 1圆C 1与圆C 2内切 连心线长< |r 1圆C 1与圆C 2内含 (2)利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数： n r d y c x r b y a x 的解的个数为设方程组???=-+-=-+-22 222122)()()()( 4.2.2圆与圆的位置关系 课程标准分析： 《圆与圆的位置关系》这节课的课程标准：能根据给定直线，圆的方程，判断圆与圆的位置关系。在此要求学生在知识与技能方面达到理解，并能独立解决实际问题的要求，另外，课标还提到了给定直线，圆的方程等几何要素，因此处理本节内容的前提，要熟知点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程，并能根据方程找到圆的圆心和半径，同时还要理解和掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法。贯穿始末的就是用坐标的思想解决几何的问题。综上所述，本节内容从课标的角度讲能力要求比较高。因此它在高考中还是起到了很重要的作用。 教材分析： 本节课内容是人教版A版教材必修二第四章第二节内容，从位置上讲，体现了它的重要性。另外，初中已经学过了几何法判断圆与圆的位置关系，高中课本的重提，是平面几何问题的深化，用坐标的方法来解决几何问题是解析几何的精髓，它为以后处理圆锥曲线了铺垫，另外，本节内容可以帮助学生体会数形结合的思想，所以，本节课的内容在教材中起到了承上启下的作用，意义重大。 教学建议分析： 1.我们学习圆与圆的位置关系可以类比直线与圆的位置关系，因此给学生自主学习提供了方法支持。 2.求公共弦所在直线方程和公共弦长我们可采用数形结合的方法。 % 教学三维目标： 注:A级目标：面向全体学生，重点针对基础较薄弱的学生 B级目标：面向部分学生，重点针对能力较强，学有余力的学生 1.知识与技能 A级目标：①能根据给定圆的方程，用几何和坐标的方法判断两圆的位置关系。 B级目标：②若两圆相交，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 B级目标：③理解几何问题坐标化的思想，深入了解解析几何的本质 4.2.2 圆与圆的位置关系 一、教材分析 本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系. 2．过程与方法 设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l ＞r1r2时，圆C1与圆C2相离； （2）当l = r1r2时，圆C1与圆C2外切； （3）当|r1–r2|＜l＜r1r2时，圆C1与圆C2相交； （4）当l = |r1–r2|时，圆C1与圆C2内切； （5）当l＜|r1 –r2|时，圆C1与圆C2内含. 3．情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想. 三、教学重点与难点 教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系. 高中数学《直线和圆的方程》常用公式 1.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ?=≠； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 3. 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-= +. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 4.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 5.夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 6．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线 4.1.1直线与圆的位置关系教学设计 武威第十五中学尹尚智 教材分析: 圆的教学在平面解析几何乃至整个中学数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，又为后面的圆和圆的位置关系作了铺垫，对后面的解题及几何证明，将起到重要的作用。解决直线与圆的位置关系的思想、方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫。 学情分析： 学生在前面已经学习了直线与圆的知识，还有圆锥曲线的知识。能够解决一些基本题型，掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法。但是因为间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘，特别对某些题型该注意的问题比较模糊。另外对知识的掌握上还是不够熟练，规律方法的总结上缺乏系统性。所以这节课主要是通过典型题目起到复习基本知识总结规律的作用，其实解析几何中圆与圆锥曲线的解题方法有很多共性，在后面设置一个难度稍大，比较综合的题目，起到深化知识，统一方法的作用。 教学目标： 知识与技能目标 使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法目标 通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感与态度目标 创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。兴趣，并激发学生学习数学的自信心。 重点：1理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系。 2直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。 难点：1学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系。 2初步掌握相交弦长公式，会求直线与圆的相交弦长。 教学方法： 本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使学生思维保持活跃，在不断的思考中掌握知识点。 16.3 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 【考纲要求】 1.能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能由给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系； 3.会求两圆相交弦的方程、弦长、弧长，会求圆的切线方程. 【命题规律】 直线与圆的位置关系是本节考查的重点内容，题型为填空题，通常考查圆的切线方程、直线与圆相交的弦长、切线长、圆心角、弧长及面积的计算。圆与圆的位置关系通常考查公共弦长、公共弦的方程、对称性。解析几何中设而不求的思想方法，圆与其他知识的交汇，一般会在解答题中出现，难度适中。【知识回顾】 一、 点与圆的位置关系 1. 已知圆2 2 2 ()()x a y b r ---=，圆心为(,)C a b ，那么点00(,)P x y 与圆的位置关系有： （1） 点P 在圆上22200()()||x a y b r PC r ?-+-=?= （2） 点P 在圆内22200()()||x a y b r PC r ?-+-?> 2. 圆外一点P 到圆上任一点的最大距离为||PC r +，最小距离为||PC r -. 二、 直线与圆的位置关系 1. 位置关系：相离、相切、相交，分别对应直线与圆有0个、1个、2个公共点。 2. 判断方法： 代数法： { 2 40()00y x b ac x y ?=-?>???=????? 直线与圆相交直线与圆相切直线与圆相离 三、 圆与圆的位置关系 1. 位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 2. 