专题测试-27尺规作图(基础)(教师版)
专题27 尺规作图及证明（专题测试-基础）
一、作图题（共14题；共133分）
1.如图，AD是△ABC的角平分线
（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；
（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）连接DE、DF，四边形AEDF是________形.（直接写出答案）
2.如图，中，，，．
（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．
3.如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；
（2）求证：△BCD是等腰三角形.
4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上.
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，连接ED,EF.
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.
6.如图，在中，，，，D、E分别是斜边AB、直角边BC上的点，把沿着直线DE折叠．
（1）如图1，当折叠后点B和点A重合时，用直尺和圆规作出直线DE；不写作法和证明，保留作图痕迹
（2）如图2，当折叠后点B落在AC边上点P处，且四边形PEBD是菱形时，求折痕DE的长．
7.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
8.如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
9.如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
10.如图，在中．
①利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；
②利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
11.如图，在△ABC中
（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．
12.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A。
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
（2）在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由。
13.在△ABC中，∠C＝90°
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E；（不写作法图，保留作图痕迹）（2）若AC＝2，∠B＝15°，求BD的长．
14.如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC
（1）尺规作图：在AD上标出一点P，使得点P到点B和点C的距离相等（不写作法，但必须保留作图痕迹）；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，求证：BE=CF；
（3）若AB=a，AC=b，则BE=________，AE=________．
二、综合题（共3题；共30分）
15.如图，是菱形的对角线，，
（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．
16.如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
17.如图，在中，．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．
答案解析部分
一、作图题
1.【答案】（1）解：如图,直线EF即为所求作的垂直平分线
（2）菱形
【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，作图—尺规作图的定义
【解析】【解答】（2）∵EF为AD的垂直平分线，则EA=ED，∠EAD=∠FAD，FA=FD，又∵AD是∠BAC的平分线，得∠DAF=∠EAD，∴∠FAD=∠EDA，则AF∥ED，同理AE∥FD，∴四边形AEDF为平行四边形，又∵EF⊥AD，故四边形AEDF为菱形.
【分析】先利用垂直平分线的性质定理，和角平分线推导两组对边分别平行，得四边形EDBF为平行四边形，由对角线互相垂直，进而推导四边形EDFA为菱形。
2.【答案】（1）解：如图直线即为所求．
（2）解：∵垂直平分线段，∴，
设，在中，
∵，∴，
解得，∴
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出AB的垂直平分线MN。
（2）利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得DA=DB；设DA=DB=x，在Rt△ACD 中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长。
3.【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形.
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）分别以点A,B为圆心，大于AB长度的一半为半径画弧，两弧分别在AB的两侧相交，过这两交点作直线，该直线交AC于点D，点D就是所求的点；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和得出∠ABC＝∠C＝72°，∠ABD＝∠A＝36°，根据三角形的外角定理由∠BDC＝∠A+∠ABD得出∠BDC的度数，根据等量代换得出∠BDC＝∠C，故△BCD是等腰三角形。
4.【答案】（1）解；如图所示；
（2）解；OE∥AC，OE= AC.
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC，
∵∠BAD= ∠BOD，
∴∠BOD=∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA=OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE= AC
【考点】三角形中位线定理，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长度为半径画弧，交∠CAB的两边各一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部相交于一点，过这一点及点A画线交圆于点D，AD就是∠BAC的平分线；
（2）OE∥AC，OE= AC ，理由如下：根据角平分线的定义得出∠BAD= ∠BAC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半得出∠BAD= ∠BOD，故∠BOD=∠BAC，根据同位角相等，二直线平行得出OE∥AC，根据过一边中点且平行于另一边的直线一定平分第三边得出OE为△ABC的中位线，从而得出结论OE∥AC，OE= AC 。
5.【答案】（1）证明：∵点D，E，F分别是AC,，AB，BC的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线
∴DE∥CF，EF∥DC
∴四边形DEFC是平行四边形
∵∠C=90°
∴四边形DEFC是矩形
（2）解：如图所示
【考点】三角形中位线定理，矩形的判定，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的定义及定理，易证DE∥CF，EF∥DC，利用平行四边形的判定定理，可证得四边形DEFC是平行四边形，然后由∠C=90°，利用矩形的判定定理可证得结论。
（2）连接EC、DF交于一点，然后过这一点和B作射线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BE=CE，再由∠A=30°，可得∠ABC=60°，易证△BCE是等边三角形，利用等边三角形三线合一的性质，因此过点B和矩形CFED对角线的交点作射线即可。
6.【答案】（1）解：依题可得：作直线AB的垂直平分线DE，如图1所示：
（2）解：连结BP，
∵四边形PEBD是菱形，
∴PE=BE,PE∥BD，
设CE=x，
∵BC=4，
则BE=PE=4-x，
又∵PE∥AB，
∴△PCE∽△ACB，
∴，
∵BC=4，AC=3,
∴AB=5，
即，
∴x= ,
即CE= ,
∴BE=PE= ，
在Rt△PCE中，
∴PC= = ,
在Rt△PCB中，
∴PB= = ,
又∵S菱形PEBD=BE·PC= ·PB·DE，
∴，
∴DE= .
【考点】菱形的性质，作图—基本作图，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意作直线AB的垂直平分线DE，由垂直平分线的做法作图即可.
