2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练

[A 级基础达标]

1．[xx·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2

－y 24＝1

B.x 24－y 2

＝1 C ．y 2－x 2

4＝1

D.y 2

－x 2

＝1 答案 D

解析由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 2

4－x 2

＝0，

即y ＝±2x .

2．[xx·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离

心率为( )

73 B.54 C.43 D.53

答案 D

解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43

，

又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2

＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53

.故选D.

3．[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x

轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )

A.13

B.12

C.23

D.32 答案 D

解析因为F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3＝1的右焦点，所以F (2,0)．

因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P

3＝1，解得y P ＝±3，

所以P (2，±3)，|PF |＝3.

又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3

.故选D.

4．[xx·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

，且其右焦点为F 2(5,0)，则

双曲线C 的方程为( )

A.x 24－y 2

＝1

B.x 29－y 2

＝1

C.x 216－y 2

9＝1 D.x 23－y 2

＝1 答案 C

解析因为双曲线C 的右焦点为F 2(5,0)，所以c ＝5.因为离心率e ＝c a ＝5

，所以a ＝4.

又a 2

＋b 2

＝c 2

，所以b 2

＝9. 故双曲线C 的方程为x 216－y 2

＝1.

5．P 为双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率

的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞)

答案 B

解析如图，由题意可知???

4a ＋2a >2c ，

∴1

当P 在x 轴上时，4a ＋2a ＝2c ， ∴e ＝3. 综合e ∈(1,3]．

6．已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的

直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π

，则双曲线的渐近线方程为________．

答案 y ＝±2x

解析根据已知可得，|PF 1|＝2b

a 且|PF 2|＝

b 2a ，故2b 2a －b 2

a ＝2a ，所以

b 2a 2＝2，b

＝2，双

曲线的渐近线方程为y ＝±2x .

7．[xx·海口调研]已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为

双曲线左支上的任意一点，且|PF 2|＝2|PF 1|，若△PF 1F 2为等腰三角形，则双曲线的离心率为

________．

答案 2

解析 ∵|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2|PF 1|，∴|PF 2|＝4a ，|PF 1|＝2a ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 1F 2|，即4a ＝2c ，∴c a

＝2.

8．[xx·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所

在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.

答案 2

解析由OA ，OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2

－y 2

＝a 2

.OB 是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2

＝2a 2

可得a ＝2.

9．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，

焦点到渐近线的距离为 3.

(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝3

x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →

＝tOD →

，求t 的值及点D 的坐标．

解 (1)由题意知a ＝23，

又∵一条渐近线为y ＝b a

x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |

b 2＋a 2

＝ 3.

∴b 2

＝3，∴双曲线的方程为

x 2

－y 2

＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.

将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 2

12－y 2

3＝1得x 2

－163x ＋84＝0，

则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝

(x 1＋x 2)－4＝12. ∴?????

x 0y 0＝433，x 2

12－y 20

3＝1，

∴??

x 0＝43，y 0＝3，

∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．

10．[xx·广西模拟]已知双曲线方程2x 2

－y 2

＝2. (1)求以A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

(2)求过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2

的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解 (1)由2·22

－12

＝7>2可知点A 在双曲线内部(含焦点的区域内)，设以A (2,1)为中点的弦两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由对称性知x 1≠x 2.

∵P 1、P 2在双曲线上，

∴?

????

2x 2

1－y 2

1＝2，2x 22－y 2

2＝2，两式相减得

2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.∴

y 1－y 2

x 1－x 2

＝4. 所求中点弦所在直线方程为

y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.

(2)由2·12

－12

＝1<2知B (1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间)．

可假定直线l 存在，采用(1)的方法求出l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

联立方程组???

2x 2

－y 2

＝2，

2x －y －1＝0，

消y ，得2x 2

－4x ＋3＝0.

