江西省初中名校联考2020年4月九年级数学模拟试卷(含答案)
江西省初中名校联考2020年九年级数学模拟试卷（4月份）
一．选择题（每题3分，满分18分）
1．下列各数中，负数是（）
A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣2| C．（﹣2）2D．（﹣2）0
2．为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）
A．116×106B．11.6×107C．1.16×107D．1.16×108
3．下列运算正确的是（）
A．a3?a2＝a6B．
C．（﹣3a）2＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
4．将4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情（）
A．可能发生B．不可能发生C．很可能发生D．必然发生
5．关于下列说法：（1）反比例函数y＝，在每个象限内y随x的増大而减小：（2）函数y＝x，y随x的指大而减小：（3）函数y＝，当x＞0时，y随x的増大而减小．其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，点O是边BC上的一个动点，设点A绕点O顺时针旋转90°的对应点为A′．则点M到A′点的最小距离为（）
A．B．C．D．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．若数轴上的点A与点B表示的两个数互为相反数，并且这两个数的距离是7，则这两个点所表示的数分别是和．
8．如图，已知AD：DB＝2：1，CE：EA＝2：3，则CF：DF＝．
9．实验初中初二（1）班同学参加社会实践活动，几名同学打算包租一辆车前往，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参加实践活动的学生原有x人，则可列方程为．
10．如图，一次函数y＝ax+b的图象交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数y＝的图象于点C，若AB＝BC，且△OBC的面积为2，则k的值为．
11．将抛物线y＝﹣5x2沿x轴对称，再先向左平移5个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是．
三．解答题
13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE 交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．
14．关于x的方程（m+2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根．
15．如图1，点E是正方形ABCD对角线AC上的一点，连接EB、ED．
（1）求证：EB＝ED．
（2）如图2，延长BE交CD于F，点G在AB上，连接FG交DE于点O，如果FB＝FG，请求证：△FDO∽△FBC．
16．为参加八年级英语单词比赛，某校每班派相同人数的学生参加，成绩分别为A、B、C、D四个等级．其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校将八年级的一班和二班的成绩整理并绘制成如下统计图表：
班级平均数（分）中位数（分）众数（分）
一班8.76 a＝b＝
二班8.76 c＝d＝根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）请补全一班竞赛成绩统计图；
（2）请直接写出a、b、c、d的值；
（3）你认为哪个班成绩较好，请写出支持你观点的理由．
17．已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在AB边上．
（1）尺规作图：在图中作出点E，使得OE＝；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝OE，AO＝，求证：四边形ABCD是矩形．
18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．设每件衬衫降价x元．
（1）降价后，每件衬衫的利润为元，销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施．但需要平均每天盈利1200元，求每件衬衫应降价多少元？
19．校园文化是学校的灵魂，近期，实外西区肖明华校长推出《读100本名著》、《听100首名曲》、《赏100幅名画》、《懂100个名人》等一系列文化活动．为了解学生对这些文化活动的喜爱情况，我校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的
学生必须从《读100本名著》（记为A）、《听100首名曲》（记为B）、《赏100幅名画》（记为C）、《懂100个名人》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他校园文化栏目（记为E）．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？（150名）
（2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B所在扇形圆心角的度数；（D：75人，B：15人，36）
（3）若选择“E“的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E“的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．（P＝）
20．如图，电源两端的电压U保持不变，电流强度I与总电阻R成反比例．在实验课上，调整滑动变阻器的电阻，改变灯泡亮度．实验测得电路中总电阻R为15Ω时，通过的电流强度I为0.4A．
（1）求I关于R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
（2）如果灯泡的电阻为5Ω，电路中电流控制在0.3A到0.6A之间（包括0.3，0.6），那么这个滑动变阻器的电阻应控制在什么范围；
（3）若电路中的总电阻扩大到原来的n倍，则所通过的电流将怎样变化？请利用I关于R的函数表达式来说明理由．
21．如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，
则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个．（回答直接写序号）
