19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量教案
19．1 函数
19.1.1 变量与函数
第1课时常量与变量
1．了解常量、变量的概念；
2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)
一、情境导入
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．
二、合作探究
探究点一：常量与变量
【类型一】指出关系式中的常量与变量
t h，指出下列各式中的常量与变
量：
(1)v＝s 8；
(2)s＝45t－2t2；
(3)vt＝100.
解析：根据变量和常量的定义即可解答．
解：(1)常量是8，变量是v，s；
(2)常量是45，2，变量是s，t；
(3)常量是100，变量是v，t.
方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
【类型二】几何图形中动点问题中的常量与变量
如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，
AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．解：由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的
长度为AM＝x cm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影＝1
2
·AM·h＝
1
2
AM2＝
1
2
x2，则y＝
1
2
x2，
0≤x≤10.其中的常量为1
2
，变量为重叠部分的面积y cm2与MA的长度x cm.
方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
探究点二：确定两个变量之间的关系
【类型一】区分实际问题中的常量与变量
(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m与它下落的时间t s的
关系式是h＝1
2
gt2(其中g取9.8m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；
(2)h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；
(3)h＝1
2
gt2(其中g取9.8m/s2)，常量是
1
2
g，变量是h，t；
(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
【类型二】探索规律性问题中的常量与变量
y来表示可
坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)你能写出两个变量之间的关系式吗？
解析：由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4(x－1)＝4x＋2.
解：(1)有2个变量；
(2)能，关系式为y＝4x＋2.
方法总结：解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．
三、板书设计
1．常量与变量
数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．
2．常量与变量的区分
整个教学过程中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．
19.1.1-变量与函数(第2课时)--优质课(人教版教学设计精品)(最新整理)
19.1.1 变量与函数(第2课时) 一、内容和内容解析 1．内容 函数的概念． 2．内容解析 函数是描述运动变化规律的重要数学模型，是联系方程和不等式相关知识及数与形的纽带．函数概念是中学数学的核心概念，它刻画了变化过程中两个变量之间的对应关系，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础． 本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数、一次函数．一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型．研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤(下定义——画图象——观察图象——概括性质)和基本思想(模型思想、数形结合的思想、运动变化和对应思想)，发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力．函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动． 变量y要成为变量x的函数，需满足两个条件：(1)在同一个变化过程中，有两个变量x 和y，一个变量y随着另一个变量x的变化而变化；(2)变量y的值是由变量x的取值唯一确定的．“单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在． 综上所述，本课教学的重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)了解函数的概念． (2)能结合具体实例概括函数的概念． (3)在函数概念形成过程中体会运动变化与对应的思想． 2．目标解析 目标(1)的要求：能在具体实例(包括解析式、表格、图象呈现)中辨别变量之间的关系是否是函数关系，能举出函数的实例． 目标(2)的要求：能观察运动变化的具体实例，分析变量之间的对应关系并发现其单值对应的特征，通过归纳实例中变量之间的单值对应特征概括函数的概念．目标(3)的要求：在函数概念的形成过程中，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想．
19.1.1《变量与函数》反思
19.1.1《变量与函数》教学反思 本节课是八年级学生初步接触函数的入门课，必须让学生准确认识变量与常量的特征，初步感受现实世界各种变量之间相互联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁为简，知道在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系。 函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”；函数的要点是：1 有两个变量，2 一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化，3 一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应；函数的实质是：两个变量之间的对应关系；学习函数的意义是：用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究，有助于函数意义的理解，但是，不可能在一课的学时内真正理解函数的意义，继续布置作业：每个同学列举出几个反映函数关系的实例，培育学生用函数的观念看待现实世界，最后，我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。 