∵Δ＝(－4)2

－4×2×3＝－8<0，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．

[B 级知能提升]

1．[xx·天津高考]已知双曲线x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近

线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.

x 212－y 2

＝1 C.x 2

3－y 2

＝1 D ．x 2

－y 2

＝1

答案 D

解析根据题意画出草图如图所示?

??不妨设点A 在渐近线y ＝b

x 上.

由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a

x 上，

∴b a

＝tan60°＝ 3. 又a 2

＋b 2

＝4， ∴a ＝1，b ＝3，

∴双曲线的方程为x 2

－y 2

＝1.故选D.

2．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )

A.x 3－y 2

6＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 2

3＝1 D.x 25－y 2

＝1 答案 B

解析由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，

y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则有????

x 21a 2－y 21

2＝1，x 2

2a 2

－y

22b 2

＝1，

两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得

y 1－y 2

x 1－x 2

＝4b 2

5a 2，从而4b 2

2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2

＝5，故选B. 3．[xx·武汉模拟]过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的直线与双曲线相交于A ，

B 两点，当AB ⊥x 轴，称|AB |为双曲线的通径．若过焦点F 的所有焦点弦AB 中，其长度的最

小值为2b

，则此双曲线的离心率的范围为( )

A ．(1，2)

B ．(1，2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

答案 B

解析当经过焦点F 的直线与双曲线的交点在同一支上，可得双曲线的通径最小，令x ＝c ，可得y ＝±b

c 2a 2－1＝±b 2a ，即有最小值为2b 2

；当直线与双曲线的交点在两支上，可得直线的斜率为0时，即为实轴，最小为2a . 由题意可得2a ≥2b

，

即为a 2≥b 2＝c 2－a 2

，即有c ≤2a ，

则离心率e ＝c a

∈(1，2]．

4．[xx·承德模拟]已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .

(1)求W 的方程；

(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →

·OB →

的最小值．

解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.

又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2

－a 2

＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 2

＝1(x ≥2)．

(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，

从而OA →

·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2

1－y 2

1＝2.

当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去

y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，

则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2

＋2

k 2

－1

，所以OA →

·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2

)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2

＝

＋k

m 2＋

k 2－1

＋2k 2m 2

1－k

2＋m 2

＝2k 2

＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2

－1>0.

所以OA →·OB →

>2.

综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →

取得最小值2.

5．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2

2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线

的距离为1.

(1)求双曲线Γ的方程；

(2)过点P 作两条相互垂直的直线PA ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线

AB 距离的最大值．

解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1

2＝1.

不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |

a 2＋b

＝b ，∴b ＝1，a

＝2，

∴所求双曲线的方程为x 2

－y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2

－2y 2

＝2中，

整理得(2k 2

－1)x 2

＋4kmx ＋2m 2

＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km

2k 2－1，①

x 1x 2＝2m 2

＋22k 2－1.②

∵PA →·PB →＝0，

∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0，∴(k 2

＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2

－2m ＋5＝0.③

将①②代入③，得m 2

＋8km ＋12k 2

＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ?AB ，∴m ＝－6k －3，

从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3. 将y ＝kx －6k －3代入x 2

－2y 2

－2＝0中，判别式Δ＝8(34k 2

＋36k ＋10)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线．

∴P 到AB 的距离d ＝|2k －6k －3－1|1＋k 2＝4|k ＋1|

k 2

＋1

. ∵? ??

??d 42＝k 2

＋1＋2k k 2

＋1＝1＋2k k 2＋1≤2.

∴d ≤42，即点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.

2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲抛物线知能训

练轻松闯关文北师大版

1．(xx·合肥质量检测)抛物线x 2

＝12

y 的焦点坐标为( )

A.? ????12，0

B.? ????0，12

C.? ????18，0

D.? ??

??0，18 解析：选D.抛物线x 2

＝12y 的焦点坐标是? ??

??0，18.