判断方法：判断两圆的位置关系，利用圆心距和两圆半径的大小关系来判断设 22222211112222:()(),:()()O x a y b r O x a y b r -+-=-+-= ，则圆心距为12||d OO = 与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义） ?课前预习 1.半径为r的圆的周长为__________，面积为__________． 2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为_______，面积为________． 3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________． 4.默写圆周角定理的相关推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：________________________________________； _______________________________________________． 推论3：圆内接四边形对角互补． 5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O上剪下一个圆心角度数为n的扇形，用其 围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为__________． 6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长． ?知识点睛 与圆有关的位置关系， 关键是找d．和r．． 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________．①点在圆外：_____________； A 主视图左视图俯视图 ②点在圆上：_____________； ③点在圆内：_____________． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r 表示__________． ①直线与圆相交：____________； ②直线与圆相切：____________； ③直线与圆相离：____________． 切线的性质定理：__________________________________； 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________． *切线长定理：______________________________________ __________________________________________________． *3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示_________． ①圆与圆外离：_________________； ②圆与圆外切：_________________； ③圆与圆内切：_________________； ④圆与圆内含：_________________； ⑤圆与圆相交：_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 中心角：___________________________________________； 边心距：___________________________________________． 5.圆中的计算公式 弧长公式：____________________． 扇形面积公式：①________________；②________________． 圆锥的侧面积公式：_________________________________． 圆锥的全面积公式：__________=__________+__________． 扇形及其所围圆锥间的等量关系： ①________________________________________________； ②________________________________________________． ?精讲精练 1.矩形ABCD中，AB=8，BC ，点P在AB边上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心， PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（） A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内 C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆 A 高中数学知识点：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系： (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法： 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法. 3.两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 圆与圆的位置关系 【教学目标】 1．知识与技能 （1）理解圆与圆的位置的种类； （2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长； （3）会用连心线长判断两圆的位置关系。 2．过程与方法 设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当l ＞r 1+r 2 时，圆C 1 与圆C 2 相离； （2）当l = r 1+r 2 时，圆C 1 与圆C 2 外切； （3）当|r 1 – r 2 |＜l＜r 1 +r 2 时，圆C 1 与圆C 2 相交； （4）当l = |r 1– r 2 |时，圆C 1 与圆C 2 内切； （5）当l＜|r 1– r 2 |时，圆C 1 与圆C 2 内含。 3．情态与价值观 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。【教学重难点】 用坐标法判断圆与圆的位置关系。 【教学过程】 备选例题 例1 已知圆C 1：x 2 + y 2 – 2mx + 4y + m 2 – 5 = 0，圆C 2：x 2 + y 2 + 2x – 2my + m 2 – 3 = 0，m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含。 【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x – m)2 + (y + 2)2 = 9，C 2：(x + 1)2 + (y – m)2 = 4． （1）如果C 1与C 2 ， 所以M 2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5． （2）如果C1与 C2， 所以m 2 + 3m + 2＜0，得–2＜m ＜–1． 所以当m = –5或m = 2时，C 1与C 2外切； 当–2＜m ＜–1时，C 1与C 2内含。 例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程。 例3 求过两圆x 2 + y 2 + 6x – 4 = 0求x 2 + y 2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程。 32 +32 -沪科初中数学九下《《圆和圆的位置关系》教案沪科版
初三中考数学 圆与圆的位置关系
高中数学-圆与圆的位置关系
高中数学圆与圆的位置关系教案设计
高中数学人教版必修圆与圆的位置关系教案(系列五)
高中数学《直线和圆的方程》常用公式
直线与圆的位置关系教学设计
.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
与圆有关的位置关系及圆中的计算(讲义与习题)含答案
高中数学知识点：圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系 优秀教案