在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看，函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的，他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此，变化是函数概念产生的源头，是制约概念学习的关节点，同时也是概念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例，让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化关系，把静止的表达式看动态的变化过程，让他们从原来的常量、代数式、方程式和算式的静态的关系中，逐步过渡到变量、函数这些表示量与量之间的动态的关系上，使学生的认识实现 为了快速明了的引出课题，课前让学生收集一些变化的实例，从学生的生活入手，开门见山，来指明本节课的学习内容。本课的引例较为丰富，但有些内容学生解决较为困难，于是我采取了三种不同的提问方式：1.教师问，学生答； 2.学生自主回答； 3.学生合作交流回答。为了较好的突出重点突破难点，在处理教学活动过程中，让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化，并提出一个量确定时另一个量是否唯一确定的问题，在得出变量和常量概念的同时渗透函数的概念.为了更好的让学生理解变量和常量的意义，由“问题中分别涉及哪些量？哪些量是变化的，哪些量是始终不变的？”一系列问题，在借助生活实例回答的过程中，归纳总结出变量与常量的概念，并能指出具体问题中的变量与常量。函数的概念是把学生由常量数学的学习引入变量数学的学习的过程，学生初步接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义，我设置了以下二个问题：1.在前面研究的每个问题中，都出现了几个变量？它们之间是相互影响，相互制约的。2.在二个变量中，一个量在变化的过程中每取一个值，另一个量有多少个值与它对应？来理解具体实例中二个变量的特殊对应关系，初步理解函数的概念。为了进一步让学生理解“唯一对应”关系，借助函数图像，使学生直观的感受二个变量之间特殊对应关系-----唯一对应。通过这种从实际问题出发的探究方式，使学生体验从具体到抽象的认识过程，及时给出函数的定义。再从抽象转化到实际应用中去，加深学生对函数概念的理解。为了加强学生辨析函数的能力，我准备了一道思考题，Y2=X中对于X的每一个值Y都
变量与函数教案
变量与函数 教学目的： 1．了解常量与变量的意义，能分清实例中的常量与变量； 2．了解自变量与函数的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系式； 3．通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。 教学重点：函数概念的形成过程。 教学难点：理解函数概念。 教学过程： 一、创设情境 问题1:图1是某地一天内的气温变化图.这张图告诉我们哪些信息? 看出回答: （1）这天的6时,10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温. （2）这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少? （3）这一天中,什么时候的气温在逐渐升高?什么时候的气温在逐渐降低? 思考:这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的?
问题2:银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是20XX年7月中国工商银行为”整存整取”的存款方式规定的年利率. 观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的? 问题3:收音机的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对对应的数值: 仔细的观察你能发现什么? 问题4:圆的面积是随着半径增大而增大的.如果用r表示圆的半径,S表示圆面积,则S与r之间满足什么关系?利用这个关系式,试求出半径为 1cm,1.5cm,2cm,2.6cm,3.2cm时圆的面积,并将结果填入下表: 由此你可以得到什么结论? 二、形成概念 （一）变量与常量概念的形成过程 1．举例、归纳 问题1：某地一天内的气温变化图（示图）学生观察气温随时间变化的情况，引出“变量”。 问题2：学生观察随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的过程，加深对变量的认识，引出“常量”。 设问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？ 引导学生观察发现：是量的数值变与不变。 归纳变量与常量的定义并板书。 在其他二个问题中有哪些是变量?哪些是常量?
华东师大版初二下册数学 17.1 变量与函数 教案(教学设计)
17.1 变量与函数(1) 教学目标 1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念. 2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 过程性目标 1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义. 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式. 教学过程 一、创设情境 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1 如图是某地一天内的气温变化图. 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温. (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 解：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃. (2)这一天中，最高气温是5℃,最低气温是－4℃. (3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？ 二、探究归纳 问题2小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重(kg) 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加得较快？ 解：随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加得较快. 问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值： 观察上表回答： (1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系? (2)波长l 越大，频率f 就________. 解： (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即lf ＝300 000，或者说l 300000 f . (2)波长l 越大，频率f 就越小 . 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，则S 与 r 之间满足下列关系：S ＝_________. 利用这个关系式，试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表： 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________. 解： S ＝πr 2. 圆的半径越大，它的面积就越大. 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ，气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable). 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我