①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
23．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF ＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF
的数量关系和位置关系．
【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D 重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．
【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．
【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k （k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）
参考答案
一．选择
1．解：A、﹣（﹣2）＝2，故此选项错误；
B、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项正确；
C、（﹣2）2＝4，故此选项错误；
D、（﹣2）0＝1，故此选项错误；
故选：B．
2．解：将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．
故选：D．
3．解：A、a3?a2＝a5，故此选项错误；
B、（﹣）3＝﹣，正确；
C、（﹣3a）2＝9a2，故此选项错误；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误；
故选：B．
4．解：4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，
若摸到所有的红球与白球共7个，一定还会摸到1个黑球；
若摸到所有的白球与黑球共5个，还会摸到3个红球；
若摸到所有的红球与黑球共6个，还会摸到2个白球；
所以从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是必然事件．
故选：D．
5．解：当m＜0时，反比例函数y＝，在每个象限内y随x的増大而增大，故（1）错误；
函数y＝x，y随x的指大而减小，故（2）正确；
函数y＝，当x＞0时，y随x的増大而减小，故（3）正确；
故选：C．
6．解：过A′作A′G⊥BC于G，
∵点A绕点O顺时针旋转90°的对应点为A′．
∴OA＝OA'，∠AOA'＝90°，
∵∠ACO＝90°，∠A'GO＝90°，
∴∠A'OG＝∠OAC，
∴△A'OG≌△OAC，（AAS），
∴A′G＝OC，OG＝AC＝6，
过M作MH⊥BC于H，则MH＝3，CH＝4，
过M作MN⊥A′G于N，则A′N＝|A'G﹣3|，
设OC＝x，则MN＝x+2，A′N＝|x﹣3|，
∴A′M2＝（x+2）2+（x﹣3）2＝2（x﹣）2+，
∴A′M的最小值为．
故选：A．
二．填空
7．解：由A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是7，得这两个点所表示的数分别是﹣3.5，3.5，
故答案为：﹣3.5，3.5．
8．解：过D作DM∥AC，交BE于M，
∵DM∥AC，
∴△BMD∽△BEA，
∴＝，
∵AD：DB＝2：1，
∴＝＝＝，
即AE ＝3DM ， ∵CE ：EA ＝2：3， ∴CE ＝2DM ， ∵DM ∥AC ， ∴△DMF ∽△CEF ， ∴
＝
＝
＝，
故答案为：2：1． 9．解：依题意，得：﹣＝3．
故答案为：
﹣
＝3．
10．解：作CD ⊥y 轴于D ，则OB ∥CD ， ∴
＝
，
∵AB ＝BC ， ∴OA ＝OD ， ∴S △OCD ＝S △AOC ∵AB ＝BC ，
∴S △AOB ＝S △OBC ＝2， ∴S △AOC ＝S △AOB +S △OBC ＝4， ∴S △OCD ＝4，
∵反比例函数y ＝的图象经过点C ， ∴S △OCD ＝|k |＝4， ∵在第一象限， ∴k ＝8． 故答案为8．
11．解：∵将抛物线y＝﹣5x2沿x轴对称，
∴得到的抛物线的解析式为：y＝5x2，
∵向左平移5个单位，
∴得到的抛物线的解析式为：y＝5（x+5）2，
∵再向下平移3个单位，
∴新抛物线的解析式为：y＝5（x+5）2﹣3＝5x2+50x+122．
故答案为：y＝5x2+50x+122．
12．解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．
在y＝﹣3x+6中，令x＝0，解得：y＝6，即B的坐标是（0，6）．
令y＝0，解得：x＝2，即A的坐标是（2，0）．
则OB＝6，OA＝2．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAF＝90°，
又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，
∴∠DAF＝∠OBA，
在△OAB和△FDA中，
，
∴△OAB≌△FDA（AAS），
同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，
∴AF＝OB＝EC＝6，DF＝OA＝BE＝2，
故D的坐标是（8，2），C的坐标是（6，8）．代入y＝得：k＝16，则函数的解析式是：y＝．
∴OE＝8，
则C的纵坐标是8，把y＝4代入y＝得：x＝2．即G的坐标是（2，8），∴CG＝4，
∴a＝4．
故答案为4．
三．解答
13．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝DF，
∵∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，
∴△DEG≌△DFG（SAS），
∴∠DGE＝∠DGF．
14．解：（1）由题意得，m+2≠0，（﹣4）2﹣4×（m+2）＞0，
解得，m＜2且m≠﹣2；
（2）∵m＜2，m为正整数，
∴m＝1，
则原方程可化为3x2﹣4x+1＝0，
（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得，x1＝，x2＝1．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCA＝45°，
在△DCE和△BCE中
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴BE＝ED；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠DFO＝∠FGB，∠CFB＝∠FBG，
