七下第七章《平面图形的认识(二)》特优生拓展训练(2(有答案)

七下第七章《平面图形的认识（二）》特优生拓展训练（2）

姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1.下列第一行所示的四个图形，每个图形均是由四种简单的图形a、b、c、d(圆、直

线、三角形、长方形)中的两种组成．例如由a、b组成的图形记作a⊙b，那么由此可知，下列第二行的图中可以记作a⊙d的是()

A. B. C. D.

2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D，E是AC上的两点，且AE=DE，BD平分

∠EBC，那么下列说法中不正确的是()

A. BE是△ABD的中线

B. BD是△BCE的角平分线

C. ∠1=∠2=∠3

D. BC是△ABE的高

3.设a，b，c均为正整数，且a≥b≥c，满足a+b+c=15，则以a，b，c为边长

的三角形有()

A. 5个

B. 7个

C. 10个

D. 12个

4.已知线段AC=3，BC=2，则线段AB的长度()

A. 一定是5

B. 一定是1

C. 一定是5或1

D. 以上都不对

5.一个正多边形它的一个外角等于与它不相邻的内角的1

，则这个多边形是()

4

A. 正十二边形

B. 正十边形

C. 正八边形

D. 正六边形

6.如图，直线AB//CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于()

A. 132°

B. 134°

C. 136°

D. 138°

7.同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为()

A. 0个或1个

B. 1个或2个

C. 2个或3个

D. 0个或1个或2个或3个

8.三角形的两边分别为3和5，则三角形周长y的范围是()

A. 2

B. 10

C. 10

D. 无法确定

9.如图，图1是AD//BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠

并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=18°，则图2中∠AEF的度数为()

A. 1200

B. 1080

C. 1260

D. 1140

10.如图，长方形ABCD中，AB=6，第1次平移将长方形ABCD沿AB的方向向右平

移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2，…，以此类推，第n次平移将长方形

A n?1

B n?1

C n?1

D n?1沿A n?1B n?1的方向向右平移5个单，得到长方形A n B n?n D n(n>

2)，则AB n长为()

A. 5n+6

B. 5n+1

C. 5n+4

D. 5n+3

二、填空题

11.如图，∠A=32°，则∠B+∠C+∠D+∠E=°.

12.如图，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，

则∠GHM的大小是_________．

13.一个人从点O出发，每前进1m就向右转a°，照这样走下去，如果它恰好能回到点

O，且所走的路线最短，则a的值为__________．

14.已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如

图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点

G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图中的△

DEF绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在

旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为

______ s.

15.如图，∠CAB为锐角，AB=m，点P在射线AC上，点B

到射线AC的距离a，BP=x，若△ABP的形状、大小是

唯一确定的，则x的取值范围是___________．

16.已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A是∠B的3倍少

36°，则∠B的度数为________．

三、解答题

17.阅读下列材料：

已知：如图1，直线AB//CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED.

求证：∠BED=∠B+∠D.小冰是这样做的：证明：过点E作EF//AB，则有∠BEF=∠B.∵AB//CD，∴EF//CD.∴∠FED=∠D.∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D.图1即∠BED=∠B+∠D．

请利用材料中的结论，完成下面的问题：

已知：直线AB//CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．

(1)如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G.猜想∠G的度数，并证明你的猜想；

(2)如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交

于点G1和G2.求证：∠FG1E+∠G2=180°．

18.如图，AB//CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从

所得到的关系(3)、(4)中任选一个加以说明。

19.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安

置了两座可旋转探照灯.如图①，灯A的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a0/秒，灯B转动的速度是b0/秒，且a、b满足|a?3b|+(a+b?4)2=

0.假定主道路是平行的(即PQ//MN)，且∠BAN=45°．

(1)求a、b的值．

(2)若灯B的光束先转动20秒，灯A的光束才开始转动，在灯B的光束到达BQ之

前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图②，两灯同时转动，在灯A的光束到达AN之前，若射出的光束交于点C，

过点C作CD丄AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

20.已知HD//GE，点A、C分别在直线上．

(1)如图1，请直接写出∠BCE、∠ABC、∠BAD三个角满足的数量关系______．

(2)如图2，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，交于点F，探索∠B与∠F的数量关系

并予以证明．

(3)在图3中完成作图并填空：分别作∠ABC与∠BCE的角平分线，交于点M，过点

B作BN//CM，设∠BAD=m°，请直接写出∠NBM的度数(用含m的式子表示

)______．

21.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．

(1)如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；

(2)如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．

①求证：BF//OD；

②若∠F=40°，求∠BAC的度数．

22.如图所示为一张长方形纸片．

(1)如图甲所示，将长方形纸片任意剪两刀，得到的∠4+∠E+∠C等于多少度?