2.1.1(一)变量与函数的概念教案
第二章函数 §2.1函数 2.1.1 函数 第1课时变量与函数的概念 【学习要求】 1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻 画函数概念中的作用． 2.了解构成函数的三要素． 3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合． 【学法指导】 通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域. 2.区间概念：设a，b∈R，且a 第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法 4．1.1 变量与函数 1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点) 3．确定简单问题的函数关系．(难点) 一、情境导入 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究 探究点一：常量与变量 分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之 间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12 gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w . 解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量． 解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变 量是S ，R ； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之 间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12 g ，变量是h ，t ； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w . 19.1.1变量与函数（第2课时） 教学目标： 1、知识与技能：了解函数概念并能结合具体实例概括函数概念。 2、过程与方法：在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找变量并判断两个变量之间 是否满足函数关系的过程。 3、情感态度与价值观：通过列举学生身边的事例，激发学生探究问题的兴趣；在函数概念 的形成过程中体会运动变化与对应的思想。 教学重点、难点： 1、教学重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系。 2、教学难点：对函数概念中的“单值对应”含义的理解。 教学方法：创设情境－激发诱导－合作建构－应用提高． 教学过程： 一、情境引入： 那么，在实际问题中变量之间又存在着什么样的关系呢？下面，我们来共同分析几组实际问题。 二、探究问题，形成概念： 问题1：下面变化过程中,有几个变量？其中一个变量的变化是怎么影响另一个量的变化的？ （1）汽车以30 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t（h），行驶的路程为s（km） 教师引导学生共同总结：在这个变化过程中，存在两个变量s与t，s随t的变化而变化追问：s是怎样随着t的具体变化而变化呢？能用数值加以说明吗？ ①填写下表 ②用含t的代数式表示s___________ 教师引导学生共同总结：在这个变化过程中，存在两个变量s与t，s随t的变化而变化，给定一个t值，s有唯一确定的值与之对应。 再设问题，类比上述分析过程，学生自己分析以下变化过程中变量之间的关系： （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出x张票，票房收入为y 元； （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为r ，面积为S ； （4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为a ，它的邻边长为b． 师问：能用自己的语言说说这些问题中变量之间关系的共同特点吗？试上试！ 学生思考后找代表回答，最后师生共同归纳：变化过程中有两个变量，当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一一确定的值与之对应。 问题2：下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x 和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y 吗？ 师问：在这个表格中你都能获知什么信息？在这两个变量中，是哪一个量随哪一个量的变化而变化？两个变量之间的对应关系是否与上面4个问题中对应关系的共同特征一致？ 问题3：如图是北京某天的气温变化图，你能说出某时刻的气温吗? 温度T( C) 变量 在将变量前，先解释一下声明和定义这两个概念。声明一个变量意味着向编译器描述变量的类型，但并不为变量分配存储空间。定义一个变量意味着在声明变量的同时还要为变量分配存储空间。在定义一个变量的同时还可以对变量进行初始化。 局部变量通常只定义不声明，而全局变量多在源文件中定义，在头文件中声明。 局部变量 在一个函数的内部定义的变量是内部变量，它只在本函数范围内有效。自动变量auto 函数中的局部变量，其缺省格式是自动变量类型。例如，在函数体中int b, c=3。和auto int b, c=3。是等价的。 自动变量是动态分配存储空间的，函数结束后就释放。自动变量如不赋初值，则它的值是一个不确定的值。 静态局部变量static 静态局部变量是指在函数体内声明和定义的局部变量，它仅供本函数使用，即其他函数不能调用它。静态局部变量的值在函数调用结束后不消失而保留原值，即其占用的存储单元不释放，在下一次函数调用时，该变量已有值，就是上一次函数调用结束时的值。 静态局部变量在静态存储区分配存储单元，在程序的整个运行期间都不释放。静态局部变量是在编译时赋初值的，即只赋初值一次。 在SDT编译器中，建议对静态局部变量赋初值，否则该静态局部变量的初值为不确定值。在其他编译器中，未初始化的静态局部变量的初值可能为零，这由具体的编译器所决定，使用前最好测试一下。 寄存器变量register 带register修饰符的变量暗示（仅仅是暗示而不是命令）编译程序本变量将被频繁使用，如果可能的话，应将其保留在CPU的寄存器中，以加快其存取速度。 对于现有的大多数编译程序，最好不要使用register修饰符。因为它是对早期低效的C编译程序的一个很有价值的补充。随着编译程序技术的进步，在决定哪些变量应当被存到寄存器中时，现在的C编译程序能比程序员做出更好的决定。 全局变量 在函数之外定义的变量称为外部变量，外部变量是全局变量，它可以为本文件中其他函数所共用。全局变量都是静态存储方式，都是在编译时分配内存，但是作用范围有所不同。 静态外部变量static 静态外部变量只能在本文件中使用。所以静态外部变量应该在当前源文件中声明和定义。 外部变量extern 定义函数中的全局变量时，其缺省格式是外部变量类型。