17.导数中的不等式放缩
第121课 导数中不等式放缩
基础知识：
（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥.
特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.
（2）与隐零点相关的放缩问题
常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式.
一、典型例题
1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.
2.已知函数()2e x f x x =-.
（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；
（2）求证：当0x >时，
()e 2e 1ln 1x x x x +--?.
二、课堂练习
1. 已知()e ln x f x x =-.
（1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数；
（2）求证：()2f x >.
2. 已知函数()()
23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.
（1）当1m 3时，求函数()g x 的极值；
（2）若72a ?
，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+.
三、课后作业
1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x .
2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >.
3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R ?．若函数()f x 在定义域上为单调增函数．
（1）求a 最大整数值；
（2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n L 骣骣骣+琪琪琪++++<琪琪琪-桫桫桫．
导数中证明不等式技巧：构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!
导数中的不等式证明 导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 命题角度1 构造函数 【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 11,()x x ae f x g x bx x e x =-=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x +≥ ． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-++，()2ln 1()10x x e f x g x x x x e x +≥?---+≥， 令()()()2()1h x f x g x x x =+- ≥，则 ()ln 11x x e h x x x e x =- --+， ()2221ln 1ln 11x x x e x e h x x e x x e -'=-+++=++， 因为1x ≥，所以()2ln 10x x e h x x e '=++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 110x x e x x e x - --+≥， 所以当1x ≥时，()2()f x g x x +≥． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明. 命题角度2 放缩法 【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在
导数证明不等式的常用方法(3)
导数证明不等式的常用方法（3） 考法3放缩法 考向1已知条件放缩 1.（2018·全国卷Ⅲ·文科）已知函数21 ()x ax x f x e +-=. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （Ⅱ）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥. 解析：（Ⅰ）2(21)2 ()x ax a x f x e -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1) -处的切线方程是210x y --=． （Ⅱ）当1a ≥时，2221 111()x x x x ax x x x x x e f x e e e e e e ++-+-+-++=+≥+=（放缩法）．令21()1x g x x x e +=+-+，则1()21x g x x e +'=++．令(1)220g '-=-+=，()g x '单调递增，当x 变化时，()g x '、()g x 变化情况如下表： 所以，()(1)0g x g ≥-=，因此()0f x e +≥． 考向2已有结论放缩的应用 结论1：ln 1x x ≤- 1.（2017·全国卷Ⅲ·理科）已知函数()1ln f x x a x =--. （Ⅰ）若()0f x ≥，求a 的值； （Ⅱ）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111 (1+)(1+)(+)222n m ?? 所以不满足题意. 或者()1ln 1()ln f x x a x x a x =--=-+-在(0,)+∞上单调递增，(1)0f =，当 01x <<时，()0f x <，不满足要求. ②当0a >时，()1a x a f x x x -'=-= ，令0x a -=，x a =.当x 变化时，()f x '、()f x ()f x 在x a =处取得极小值，也是最小值，又(1)0f =，当且仅当1a =时，()0f x ≥， 所以，1a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当1x >时，()1ln 0f x x x =-->，即ln 1x x <-.令1 12n x =+ 得11ln(1)22n n +<，从而2211111 ln(1)ln(1)ln(1)22222 n ++++++<++L L 1ln(1)2n ++ 2111222n <+++L 112n =-1<.