初一奥数题——有理数运算技巧简便计算
有理数的运算技巧
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有理数的运算是初中代数运算中的基础运算,它有一定规律和技巧。只要认真分析和研究题目的内在特征,并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧,不但可以使运算简捷、准确,而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
一. 巧用运算律
例1. (第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题)
求和
()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++++++++++++++++++++ 分析:由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加,可改变原式繁难的计算。
解:原式=+++++++++++1213231424341602603605960
()()() =
++3+++=++++=?+?=1222242592
12
1235912159592
885 ()() 二. 巧用倒序法
例2. 计算12003220033200340052003
++++ 解:设A =++++12003220033200340052003
,把等式右边倒序排列,得 A =++++40052003400420032200312003
将两式相加,得
2120034005200322003400420034005200312003
A =++++++()()() 即224005A =?,所以A =4005
所以原式=4005
三. 巧用拆项法
例3. (第六届“祖冲之杯”数学竞赛题) 计算11121123112341123100
+++++++++++++++= ________ 分析:直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项,从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法,不难求得最后两项为
14950,15050,而14950150992991002992100=?=?=- 同理,1505021002101
=- 那么本题就不难解决了。
解:原式=++++++1262122
2029900210100
=-+-+-++-+-211212131314199110011001101
() =-=211101200101
() 说明:形如1n n a ()+的分数,可以拆成111a n n a
()-+的形式。 四. 巧用反序相加减的方法
例4. (第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题) 计算121323142434155354515025048504950
2+++++++++++++++=()()()() _____ 分析:把括号中的各项倒序排列后,再与原式相加,把分数相加变为整数相加,运算变得简单易行。
解:设S =+++1++++++++++++121323424341525354515025048504950
()()()() 又S =+++++++++1+++++1223133424144535255495048501
50
()()()() 两式相加得2123449S =+++++
又249484721S =+++++
上面两式相加得450492450S =?=
故S =612.5
五. 巧用缩放法
例5. 求1110111112119
++++ 的整数部分。 分析:直接进行计算较繁,若想到利用缩、放的方法,可快速估算出值的范围。缩放法是“求整数部分”以及相关题型的常用方法。
解:原式>+++=1
110110110110
个 原式<+++=1
1191191191910
个.
即1<原式<1.9,所以所求整数部分是1。
六. 巧用整体换元法
例6. (广西2005年初一数学竞赛决赛题) 计算()()()()12131200511213120041121312005121312004
+++++++-+++++++ 分析:本题目从结构上看相当繁琐,因此要选择恰当的方法进行计算。不妨巧用整体换元法,那么本题就不难解决了,计算就简便了。
解:令1
121312004++++= a 则原式=-+-+-()()()a a a a 11200512005
1 =-+
--++=a a a a a a 221200512005120051
2005
七. 巧用倒数法
例7. 计算1361411271813614112718136136
÷+--++--÷()()
分析:因为
13614112718136÷+--()与()14112718136136
+--÷互为倒数,而()14112718136136+--÷比较容易计算,故此题只需先计算出后部分的结果即可。 解:因为()14112718136136
+--÷ =+--?()14112718136
36 =+--=-93141
3 所以原式=--=-133313
八. 巧用添项法
例8. 计算11192199319994199995
++++ 分析:观察算式的特征,发现将算式添上9,8,7,6,5的和,利用加法结合律可以使运算简便快捷。
解:原式=+++++++++-++++()()()()()()119192819937199946199995598765 =++++-=-=2020020002000020000035
22222035
222185
九. 巧用配对的方法
例9. (第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题) 1234567899100????? 与110
相比较,哪个更大?为什么? 解:设A =??????
12345678979899100
构造对偶式 B =??????2345678999100100101
那么A B ?=??????=1223344
5991001001011101
而A
<<, 即1234567899100110
?????< 十. 巧用凑整法
例10. 计算:--+-+-11
6223445513116
38. 分析:本题六个数中有两个是同分母的分数,有两个互为相反数,有两个相加和为整数,故可用“凑整”法。
解:原式=-++--+-()()(.)11611
6223513445
38 =-+=-81
7
参考答案:
1. 11
2. -
718 3. -32 4. -41318 5. 1212 6. 2004 7. 24552 8. 1005507.5
9. -12.8 10. 15