外部变量应该在一个头文件中声明，在当前源文件中定义。外部变量允许其他文件引用。 第二课时变量与函数 教学目标： 1、知识与技能：使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。 2、过程与方法：会由自变量的值求函数值。 3、情感态度与价值观：经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维的能力，感悟运动变化的观点。 教学重、难点： 1、重点：在具体情景中分清哪个是变量，哪个是自变量，谁是谁的函数。 2、难点：会由自变量的值求出函数的值。 教学过程 一、复习 1．填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。 2．如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式． 3．如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N 点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式． 二、求函数自变量的取值范围 1．实际问题中的自变量取值范围 问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制? 问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。 从右边的分析可以看出，第n排的排数座位数 座位 l 18 一方面可以用18＋(n－1)表 2 18＋1 3 18＋2 示，另一方面可以用m表示，所以…… m＝18＋(n－1) n 18＋(n－1) 课题：19.1.1《变量与函数》 教 学 设 计 一、教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 掌握函数的概念，初步理解对应的思想，能正确地判断 一些关系式是否是函数，能列出简单的函数关系式． 数学思考 通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，并在 此基础上理解掌握函数的概念． 解决问题 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 情感态度 学生通过对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性， 体会事物之间的相互联系与制约． 教学重点 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 教学难点 领悟函数概念；能把实际问题抽象概括为函数问题． 教学方法 探究发现、启发式教学． 教学手段 多媒体辅助教学． 二、教学准备 课件、学案、笔记本电脑、焟烛、网络等 三、教学流程 四、教学过程 1、导入新课 （1）复习变量、常量的概念； （2）利用网络，了解当日天气情况。进入“南康整点天气实况”， 导入新课 思考 概念详解 探究 拓展延伸 例题讲解 小结提高 课堂巩固 课后思考 从气温、湿度、风向风力和降水量等几个方面了解变化关系。 时间/h 9 11 13 15 …… 气温/0C …… （3）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶里程为S千米，行驶时间为t 时，其中变量是．用含t的式子表示S：． 共同特征：1．两个变量；２．当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的对应值. 2、思考： （1）.下图是体检时的心电 图，其中图上点的横坐标x 表 示时间，纵坐标y 表示心脏 部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？x y 17.1.1变量与函数 知识技能目标 1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念； 2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 过程性目标 1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义； 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式. 教学过程 一、创设情境 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1如图是某地一天内的气温变化图. 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温. (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃； (2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃； (3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？ 二、探究归纳 问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表： 观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？ 解随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快. 问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值： 观察上表回答： (1)波长l和频率f数值之间有什么关系? (2)波长l越大，频率f就________. 解(1) l 与f的乘积是一个定值，即 lf＝ 或者说 (2)波长 问题4 S与r之间满 时圆的面积，并将结果填入下表： 解S＝ 圆的半径越大，它的面积就越大. 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable). 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量 课题：19.1.2《变量与函数》 教 学 设 计 授课人：南康六中任善龙 一、教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 掌握函数的概念，初步理解对应的思想，能正确地判断一些关系式是否是函数，能列出简单的函数关系式． 数学思考 通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，并在此基础上理解掌握函数的概念． 解决问题 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 情感态度 学生通过对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约． 教学重点 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 教学难点 领悟函数概念；能把实际问题抽象概括为函数问题． 教学方法 探究发现、启发式教学． 教学手段 多媒体辅助教学． 二、教学准备 课件、学案、笔记本电脑、焟烛、网络等 三、教学流程 四、教学过程 1、导入新课 （1）复习变量、常量的概念； （2）利用网络，了解当日天气情况。进入“南康整点天气实况”，从气温、湿度、风向风力和降水量等几个方面了解变化关系。 