故2111 (1)(1)(1)222n e +?+??+ 恰当采用放缩法 巧证导数不等式 郑州市第四十四中学 苏明亮 放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考． 一、利用基本不等式放缩，化曲为直 例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设()ln(1)1f x x =++ .证明：当 02x <<时，9()6 x f x x < +. 证明：由基本不等式，当0x >时，2x <+12 x < +. ()ln(1)1ln(1)2 x f x x x ∴=+<++ 记9()ln(1)26 x x h x x x =++ - +， 则222 1154(1536)'()12(6)2(1)(6)x x x h x x x x x +-=+-=++++. 当02x <<时，'()0h x <，所以()h x 在(0,2)内是减函数.故又由()(0)0h x h <=， 所以9ln(1)26x x x x ++ < +，即9ln(1)16 x x x +<+， 故当02x <<时，9()6 x f x x <+. 评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数9()()6 x h x f x x =-+，对()h x 进行求导，由于 '()h x 中既有根式又有分式，因此'()h x 的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对 进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明 12 x < +，亦即是将抛物线弧y =12x y =+，而该线段正是 抛物线弧y = (0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处 理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静 例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数()ln()x f x e x m =-+.当2m ≤时，证明()0f x >. 第121课 导数中不等式放缩 基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()() f x g x >解析：设()()() h x f x g x =-23e 91x x x =+-+， ∵()3e 29x h x x ￠=+-为增函数，∴可设()00h x ￠=， ∵()060h ￠=-<，()13e 70h ￠=->，∴()00,1x ?. 当0x x >时，()0h x ￠>；当0x x <时，()0h x ￠<. ∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+， 又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+， ∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--. ∵()00,1x ?，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()e 2e 1 ln 1x x x x +--3+. 答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析 解析：（1）()e 2x f x x ￠=-，由题设得()1e 2f ￠=-，()1e 1f =-， ()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1. y x =-+（2）()e 2x f x x ￠=-，()e 2x f x =-，∴()f x ￠在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+￥上单调递增， 导数应用于不等式证明之放缩法一例 的单调区间； 求轴垂直，处的切线与，在点（曲线是自然对数的底数），为常数，已知函数)()1())1(1)(...718.2(),2(ln )(.21x f y f x f y e k k x e x f x ==-=- 2)()1(,0)1(ln 1)(2-+<+>+-=x x x e e x g x x e x x x g 证明：，对任意）设（ ()()()】式成立。证毕。恒成立，【所以所以）递增 ，）递减，在（，在（划分单调区间如下：解得令】 【只需证再用放缩法 ， ）即证明（）（】，只需证 ，要证【）（） （），所以（放缩，由于以下对】 【证明：结论20)(011132 ln 2)(0)(,,0ln 3)(,ln 31ln 2)(2),0(,0ln 2x )(,0ln 2x ln 1x 1 )]1(ln 1[)1(1)], 1(ln 1[1)1(11)1(1)1()(111),1()()]1(ln 1[1)0(,)1(ln 11323232332 3333min 33322222222222222222>>-=+-=+-=+-=++==∞+>>+='+=? ++='>>++=>+++?-->+++?+->+++-?+>++++≥++≥+≥+<+-?+?>+<+-?+?------------------------x h e e e e e e e e e e e e e e h h e e x h e x x x h x x x x x h x e x x x h x e e x x x x x x e e x x e x x x x e x e x e e x e x e e e e x x x x e e e x x x x x x x x x x x 导数中的不等式证明 命题角度1 构造函数 【典例1】 已知函数()ln 1 1,()x x ae f x g x bx x e x =- =+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2 ()f x g x x +≥． 