人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式
1. 知识要点
角的概念的推广：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示：
α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2
k k Z π
απ=+∈；
α终边在坐标轴上的角可表示为：,2
k k Z π
α=
∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
α与2
α的终边关系：
任意角的三角函数的定义:
设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y
x r r
αα==，
()tan ,0y x x α=
≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r
x
α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线A T“站在点(1,0)A 处(起点是A )”
同角三角函数的基本关系式：
1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=
2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
=
=
注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形
形式。
三角函数诱导公式：“ （2
k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”
典型例题
例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4
5π
例2．求下列各式的值： （1）sin(－3
4π
)； (2)cos(－60o)－sin(－210o)
例3．化简 )
180sin()180cos()
1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
例4．已知cos(π+α)=－2
1
，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是
（ ）．
(A)
2
3
(B) 21 (C)－2
3 (D)±
2
3 例5、求证： )
2
cos()5cos()2sin()4sin()
cot()2tan()23cos()2sin(
απαπαπ
απαπαπαπαπ
+-+--=+-+---+k k k
例6 的值。求)4
(cos )4
(cos 22α+π+α-π
例7 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=
课后练习
1.在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ） A ．
αβ
= B ．
()
2k k Z απβ=+∈
C ．απβ=+
D ．
()()
21k k Z απβ=++∈
2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）
A ．等于1弧度
B ．大于1弧度
C ．小于1弧度
D ．无法判断
3. 角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．
2
2 B ．-2
2 C ．±2
2 D ．1
4. α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且
cos α＝
4
2
x ，则sin α的值为（ ） A ．4
10
B ．4
6 C ．
4
2
D ．－
410
5.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α
是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
6. 已知
45
cos sin -
=-αα，则ααcos sin ?等于（ ）
A ．47
B ．－169
C ．－329
D ．329
7. 函数x x x x y sin cos 1cos sin 122-+
-=的值域是（ ）
A ．｛0，2｝
B ．｛－2，0｝
C ．｛－2，0，2｝
D ．｛－2，2｝
8. 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）
A 、4cos 4sin +
B 、4cos 4sin -
C 、4sin 4cos -
D 、4cos 4sin --
9. 若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）
A 、1
B 、2
C 、-1
D 、-2
10. 若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+
11. 若101)sin(=+απ，则)270cos()540csc()
90sin()sec(???------+-αααα的值是（ ）
A 、3
1- B 、271±
C 、3
1
D 、33-
12. 若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值
为（ ）
A 、??
??
??-∈0,3
4m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m
13. .定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2
π］时，f （x ）=sin x ，则f （3
π5）的值
为( ) A.－2
1
B.2
1
C.－
2
3
D.
2
3
14. 函数lg(2cos 3)y x =-的单调递增区间为 ( ) ．
A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈
B ．11
(2,2)()6
k k k Z ππππ++
∈ C ．(2,
2)()6
k k k Z πππ-∈
D ．(2,
2)()6
k k k Z π
ππ+∈
15. 下列说法只不正确的是 ( )
A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；
B ．余弦函数当且仅当x =2kπ( k ∈Z) 时，取得最大值1；
C ．余弦函数在[2kπ+2
π,2kπ+32
π]( k ∈Z)上都是减函数；
D ．余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数
16. 若a =sin 460,b =cos 460,c =tan360，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ． c > a > b B. a > b > c C. a >c > b D. b > c > a
18. 若α是第四象限角，则απ-是 （ ）
A ． 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限
19.若0cos 3sin =+αα，则α
αα
αsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .
20.sin
49πtan 3
7π
= _________ 21.若α是第二象限的角，则2α
是第 象限的角。
22.若θ角的终边与85π角的终边相同，则在[]0,2π上终边与4θ
的角终边
相同的角为 ；
23.终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。 24. 已知x x
x f +-=
11)(，若?
?? ??∈ππα，2，求)cos ()(cos αα-+f f 的值。
25. 已知2
1
)sin(=+απ，求απααπcos )cot()2sin(?---的值.
26. 已知：2
1cos sin =+αα，求θθ33cos sin +和θθ44cos sin +的值。
27. 若cos α＝2
3，α是第四象限角，求
sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)
απαπαππαπααπ-+--------的
值
第二讲 三角函数的图像与性质
1．函数B x A y ++=)sin(?ω）
，（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=
T ，频率是π
ω2=
f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线
)(2
Z k k x ∈+
=+π
π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对
称中心。
2．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
3．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 4．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图： 典例解析
例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）
函数
sin y x =
cos y x =
tan y x =
图象
定义域 R
R
{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈
值域 [1,1]-
[1,1]-
R 奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期 22T π
πω
；＝
22T π
πω
；＝
T ππω
；＝
对称轴 ,2
x k k Z π
π=
+∈ ,x k k Z π=∈
无
对称 中心
(,0),k k Z π∈
(,0),2
k k Z π
π+∈
(
,0),2k k Z π
∈ 单调递
增区间 [2,2],22
k k k Z ππππ-++∈
[2,2],k k k Z πππ-+∈ (,),2
2
k k k Z ππ
ππ-++∈ 单调递
减区间
3[2,2],22k k k Z ππππ++∈ [2,2],k k k Z πππ+∈
无