2．若抛物线y 2

＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )

22 B.

24 C.12 D.14 解析：选B.由题意知，抛物线准线方程为x ＝－1

设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，

点M 到准线的距离为3

，

所以a ＝1，代入抛物线方程y 2

＝2x ，解得b ＝±2，

所以S △MFO ＝12×12×2＝2

3．若抛物线y 2

＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( )

A.? ????14

，±22 B.? ????14，±1

C.? ????12

，±22 D.? ????12，±1

解析：选A.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF

的中点，所以x P ＝14，代入y 2

＝2x ，得y P ＝±22，所以P ? ????14，±22.

4．直线l 过抛物线y 2

＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )

A ．y 2＝12x

B ．y 2

＝－8x

C ．y 2＝6x

D ．y 2

＝－4x

解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.

5．(xx·云南省第一次检测)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经

过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，如果OA →·OB →

＝－12，那么抛物线C 的方程为( )

A ．x 2＝8y

B ．x 2

＝4y

C ．y 2＝8x

D ．y 2

＝4x

解析：选C.由题意，设抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p

，联立得y 2

－2pmy

－p 2

＝0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝?

????my 1＋p 2? ????my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2

y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)

＋p 24＋y 1y 2＝－34

p 2＝－12?p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2

＝8x . 6．(xx·衡水调研)已知等边△ABF 的顶点F 是抛物线C 1：y 2

＝2px (p ＞0)的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上且AB ⊥l ，则点A 的位置( ) A ．在C 1开口内 B ．在C 1上 C ．在C 1开口外 D ．与p 值有关解析：选B.设B ? ??

－p

2，m ，由已知有AB 中点的横坐标为p

2，

则A ? ????3p 2，m ，△ABF 是边长|AB |＝2p 的等边三角形，即|AF |＝

? ??

??3p 2－p 22

＋m 2＝2p ，

所以p 2

＋m 2

＝4p 2

，

所以m ＝±3p ，

所以A ? ??

??3p 2，±3p ，代入y 2

＝2px 中，得点A 在抛物线上，故选B.

7．(xx·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．

解析：设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2

＝my ，得m ＝－8.

所以抛物线方程是x 2

＝－8y .

答案：x 2

＝－8y

8．(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线方程为x 2

＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，

将其坐标代入x 2

＝－2py ，得p ＝1.

所以x 2

＝－2y .

当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，

将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 2

0＝6，所以x 0＝ 6.

所以水面宽|CD |＝2 6 m. 答案：2 6

9．(xx·南昌质检)已知抛物线y 2

＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3，2)，则|PA |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．

解析：将x ＝3代入抛物线方程y 2

＝2x ，

得y ＝± 6.

因为6>2，所以A 在抛物线内部．

如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1

2的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当

PA ⊥l 时，|PA |＋d 有最小值，最小值为7

，

即|PA |＋|PF |的最小值为72

，此时点P 的纵坐标为2，代入y 2

＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐

标为(2，2)．答案：(2，2)

10．(xx·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物

线的准线与双曲线5x 2－y 2

＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．

解析：由双曲线方程5x 2－y 2

＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为

y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p

，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则

不妨令A ? ????－p 2，52p ，B ? ????－p 2

，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2

＝16，

又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2

＝8x .

答案：y 2

＝8x

11．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；

(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2

＝2px 的准线为x ＝－p

2，

于是4＋p

＝5，

所以p ＝2.

所以抛物线方程为y 2

＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0， 2)．

又因为F (1，0)，所以k FA ＝4

3，

因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－3

又FA 的方程为y ＝4

3(x －1)，①

MN 的方程为y －2＝－3

4x ，②

联立①②，解得x ＝85，y ＝4

5，

所以点N 的坐标为? ??

??85，45.