命题角度2 放缩法 【典例2】 已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ； （2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【典例3】 已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：22231ln 2ln ln 2421 n n n n n n +<+++<++L 【典例4】 已知函数()2ln 2 x x f x e += . （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e +'+<+. 命题角度3 切线法 【典例5】 已知函数()2x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21 ln 1x e e x x x +--≥+. 命题角度4 二元或多元不等式的解证思路 【典例6】 若,,x a b 均为任意实数，且()()2 2 231a b ++-=，则()()2 2 ln x a x b -+-的最小值为 .A .18B .1C .19D - 【变式训练】 设2D a = +，其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为 .A .B .1C .1A 导数与函数放缩问题之切线法放缩 一、典型的不等式： sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为 ，其几何意义为上的的 点与原点连线斜率小于1. （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1 1y x =- ，ln y x x =. 二、典型例题 1 :()ln 1,()0 x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时， 21 ()ln ,(). x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证： 例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （1）求,a b ； （2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12) 11m e x x e --≤+-. 例4：已知函数()ln f x x x =，()()22 a x x g x -= . （1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：()() ()2221 2111111n n n n ???? ?? + ++???? ?? +++??????? ????? sin ,(0,)y x x π=∈ 三、巩固练习 练习1：已知函数f (x )＝e x －a . (1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值． 练习:2：已知函数()2x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21 ln 1x e e x x x +--≥+. 练习3：函数的图像与直线相切． （1）求的值； （2）证明：对于任意正整数，()11 2 2! ! n n n n n n n e n e n ++?< 第121课 导数中不等式放缩 基础知识： （1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时， ()e 2e 1ln 1x x x x +--?. 二、课堂练习 1. 已知()e ln x f x x =-. （1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数； （2）求证：()2f x >. 2. 已知函数()() 23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+. （1）当1m 3时，求函数()g x 的极值； （2）若72a ? ，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+. 三、课后作业 1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x . 2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >. 放缩法证明导数不等式 在用导数证明的不等式中，有时采用适当的放缩，会使解题过程事半功倍。下面先介绍几个不等式。 ①1+≥x e x （当且仅当x=0时取等号） 对①式两边同时取以e 为底的对数得到②式 ②x x ≤+)1ln(，()+∞-∈,1x （当且仅当x=0时取等号） ②式中用x-1替换x ，得到③式 ③1ln -≤x x ，()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） ③式中用x 1替换x , 得到x x x -≤ 11ln 即 ④x x x 1ln -≥ ， ()+∞∈,0x （当且仅当x=1时取等号） 由③④式可得 ⑤1ln 1-≤≤-x x x x ，两边等号成立的条件均为x=1 ⑤式中用x+1替换x 得到 ⑥()x x x x ≤+≤+1ln 1 ，两边等号成立的条件均为x=0 ①式中用x-1替换x ，得到x e x ≥-1，所以x e e x ≥，即 ⑦ex e x ≥，（当且仅当x=1时取等号） 令()x x x f ln =，则令()0ln 1'=+=x x f ，得e x 1=。?? ? ??∈e x 1,0时，()0' ⑧ex x 1ln -≥，（当且仅当e x 1=时取等号） 以上的不等式应用在在证明过程中时需要先证明，下面用几个例题说明一下 例1， 求证02ln 2≤+--ex e ex x ex x 证明：先证ex e x ≥ 令()ex e x f x -=，则()()11'-=-=-x x e e e e x f ，则()1,0∈x 时，()0' 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 命题角度3 切线法 【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数()2 x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x +--≥+. 