高中数学选修2-2综合测试题及答案

选修2-2综合测试题2一、选择题

1．在数学归纳法证明“

1

2

1

1(1)

1

n

n

a

a a a

a n

a

+

*

-

++++=≠∈

-

N

L，”时，验证当1

n=时，等式的左边为（）

Ａ．1Ｂ．1a

-Ｃ．1a

+Ｄ．2

1a

-

2．已知三次函数322

1

()(41)(1527)2

3

f x x m x m m x

=--+--+在()

x∈-+

，

∞∞上是增函数，则m的取值范围为（）

Ａ．2

m<或4

m>Ｂ．42

m

-<<-Ｃ．24

m

<<Ｄ．以上皆不正确

3．设()()sin()cos

f x ax b x cx d x

=+++，若()cos

f x x x

'=，则a b c d

，，，的值分别为（）Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1 4．已知抛物线2

y ax bx c

=++通过点(11)

P，，且在点(21)

Q-

，处的切线平行于直线3

y x

=-，则抛物线方程为（）

Ａ．2

3119

y x x

=-+Ｂ．2

3119

y x x

=++Ｃ．2

3119

y x x

=-+Ｄ．2

3119

y x x

=--+

5．数列{}

n

a满足1

1

20

2

1

211

2

n n

n

n n

a a

a

a a

+

?

??

=?

?-<

??

，，

，，

≤≤

≤

若

1

6

7

a=，则2004

a的值为（）

Ａ．6

7

Ｂ．5

7

Ｃ．3

7

Ｄ．1

7

6．已知a b

，是不相等的正数，

2

a b

x

+

=，y a b

=+，则x，y的关系是（）

Ａ．x y

>Ｂ．y x

>Ｃ．2

x y

>Ｄ．不确定

7．复数2()

12

m i

z m

i

-

=∈

-

R不可能在（）

Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限

8．定义A B B C C D D A

****

，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中

（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果

Ａ．B D

*，A D

*Ｂ．B D

*，A C

*Ｃ．B C

*，A D

*Ｄ．C D

*，A D

*

9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）

Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除

Ｃ．a 不能被5整除 Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 10．下列说法正确的是（ ）

Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值 Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值 Ｄ．函数y x =无极值

11．对于两个复数1

2

α=+

，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=．其中正确的个数为（ ） Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4

12．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是（ ） Ａ．

()()

2

f a f b + Ｂ．()b

a f x dx ?

Ｃ．

1()2b

a

f x dx ? Ｄ．

1()b

a

f x dx b a -? 二、填空题

13．若复数222log (33)log (3)z x x i x =--+-为实数，则x 的值为 ． 14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●L

若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为 ．

15．函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>在区间[12]-，上的最大值为3，最小值为29-，则a ，b 的值分别为 ．

16．由24y x =与直线24y x =-所围成图形的面积为 ． 三、解答题

17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求sin cos n n x x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．

） 18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=， （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；

（2）证明：对任意ππ()2

k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．

19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．

20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，

则

21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为

(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存

款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ，(00.048)x ∈，，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？

22

．已知函数()0)f x x >，数列{}n a 满足1()a f x =，1()n n a f a +=．

（1）求234a a a ，，；

（2）猜想数列{}n a 的通项，并予以证明． 参考答案

一、选择题：CCDAC,BABBBD

二、填空题：13、4， 14、61， 15、2,3 16、9 17、解：当1n =时，sin cos 1x x +=-； 当2n =时，有22sin cos 1x x +=；

当3n =时，有3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )x x x x x x x x +=++-，

而sin cos 1x x +=-， 12sin cos 1x x +=∴，sin cos 0x x =． 33sin cos 1x x +=-∴． 当4n =时，有4422222sin cos (sin cos )2sin cos 1x x x x x x +=+-=． 由以上可以猜测，当n *∈N 时，可能有sin cos (1)n n n x x +=-成立．

18、解：（1）设实数根为a ，则2(tan )(2)0a i a i θ-+-+=， 即2(tan 2)(1)0a a a i θ---+=．

由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-?--=????=+=??，，． 又π02θ<<， 得1

π4

a θ=-??

?=??，．

（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，

由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ?-+-=?+=?，

，

由于220ββ-+-=无实数解．

故对任意π

π()2

k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根

19、解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=． 因为0t ≠，所以2a t =-． ()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =． 又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，

所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=．

将2a t =-代入上式得b t =． 因此3c ab t ==-． 故2a t =-，b t =，3c t =-． （2）3223()()y f x g x x t x tx t =-=--+，2232(3)()y x tx t x t x t '=--=+-． 当(3)()0y x t x t '=+-<时，函数()()y f x g x =-单调递减． 由0y '<，若0t >，则3

t x t -<<； 若0t <，则3

t t x <<-．

由题意，函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，则(1

3)3t

t ??-?- ??

?

，，或(13)3

t

t ??

-?- ??

?

，，． 所以9t -≤或3t ≥．

又当93t -<<时，函数()()y f x g x =-在(13)-，上不是单调递减的．

所以t 的取值范围为(][)93--+U ，

，∞∞． 20、解：此命题是真命题． 0a b c ++=∵，a b c >>，0a >∴，0c <．

要证， 即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<， 即证()(2)0a c a c -+>． 0a c ->∵，2()0a c a c a b a +=++=-+>， ()(2)0a c a c -+>∴成立， 故原不等式成立．

21、解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时，

1.44y =；由21.44(0.012)k =·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·，

设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，

由于296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =． 因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增；

(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；

故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．

22、解：（1）由1()a f x =

，得21()a f a ==

=

，

32()a f a ==

=

=

43()a f a ==

=

（2

）猜想：)n a n *=

∈N ，

证明：（1）当1n =时，结论显然成立； （2）假设当n k =

时，结论成立，即k a

那么，当1n k =+

时，由1()k k a f a +==

=

，

这就是说，当1n k =+时，结论成立； 由（1），（2

）可知，n a =

()n n *∈N 都成立．