高中物理中的对称性模型

对称性模型

由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中，应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中为对称法，利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快捷简便地解决问题。

对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。

在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).

现将对称模型分为空间对称模型和时间对称模型

1、空间对称模型

例1：如图1所示：在离地高度是h，离竖直光滑的墙是

s处，有一个弹性小

1

v正对着墙水平抛出，与墙发生弹性碰撞后落到地面上，求小球落地球以初速度

点与墙的距离。

【解析】：小球与墙的碰撞是弹性碰撞，碰撞前后

的动量对于墙面的的法线是对称的。如墙的另一面同一高

度有一个弹性小球以相同的速度与墙碰撞，由于对称性，

它的轨迹与小球的实际轨迹是对称的。因此碰前的轨迹与碰

后的虚线轨迹构成一条平滑曲线，这就是平抛运动的轨迹曲线。 小球从抛出到落地的时间为t ，由自由落体规律得g h t 2=，再根据平抛运动规律可得102s g

h v s -= 例2. 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面的高度为h ，用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则：

A. 运动过程中距地面的最大高度为2h

B. 球上升过程中势能不断变小

C. 球距地面高度为h 时，速度最大

D. 球在运动中的最大加速度是kh/m

【解析】：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，当离地面距离为h 时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h ，利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高点速度为零时距平衡位置也为h ，所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h ，由于球的振幅为h ，由a k m x =-

可得，球在运动过程中的最大加速度为a k m

h =，球在上升过程中动能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正确选项为ACD 。 例3（2005年全国高考）如图3所示，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m 带电量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R ＝m v B q

。哪个图是正确的？（ ）

图3

【解析】：由于是许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。

在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。

①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心

力”公式可以得到：Bqv

mv

R

2

，解得R＝

m v

B q

。所以，在左侧可能会出现以O

为一点的直径为2R的半圆。

②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。

③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点O为转动点，以2R 为直径从右扫到左的一片区域。即如图4所示。

例4. （2005上海高考）如图1所示，带电量为＋q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中b点处产生的

电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b 点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k ）。

图1

解析：在电场中a 点：

E E E a q =+=+板

0 E E E k q d

q q 板，=-=++2 板上电荷在a 、b 两点的电场以带电薄板对称，带电薄板在b 点产生的场强大小为k q d 2

，方向水平向左。 点评：题目中要求带电薄板产生的电场，根据中学物理知识仅能直接求点电荷产生的电场，无法直接求带电薄板产生的电场；由E a ＝0，可以联想到求处于

静电平衡状态的导体的感应电荷产生的场强的方法，利用E E q 板=

-+来间接求出带电薄板在a 点的场强，然后根据题意利用对称性求出答案。

2、时间对称模型

例1. 如图1所示，一质点在平衡位置O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置O 出发向最大位移A 处运动过程中经0.15s 第一次通过M 点，再经0.1s 第2次通过M 点。则此后还要经多长时间第3次通过M 点，该质点振动的频率为多大？

图1

【解析】：由于质点从M →A 和从A →M 的时间是对称的，结合题设条件可知M →A 所需时间为0.05s ，所以质点从平衡位置O →A 的时间为

，又因为

，所以质点的振动周期为T

＝0.8s ，频率。 根据时间的对称性可知M →O 与O →M 所需时间相等为0.15s ，所以质点第3次通过M 点所需时间为s t T t OM 7.022

=+= 例2..(04广东)一杂技演员,用一只手抛球.他每隔0.40s 抛出一球,接到球便立即把球抛出,已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g=10m/s 2）（ ）

A ． 1.6m

B ． 2.4m

C ．3.2m

D ．4.0m

【解析】：小球运动的示意图如图，当小球1刚刚抛出，

我们认为同时接住球5，球5在手中的停留时间为

0.40s ，球4落到手中然后再抛出球5，这样球4从图

中位置落到手中的时间也为0.40s ，这样球达到的高度

就是最大，根据对称性，这样可知一个小球在空中运

动的时间为0.4×4s ，则每个球上升、下降时间均为

0.8s ，所以根据竖直上抛运动的规律，，得H=3.2m ，

所以C 正确。

【模型特征】

在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准确地解决问题。

对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。如，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看作是一个初速度为零的匀加速直线运动，于是便可将初速度为零的匀加速直线运动的规律和特点，用于处理末速度为零的匀减速运动，从而简化解题过程。具体如：竖直上抛运动中的速度对称、时间对称。沿着光滑斜面上滑的物体运动等具有对称性；简谐振动中|v|、|a|、|F|、动势能对称以平衡位置的对称性；光学中的

球型对称等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一种科学的思维方法。

利用对称法解题的思路：①领会物理情景，选取研究对象；②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某一过程或某一状态；③透析研究对象的属性、运动特点及规律；④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对称性特点，依物理规律，对题目求解。