【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-， 导数证明中的常用放缩 一、常用结论 1、切线放缩 2、其它对数放缩（对数均值不等式） 3、常用放缩公式：（考试时需给出证明过程） 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ??<-> ???，()11ln 012x x x x ??>-<< ??? ， ) ln 1x x <>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102 x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+ 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤ ≤-，()10x e x x <-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩 ()()ln 112x e x x x -≥+--= 第四组：三角函数放缩 ()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22 x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数 ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =- ，ln y x x =. 二、基础练习： 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 【考点突破】 命题角度1 构造函数 【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 1 1,()x x ae f x g x bx x e x =- =+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值； （2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x +≥ ． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =- ++，()2ln 1 ()10x x e f x g x x x x e x +≥?---+≥， 令()()()2 ()1h x f x g x x x =+-≥，则 ()ln 1 1x x e h x x x e x =---+， ()2221ln 1ln 11x x x e x e h x x e x x e -'=- +++=++， 导数中的不等式问题的解题策略 导数的综合问题是高考数学的压轴题之一，其包含信息量大，计算繁琐，对学生的思维能力要求较高，令很多同学望而生畏，造成严重失分。而利用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题，很多同学直接选择放弃，其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。 1.承上启下型 在解决导数问题中的不等式时，经常会出现这样一类问题，其证明需要应用到前一问的结论。 由前一问的结论得到一个不等式，再根据其与要证明的不等式的关系进行证明，这类题 在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论，如：ln(1),1x x x e x +≤≥+等。 例 1.已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率 ()k f x =. (I)若函数()f x 在区间1,3m m ? ?+ ??? ()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1 t f x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围; (III)求证()()()2 2 * 1!1n n n e n N -+>+∈????g . 分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。(I)由极值的定义其极值点，极值点在1,3m m ?? + ?? ? 内，从而确定m 的范围。(II)分离参数t ，利用导数求最值。(III)利用第(II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。 解:(Ⅰ)由题意()1ln x k f x x +==,0x > 所以()2 1ln ln x x f x x x '+? ?'==- ??? 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间 1,3m m ? ?+ ? ??(其中0m >)上存在极值, 所以01 113m m <?? 得213m <<. 即实数m 的取值范围是213?? ??? ， 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。即使如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理使用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 命题角度3 切线法 【典例5】（2019届安徽省太和中学三模）已知函数()2 x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x +--≥+. 【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-， 当ln 2x <时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>， 所以函数()()g x f x '=在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， For personal use only in study and research; not for commercial use 上次发贴介绍了下2014年课标1卷的放缩做法，发现很多人不太懂放缩，而且吧里似乎没有专门讲解放缩的贴子。