1．已知抛物线x 2

＝2y ，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．

解析：由x 2

＝2y ，得y ＝12

x 2，

所以y ′＝x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

所以抛物线在P ，Q 两点处的切线的斜率分别为x 1，x 2，

所以过点P 的抛物线的切线方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又x 2

1＝2y 1，

所以切线方程为y ＝x 1x －x 212，同理可得过点Q 的切线方程为y ＝x 2x －x 22

2，

两切线方程联立解得?

???

?x A ＝x 1＋x 2

，

y A ＝x 1x 2

又抛物线焦点F 的坐标为? ??

??0，12，易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝mx ＋12，由???

??y ＝mx ＋12，

x 2＝2y ，

得x 2－2mx －1＝0，所以x 1x 2＝－1，所以y A ＝－1

答案：－1

2．已知圆C 过定点F ? ??

??－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点． (1)求曲线E 的方程；

(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．

解：(1)由题意，点C 到定点F ? ??

??－14，0和直线x ＝14的距离相等，故点C 的轨迹E 的方程为y 2

＝－x .

(2)由方程组????

?y 2

＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，

整理得ky 2

＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1

，y 1y 2＝－1.

设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)．所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋1

2|ON ||y 2|，＝1

2|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2

－4y 1y 2 ＝12

? ??

??1k 2

＋4. 因为S △OAB ＝10，

所以12

? ??

??1k 2

＋4＝10，解得k ＝±1

3．(xx·石家庄一模)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点? ??

??12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；

(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为 (x －1)2＋y 2

＝1，求△PBC 面积的最小值．

解：(1)由题意可知圆心到? ??

??12，0的距离等于到直线x ＝－12的距离，由抛物线的定义可知圆心的轨迹方程为y 2

＝2x . (2)设P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )，直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0，又圆心(1，0)到PB 的距离为1， |y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋x 2

＝1，整理得(x 0－2)b 2

＋2y 0b －x 0＝0，同理可得(x 0－2)c 2

＋2y 0c －x 0＝0，

所以b ，c 是方程(x 0－2)x 2

＋2y 0x －x 0＝0的两根，

所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0

x 0－2

，

依题意得bc <0，即x 0>2，

则(b －c )2

＝4x 20＋4y 2

0－8x 0（x 0－2）

2，

因为y 2

0＝2x 0，

所以|b －c |＝?????

?2x 0x 0－2，

所以S ＝12|b －c ||x 0|＝(x 0－2)＋4

（x 0－2）

＋4≥8，

当x 0＝4时，不等式等号成立，所以△PBC 面积的最小值为8.

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条技巧归纳总结

高考数学双曲线

第51讲双曲线 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R

3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH 是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形． (2)如下图： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为????c ，b 2 a ，即||FP 1＝||FP 2＝b 2 a . 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (3)方程x 2m －y 2 n ＝ 1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝ 0.( √ ) 解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线． (3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．

第八章第六节双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)

[课时作业·巩固练习] 实战演练夯基提能 [A 组基础保分练] 1．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是( ) A ．x 2－ y 2 3 ＝1 B ．y 2－ x 2 3 ＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2 解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D 2．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1，即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 答案：C 3．已知双曲线 x 2－ y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 解析：由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1 3 |PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝1 2|PF 1|·|PF 2|＝24. 答案：B 4．(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2

分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA → ＝λPF 1→ ，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．与λ的取值有关解析：由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3. 答案：A 5．(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2或 3 B ．2或23 3 C.233 D ．2 解析：双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则有b a ＝tan π3＝3，因为e 2 ＝c 2a 2＝1＋b 2 a 2＝1 ＋3＝4，所以双曲线C 的离心率为2，故选D. 答案：D 6．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π 3 ，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为________．解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2 是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3.又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2.又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π 3＝23，所以b 2＝2，则该双曲线的虚轴长为2 2. 答案：2 2 7．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解析：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2 ＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0.图1

高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

高考数学双曲线

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》双曲线 1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a 2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 概念方法微思考

1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． 2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0. 3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0b >0时，10时， e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0 2. 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22 ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ ) 题组二教材改编 2．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，