时间/h 9 11 13 15 …… 气温/0C …… （3）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶里程为S 千米，行驶时间为t 时，其中变量是 ．用含t 的式子表示S ： ． 导入新课 思考 概念详解 探究 拓展延伸 例题讲解 小结提高 课堂巩固 课后思考 共同特征：1．两个变量；２．当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就 有唯一确定的对应值. 2、思考： （1）.下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于 x 的 每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？ （2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量 x 与 y ，对于表中每一个确定的年份(x )，都对应着一个确定的人口数(y )吗？ 3、概念详解 （1）函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量 ， y 是 x 的函数. 问学生对这个概念的理解要注意哪几个方面？ （2）如果y 是x 的函数, 当x =a 时y =b ，那么b 叫做当自变量x 的值为a 时y 的函数值。 （3）概念辨析： 1）指出下列变化关系中，哪些是y 关于x 的函数，哪些不是y 关于x 的函数？①xy=8；② x2+y2=8；③ x+y=4；④ |y|=x+2；⑤ y=3x2-8x+6． 2）.下面两个图中的曲线是表示y 关于x 的函数吗？ 中国人口数统计表 年 份 人口数/亿 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 x y y x （1） y x （2） 19．1 函 数 19.1.1 变量与函数 第1课时 常量与变量 1．了解常量、变量的概念； 2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点) 一、情境导入 大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？ 数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化． 二、合作探究 探究点一：常量与变量 【类型一】 指出关系式中的常量与变量 设路程为s km ，速度为v km/h ，时 间为t h ，指出下列各式中的常量与变量： (1)v ＝s 8 ； (2)s ＝45t －2t 2； (3)v t ＝100. 解析：根据变量和常量的定义即可解答． 解：(1)常量是8，变量是v ，s ； (2)常量是45，2，变量是s ，t ； (3)常量是100，变量是v ，t . 方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 【类型二】 几何图形中动点问题中的常量与变量 如图，等腰直角三角形ABC 的直 角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量． 解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量． 解：由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2，0≤x ≤10.其中的常量为1 2，变量为重叠部分的面积 y cm 2与MA 的长度x cm. 方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别． 探究点二：确定两个变量之间的关系 变量与函数 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义. 4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 要点二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. 要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义； （3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否 都有唯一确定的值与它相对应. （4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量x 的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变 量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 要点三、函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数 不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值. 要点诠释： 对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对 课题：19.1.1变量与函数 教学目标： 1.结合丰富的实例，让学生在具体情境中了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量。 2.感受变量常量是刻画现实生活中许多事物变化过程的一种重要的数学工具，体会数形结合的思想。 3.会列出事物变化过程中,变量与常量的简单关系式。 教学重点：认识常量、变量，会用式子表示变量间的关系 教学难点：用含一个变量的式子表示另一个变量 教学准备：多媒体 教学过程： 一、课堂激趣，引入课题 多媒体欣赏图片，反映两个变量间的变化问题，引入新课，出示学习目标。 二、自主学习 （一）独立思考完成下列问题，要求通过计算体会变量间的变化关系，并用式子表示 问题1 汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时。 1 2．在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________。 3.路程s可以用时间t表示为：s= 。 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程__ __随行驶时间__ _的变化过程．仿照问题1，学生两人小组完成下列问题的自主学习。 要求：通过计算观察比较数量之间是否存在变化，并用式子表示问题中满足的数量关系。 问题2 每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．票房收入y 随x的变化而变化吗？ 问题3 圆的半径r分别为10cm、20cm、30cm时，圆的面积s分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗？ 问题4 用10 m 长的绳子围成矩形，矩形的一边长x分别为3m，3.5m,4m,4.5m时，邻边y的长 变量与函数教学设计 一、课程说明 函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了变量之间存在这某种具体的联系。是研究这种在变化中各个变量的关系的非常重要的工具。在数学中扮演可十分重要的角色。这种关系表现在变量之间的对应关系上，函数正是描述了这种关系，使得看似变化没有规律的一些量之间互相关联。以便我们发现生活中变化事物的规律并寻求方法去解决它。 这些变化通常都具有一些特点： 1.世界在不断的变化，变化的世界中存在很多变化的量。 2.