鉴于本人是河北人，研究过一些导数里较难的题，比如数列不等式，所以斗胆在此发表一些自己的心得，希望大家能获益。数学老手，贴吧新手，发帖有什么不好的地方请轻喷。 此贴思路是这样的，先介绍放缩的思想、应用及注意事项，然后简单提下数列中的放缩，再重点介绍函数与导数中的放缩，拓展一些知识，附上一些例题。 从最简单的例子开始比如我们要证明π＞e，我们知道π＞3，3＞e。我们可以把要证的不等式π＞e左边的π缩小为3,3比e大是对的，π比e大就得证。同理也可把右边的e放大为3。 上面的例子太过简单，真到复杂的情况，可能你似懂非懂的了解了放缩但还是应用不上，真的理解还是要靠题目。直接来到高大上的题，搞清了就理解放缩了。 第一问略过（等号左边的取对数易证，等号右边把帖子看完就知道多好证了）? 第二问说思路，首先这个式子太过庞大，有指数有三角，而且不管怎么变形求导，都无法消除其中一种，所以常规法是很难做甚至是不可做的。再看第一问有放缩的提示，所以考虑放缩。 如果1-x≥g（x）这时求得a≤-3，那么这个范围内f（x）≥g（x）的，或者说这个范围就是一个充分条件，我们只须论证其必要性。 也就是证a＞3时f（x）≥g（x）不成立，即g（x）＞f（x），这时再把f（x）放大为1/（1+x）与g（x）比较，在a＞3时，作差求导得出g（x）＞f（x），所以a≤-3为充要条件。 详答不放，重要的是思路，计算过程现在都可以不算，只要把这个思路倒腾清楚，放缩思想基本就有了，而且不局限在证明不等式了。 注意事项: 第一：放缩要注意尺度，比如证π＞e，你要是想到了π＞2，然后想用2＞e来证明，那当然不行，你放缩的尺度太大了，复杂题中，有时这尺度不容易把握。 第二：看清楚不等号及放缩方向，有时你做着做着就蒙了，就看不清了。比如你要证π＞e，你想到了e ＞2，一看π＞2，以为自己证出来了，其实呢，你已经晕了。这个例子你看着滑稽，自己做难题时这种情况而正常。 第三：注意有放有留，在数列中常用，我们通常把数列的第一项或者前两项不进行放缩，只放缩后面的，借此来控制放缩的尺度（因为有时前面的项放缩会尺度过大）。更高端的，我们可以把数列的后面的拿出n 项来，只对后面的n项放缩，而不放缩前面的（因为有时后面的放缩会尺度过大）。 第三条中更更高端的，我们可以借项。比如数列an=n，其前n项和本应为1+2+3+4+……+n 我们可以写为1+2+3+4+……+n+【（n+1）+（n+2）+……2n】-【（n+1）+（n+2）+……2n】，就是加上n项再减去n项，然后对减去的n项或加上的n项进行放缩（之所以要放缩减去的那些项，是因为有时候不等号方向和你已知的放缩式子可能不合适，但如果放缩减号后的那些项可以解决这个问题） 现在来介绍下数列中的放缩，河北数列难度小，所以我了解的不如导数多，只举三个例子吧。 第一，脑筋急转弯型放缩，平凡之中暗藏坑爹，此类题题号靠前，难度不大，却可以很坑爹。 例：求证1/（n+1）+1/（n+2）+1/(n+3)+......1/(n+n)＜1 难吗，有没有发现左边n个式子每一项都比1/n小，那n个合起来当然比1小了，这不这么显然吗？如果你考试时做不出来，请拿出小学生考你脑筋急转弯你答不出来的心态来。 第二条较常用（导数中有道数列不等式也要用它，在此只举一例） 数列不等式的放缩与导数不等式的证明 一．.数列不等式与导数不等式证明的相互联系 二．证明不等式的的放缩技巧： （1）舍项或添项；（2）放大（或缩小）分式的分子或分母；（3）利用基本不等式; （4）真分数与假分数的放缩：?m b m a b a b a m b a ++<<><<则1,0,0 ?m b m a b a b a m b a ++>>>>>则1,0,0 （ 5 ） 数 列 通 项 的 常 见 放 缩 ? 1 )1(+<+ 3.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，其中11a = （1）求数列{}n a 的通项公式; （2，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（* n N ∈），且211a =． （1）求1a 的值； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）设数列{}n b 满足n b = 12n b b b +++< 5.设数列{}n a 的前n 项和6 ) 14)(1(-+= n n n S n ，*N n ∈． ⑴求1a 的值；[来源:https://www.360docs.net/doc/4511318070.html,] ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶证明：对一切正整数n ，有 4 5 412 22 2 2 1 <+ ++ n a n a a ． 6.（本小题满分14分）设数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=3a n ，n ∈N *．设S n 为数列{b n }的前n 项和，已知b 1≠0，2b n –b 1=S 1?S n ，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =b n ?log 3a n ，求数列{c n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）证明：对任意n ∈N *且n ≥2 … 高考数学优质专题（附经典解析） 导数中不等式放缩 基础知识： （1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-. 比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明. 2.已知函数()2e x f x x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时， ()e 2e 1ln 1x x x x +--?. 二、课堂练习 1. 已知()e ln x f x x =-. （1）求()y f x =的导函数()y f x ￠=的零点个数； （2）求证：()2f x >. 2. 已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+. （1）当1m 3时，求函数()g x 的极值； （2）若72a ?，证明：当()0,1x ?时，()1f x x >+. 