（2）连结BP，设CE=x，根据菱形性质和相似三角形的判定可得△PCE∽△ACB，由相似三角形的性质得，代入数值可得CE= ；在Rt△PCE和Rt△PCB中，根据勾股定理得PC、PB长，由菱形的等面积即可得DE值.
7.【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°
【考点】线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—复杂作图
【解析】【分析】（1）分别以A,B两点为圆心，大于AB长度一半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交，过这两个交点作直线，交AB于点E，交AD于点F，，直线EF即为所求；
（2）根据菱形的性质得出∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=150°，
∠ABC+∠C=180°，∠C=∠A=30°，根据垂直平分线的性质得出AF=FB，根据等边对等角及角的和差即可得出答案。
8.【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切
【考点】直线与圆的位置关系，切线的判定与性质，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）利用基本作图中作角平分线的方法做出角平分线，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O即可。（2）过O点作OD⊥AC于D点，由角平分线性质定理可得OB=OD，即d=r，即可得出⊙O与直线AC相切。
9.【答案】（1）解：如图,作出角平分线CO;
作出⊙O.
（2）解：AC与⊙O相切．
【考点】角平分线的性质，切线的判定，作图—基本作图
【解析】【分析】（1）根据题意先作出∠ACB的角平分线，再以O为圆心，OB为半径画圆即可。
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等及切线的判定定理，即可得出AC与⊙O相切。
10.【答案】解：如图，点P、线段PD即为所求；
【考点】作图—复杂作图
【解析】【分析】根据题意可知到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此先利用尺规作图作出∠CAB 的角平分线，交BC于点P，再过点P作AB的垂线，交AB于点D。即可解答。
11.【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；
（2）解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，
∴cos∠C＝＝＝．
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）分别以点B、点C为圆心，以大于BC一半的长度为半径画弧，分别交于线段BC 的上方与下方，过这两个交点画一条直线，与AC交于点D，BC交于点E，直线DE即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质可知BD=CD=9，BE=EC=，即可求得cos∠C=。
12.【答案】（1）解：如图所示
（2）解：DE∥AC（理由略）
【考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质，作图—尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可得到答案。
（2）根据∠BDC为三角形ADC的外角，即可得到∠BDC=∠A+∠DCA，由DE为∠BDC的平分线，
∠A=∠DCA，即可证明∠EDC=∠DCA，根据直线平行的判定定理得到DE∥AC。
13.【答案】（1）解：如图，点D、E为所作；
（2）解：连接AD，如图，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADC中，DA＝2AC＝4，
∴DB＝4．
【考点】线段垂直平分线的性质，作图—尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）分别以点A、点B为圆心，以大于AB长的一半为半径在线段AB两侧画弧，分别相交于两点，过这两个交点做直线，与AB交于点E，BC交于点D，直线DE即为所求直线；
（2）DE为AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知BD=AD，根据等边对等角可知∠B=∠BAD；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知∠ADC=30°，根据直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得AD的长，也就可知BD的长。
14.【答案】（1）解：①作线段BC的垂直平分线交AD于P．
点P就是所求的点．
（2）解：连接P
B、PC．
∵∠PAB=∠PAF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF，
在Rt△PEB和Rt△PFC中，
，
∴△PEB≌△PFC，
∴BE=CF．
（3）；.
【考点】直角三角形全等的判定，角平分线的性质，作图—尺规作图的定义
【解析】【解答】解：（3）设BE=CF=x，
在Rt∴△PAE和Rt△PAF中，
，
∴△PAE≌△PAF，
∴AE=AF，
∴AB-BE=AC+CF，
∴a-x=b+x，
∴x= ，
∴BE= ，AE=AB-BE=a- = ，
故答案为，．
【分析】（1）、直接利用尺规作图法则作图
（2）、依题做出图形，根据角平分线性质可知PE=PF，再根据直角三角形全等判定△PEB≌△PFC，从而得到结论
（3）、结合角平分线的性质和直角三角形的判定可知△PAE≌△PAF，从而得到AE=AF，再根据线段的对等转换可得到答案
二、综合题
15.【答案】（1）解：如图所示，直线EF即为所求；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°
【考点】平行线的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的性质，作图—尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）、根据尺规作图法结合题意作出图形
（2）、首先根据菱形的性质可求出∠ABD＝∠DBC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，再根据平行线的性质可得到∠C＝∠A＝30°，最后根据垂直平分线的性质可得到AF＝FB，从而可计算得出答案
16.【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：∵，
∴.
∴.
【考点】作图—尺规作图的定义，平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）利用尺规，依次找到角的对应点，画出角即可。
（2）根据两线平行、两角相等，可得到对应的边成比例，得到比值。
17.【答案】（1）解：如图，DE为所作；
（2）解：∵CD平分，
，
为等腰直角三角形，
，
，即，
【考点】角平分线的性质，作图—尺规作图的定义，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）尺规作图的要求，角平分线的画法以及垂线的画法。注意保留作图痕迹，做法清晰。
（2）根据角平分线的性质以互余两角的关系，判定△CDE 为等腰直角三角形。据其性质，以及平行线的性质判断△BDE∽△BAC，对应边成比例，即可求出DE。