在同一种变化之中，各个量的变化并不是孤立的，而是通过某种规律相互联系在一起。 3.在这些量的变化过程中，有一些量的变化受到另外一个量变化的制约，也就是说，一个 量的变化是随着另外一个量的变化而变化。 基于以上分析，本课程才从实际生活中的一些常见例子入手，来寻找这种相关联的变化。 二、课程内容 本教学内容来源于人教版初中数学义务教育课程标准实验教材八年级下册第十九章《一次函数》第一节内容《变量与函数》。本节课的内容为：变量与函数，主要讲解了变量与常量及函数的概念。本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系。课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子。从生活中的实际问题入手，寓教于乐，真正把实际生活中的数学和书本中的数学有机结合在一起来。 三、学情分析 “变量与函数”同学们初次接触到，学习抽象的知识难免有些难以理解，特别是定义中“唯一确定”的准确含义。学生在日常生活中也接触过两个变量的关系等生活实例。在本节教学中，从学生较为熟悉的生活实例入手，引领学生认识变量和函数的意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念。 四、教案设计 14.1变量与函数 教学目标： 1、引导学生在探索生活情境中的数量关系和变化规律的过程中，自主建构常量和变量的概念、函数的定义，渗透函数的三种表示方法。 2、引导学生通过对比、总结两个变量之间的关系，从而理解函数概念的实质，体验函数是研究运动变化的重要数学模型。 3 培养学生观察、比较、分析、总结、概况的能力和良好的合作学习品质。 教学重点：函数的概念。 教学难点：函数概念的形成过程。 教学过程： 一、设置情境，激发探求兴趣 （课前）投影一组运动变化的图片——感受变化的世界。 在前面我们都是用定量的方法研究客观的世界。但是在生活中啊，我们经常会遇到一个量随着另一个量的变化而变化的问题，比如我们同学的身高随——年龄而变化，一天中的气温随着时间的变化而变化，圆的半径如果发生变化它的周长和面积也发生了变化……从这节课开始，我们将走进一个变量的世界，一起来探究它的奥秘。——板书课题：变量 二、实例探究，学习常量、变量的概念 1、我们还是从大家比较熟悉的行程问题开始分析研究 （投影）实例1：一辆汽车以60千米/时的速度在公路上行驶，行驶的时间为t小时，行驶的路程为s千米．请根据题意填表，再用含t的式子表示s。 （指着表格）当t的值继续变化时，s会怎样？——s会随着t的值变化而变化。——这就是一个变化的过程。 那么，这个变化过程我们用一个式子来表示——s=60t 小结：这个问题反映了________随_________的变化过程。 在这个变化过程中涉及到哪几个量？数值始终不变的量是什么？数值发生变化的量是哪些？ 2、（幻灯片出示） 我们生活中还有很多的例子，比如说物理中的弹簧称的问题，圆面积的问题。 你能用像刚才分析问题的方法，先列式，然后对提出的问题进行讨论吗？实例2：如果弹簧原长10cm，每悬挂1千克重物使弹簧伸长0.5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为ιcm,怎样用含m的式子表示ι？ 第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法 4．1.1 变量与函数 1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点) 3．确定简单问题的函数关系．(难点) 一、情境导入 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究 探究点一：常量与变量 分析并指出下列关系中的变量与 常量： (1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝1 2 gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w . 解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量． 解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w . 方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化． 探究点二：函数的定义 下列说法中正确的是( ) A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数 B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数 C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数 D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数 解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x 3 ；B 中y ＝－x 2－1， 集体备课导学案 授课人：2009-9-27 科目集体研讨主持人教案序号集体研讨与 个案补充 课题14.1变量与函数（2）课型新课时 形式个人备课 导学活动过程教学目标： 知识与能力： （1）探索具体问题中的数量关系和变化规律． （2）从具体的事例了解常量、变量的意义． （3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义． 过程与方法：在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．情感态度与价值观：通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣． 教学重难点及教学突破： （1）从具体的事例了解常量、变量的意义． （2）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义． 教学设计过程 活动一、设置问题情境、激发学生的学习兴趣和学习欲望 问题 在抗震救灾募捐活动中，某班有学生44人，若每人捐款10元，共捐多少？若每人捐款15元呢？20元呢？ 得出结论：捐款总数随着人数的变化而变化． 其实生活中还有很多类似的现象． 活动二、探究具体问题的数量关系，感受变量和常量的含义 我们生活之中常常会遇见许多数量，这些数量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例（大屏幕显示）． 1．一辆汽车以60 km / h的速度行驶，行驶的路程s（千米）和行驶的时间t（小时）有怎样的关系?先填写下表，再试着用含的式子表示。 (小时) 1 2 3 4 5 (千米) 学生回答：s = 60 t（板书）． 2．用10cm长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值。计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为cm，面积为S，怎样用含的式子表示S？八年级数学下册变量与函数教案新版湘教版
19.1.1变量与函数第二课时 (2)
C语言中变量和函数的声明与定义
华师大版八年级下册数学教案 第二课时 变量与函数
《变量与函数》教学设计
17.1.1变量与函数
变量与函数教学设计
常量与变量 公开课教案
变量与函数 知识讲解
变量与函数优秀教案
人教版八年级下19.1.1变量与函数教学设计2
变量与函数教案
《变量与函数》教案 湘教版
数学：141变量与函数(第2课时)导学案(人教新课标八年级上)