三、课后作业 1. 已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x . 2. 设函数()e sin x f x a x b =++. 若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值. 并证明当(0,)x ??时，()ln f x x >. 3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R ?．若函数()f x 在定义域上为单调增函数． （1）求a 最大整数值； （2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1 n n n 骣骣骣+琪琪琪++++<琪琪琪-桫桫桫． 十七、 导数中不等式放缩 基础知识： （1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥. 特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式. 如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式. （2）与隐零点相关的放缩问题 常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式. 一、典型例题 1.已知函数23e x f x x ，91g x x . 比较f x 与g x 的大小，并加以证明. 2.已知函数2e x f x x . （1）求曲线f x 在1x 处的切线方程； （2）求证：当0x 时， e 2e 1ln 1x x x x . 二、课堂练习 1. 已知e ln x f x x . （1）求y f x 的导函数y f x 的零点个数； （2）求证：2f x . 2. 已知函数23e 4cos 1x f x x ax x x ，e 1x g x m x . （1）当1m 时，求函数g x 的极值； （2）若72a ，证明：当0,1x 时，1f x x . 三、课后作业 1. 已知函数21ln f x x x x ，求证：当02x 时，12f x x . 2. 设函数()e sin x f x a x b . 若()f x 在0x 处的切线为10x y ，求,a b 的值. 并证明当(0,)x 时，()ln f x x . 3.已知函数e ln x f x x a x a x ，a R ．若函数f x 在定义域上为单调增函数． （1）求a 最大整数值； （2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n ． 上次发贴介绍了下20１4年课标1卷的放缩做法，发现很多人不太懂放缩,而且吧里似乎没有专门讲解放缩的贴子。鉴于本人是河北人,研究过一些导数里较难的题，比如数列不等式,所以斗胆在此发表一些自己的心得，希望大家能获益。数学老手，贴吧新手,发帖有什么不好的地方请轻喷。 此贴思路是这样的，先介绍放缩的思想、应用及注意事项,然后简单提下数列中的放缩,再重点介绍函数与导数中的放缩，拓展一些知识,附上一些例题。?从最简单的例子开始比如我们要证明π＞e，我们知道π>３,3＞e。我们可以把要证的不等式π＞ｅ左边的π缩小为３，3比ｅ大是对的,π比e大就得证。同理也可把右边的e放大为3。?上面的例子太过简单,真到复杂的情况,可能你似懂非懂的了解了放缩但还是应用不上,真的理解还是要靠题目。直接来到高大上的题,搞清了就理解放缩了。 第一问略过(等号左边的取对数易证，等号右边把帖子看完就知道多好证了）?第二问说思路，首先这个式 子太过庞大,有指数有三角,而且不管怎么变形求导，都无法消除其中一种,所以常规法是很难做甚至是不可做的。再看第一问有放缩的提示，所以考虑放缩。 如果1-x≥g（x)这时求得a≤-3，那么这个范围内f(ｘ)≥g(x)的,或者说这个范围就是一个充分条件，我们只须论证其必要性。?也就是证ａ＞３时f（x）≥g（ｘ）不成立，即g(x）>f(x)，这时再把ｆ（x）放大为1／(1+ｘ）与g（ｘ)比较，在a>3时，作差求导得出g(ｘ）>f(x）,所以a≤－3为充要条件。?详答不放，重要的是思路,计算过程现在都可以不算,只要把这个思路倒腾清楚,放缩思想基本就有了, 而且不局限在证明不等式了。 注意事项: 第一:放缩要注意尺度，比如证π＞ｅ，你要是想到了π＞２,然后想用2>e来证明，那当然不行,你放缩的尺度太大了，复杂题中,有时这尺度不容易把握。 第二：看清楚不等号及放缩方向，有时你做着做着就蒙了，就看不清了。比如你要证π＞e，你想到了e ＞２,一看π＞2,以为自己证出来了,其实呢，你已经晕了。这个例子你看着滑稽,自己做难题时这种情况而正常。?第三:注意有放有留，在数列中常用，我们通常把数列的第一项或者前两项不进行放缩，只放缩后面的,借此来控制放缩的尺度（因为有时前面的项放缩会尺度过大)。更高端的，我们可以把数列的后面的拿出ｎ项来，只对后面的n项放缩，而不放缩前面的(因为有时后面的放缩会尺度过大）。 第三条中更更高端的，我们可以借项。比如数列an＝n，其前n项和本应为１+2+３+4+……+n 我们可以写为1＋2＋３+4＋……+n+【（n＋1)+（n+2）＋……２n】-【（n+1）+(n+2）+……2ｎ】，就是加上n项再减去n项，然后对减去的n项或加上的ｎ项进行放缩(之所以要放缩减去的那些项，是因为有时候不等号方向和你已知的放缩式子可能不合适，但如果放缩减号后的那些项可以解决这个问题) 现在来介绍下数列中的放缩,河北数列难度小，所以我了解的不如导数多，只举三个例子吧。?第一,脑筋急转弯型放缩，平凡之中暗藏坑爹，此类题题号靠前,难度不大,却可以很坑爹。?例：求证1／（n+1)+1/(ｎ+2）+１/(ｎ+3)+.....．1／(n+n）＜1 难吗,有没有发现左边ｎ个式子每一项都比1/n小,那ｎ个合起来当然比1小了，这不这么显然吗?如果你考试时做不出来,请拿出小学生考你脑筋急转弯你答不出来的心态来。 第二条较常用（导数中有道数列不等式也要用它,在此只举一例） 这类放缩就是朝裂项相消方向靠拢。 很显然的，我们有1／n（ｎ+1)＜1/n^2＜1/n(n－1)(原谅我不会把平方打成角标）。当然我们有更加强版的放缩法在导数压轴题中的应用郑州第四十四中学
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数列不等式的放缩与导数不等式的证明
导数中的不等式放缩22
十七.导数中的不等式放缩
精品导数放缩必备题型