∵FB＝FG，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴∠DFO＝∠CFB，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDG＝∠CBF，
∴△FDO∽△FBC．
16．解：（1）设一班C等级的人数为x，
则8.76（6+12+x+5）＝6×10+9×12+8x+5×7，
解得：x＝2，
补全一班竞赛成绩统计图如图所示：
（2）a＝9；b＝9；c＝8；d＝10，
故答案为：9，9，8，10．
（3）一班的平均分和二班的平均分都为8.76分，两班平均成绩都一样；一班的中位数9分大于二班的中位数8分，一班成绩比二班好．
综上，一班成绩比二班好．
17．（1）解：如图3，点E即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝AB，
又∵OE＝BC，AB＝OE，
∴BC＝2AB，
△ABC中，AB2+BC2＝AB2+（2AB）2＝5 AB2，AC2＝（AB）2＝5 AB2，∴AB 2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
18．解：（1）∵每件衬衫降价x元，
∴每件衬衫的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
19．解：（1）30÷20%＝150（人），
∴共调查了150名学生．
（2）D：50%×150＝75（人），B：150﹣30﹣75﹣24﹣6＝15（人）
补全条形图如图所示．
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为×360°＝36°．
（3）记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1，N2，4名男生分别为M1，M2，M3，M4，列表如下：
N1N2M1M2M3M4 N1（N1，N2）（N1，M1）（N1，M2）（N1，M3）（N1，M4）
N2（N2，N1）（N2，M1）（N2，M2）（N2，M3）（N2，M4）
M1（M1，N1）（M1，N2）（M1，M2）（M1，M3）（M1，M4）M2（M2，N1）（M2，N2）（M2，M1）（M2，M3）（M2，M4）M3（M3，N1）（M3，N2）（M3，M1）（M3，M2）（M3，M4）M4（M4，N1）（M4，N2）（M4，M1）（M4，M2）（M4，M3）∵共有30种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生的有14种情况，
∴选到同性别学生的概率＝．
20．解：（1）由题意得：U＝IR，则U＝15×0.4＝6，则I＝；
实际意义：电流强度I与总电阻R的乘积是定值，定值为6．
（2）R＝，当I＝0.3时，R＝20，当I＝0.6时，R＝10，
则滑动变阻器的电阻应控制在5﹣15Ω之间；
（3）总电阻扩大到原来的n倍，由I＝知，电流缩小到原来的．
21．（1）解：如图甲：
①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∴①正确．
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴BD⊥CE，∴②正确．
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．
④∵BD⊥CE，
∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，
∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．
故答案为①②③．
（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠BEP＝∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
综上，PB＝或．
②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．
理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝2，
∴PB＝BD+PD＝3+3．
综上所述，PB长的最大值是3+3．
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的
值最小．
理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD＝AE＝4，
∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3﹣3．
22．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，
∴B（4，0），C（0，2），
∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；
（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，
∴∠PMC≠90°，
当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，
∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，
∴P点的横坐标为：2，
此时P（2，2）；
当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），
由PC2+CM2＝PM2得，＝，
解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，
此时P（﹣6，﹣10）；
综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；
（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，
则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，
∵y＝﹣+2，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴Q（1，0），
∴BQ＝4﹣1＝3，
∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，
∴△BQN∽△BCO，
∴，即，
∴QN＝，