(2)如图乙所示，将长方形纸片任意剪三刀，得到的∠A+∠E+∠F+∠C等于多少

度?

(3)照以上剪法，剪出5个角，其和是多少度?剪出n个角呢?请找出其中的规律．23.已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、

∠CDB的平分线．

(1)如图1，若点C在OA上，且FD//AO，求证：DE⊥AO；

(2)如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO=∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB

之间的数量关系，并证明；

(3)若点C在∠AOB的外部，且∠DEO=∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、

∠AEC、∠CDB之间的数量关系(不需证明)．

24.小红和小明在研究一个数学问题：已知AB//CD，AB和CD都不经过点E，探索∠E

与∠A，∠C的数量关系．

(一)发现：在图1中，小红和小明都发现：∠AEC=∠A+∠C；

小红是这样证明的：如图7过点E作EQ//AB．

∴∠AEQ=∠A(______)

∵EQ//AB，AB//CD．

∴EQ//CD(______)

∴∠CEQ=∠C

∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C．

小明是这样证明的：如图7过点E作EQ//AB//CD．

∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C

∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C

请在上面证明过程的横线上，填写依据：两人的证明过程中，完全正确的是______．

(二)尝试：

(1)在图2中，若∠A=110°，∠C=130°，则∠E的度数为______；

(2)在图3中，若∠A=20°，∠C=50°，则∠E的度数为______．

(三)探索：

装置图4中，探索∠E与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

(四)猜想：

(1)如图5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之间有什么关系？(直接写出结论)

(2)如图6，你可以得到什么结论？(直接写出结论)

答案和解析

1.A

解：结合已知图形，先判断a，b，c，d所代表的图形，再判断记作a⊙d的图形即可．根据题意，知a代表长方形，d代表直线，所以记作a⊙d的图形是长方形和直线的组合，

2.C

解：A.BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；

B.BD是△EBC的角平分线，正确，不符合题意；

C.∵BD是△EBC的角平分线，

∴∠2=∠3，

∵BE是中线，∴∠1≠∠2，

∴∠1=∠2=∠3不正确，符合题意；

D.BC是△ABE的高，正确，不符合题意．

3.B

解：a+b+c=15，根据三角形三边关系定理可知a

．

2

而a为最大边，故a≥5，

从而5≤a<15

，

2

而p为自然数，故a=5，6，7．

若a=5，则b=c=5．

若a=6，当b=6时，c=3；当b=5时，c=4．

若a=7，当b=7时，c=1；当b=6时，c=2；当b=5时，c=3；当b=4时，c=4．综上所述，以a，b，c为三边长的三角形共有7个．

4.D

解：当A、B、C三点不在同一直线上时(如图)，根据三角形的三边

关系可得3?2

当A、B、C三点在同一直线上时，AB=2+3=5或AB=3?2=1．

5.B

，

解：因为一个正多边形它的一个外角等于与它不相邻的内角的1

4

所以它的每一个外角=180÷5=36°，

所以它的边数=360÷36=10．

6.B

解：

过E作EF//AB，

∵AB//CD，

∴AB//CD//EF，

∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，

∵∠C=44°，∠AEC为直角，

∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°?44°=46°，

∴∠1=180°?∠BAE=180°?46°=134°，

7.D

解：分三条直线互相平行、有两条平行和三条直线都不平行三种情况讨论．

因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论：

①三条直线互相平行，有0个交点；

②一条直线与两平行线相交，有2个交点；

③三条直线都不平行，有1个或3个交点；

所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个．

8.C

解：根据三角形的三边关系，得

三角形的第三边>2，而<8．

则三角形的周长>10，而<16．

9.D

解：设∠EFB=x°，

由题意得x+x+x?18=180，

解得x=66°，

∵AD//BC，

∴∠AEF=180°?∠EFB=114°，

10.A

解：每次平移5个单位，n次平移5n个单位，即BN的长为5n，加上AB的长即为AB n的长，

AB n=5n+AB=5n+6．

11.212

解：如图，

∵∠A=32°，

∴∠2+∠1=148°，

∵∠1=∠3=180°?(∠B+∠C)，∠2=∠4=180°?(∠D+∠E)，

∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°?∠3?∠4=360°?(∠2+∠1)=360°?148°=212°，12.40°

解：延长GH交直线CD于R，过G作GQ//AB，如图：

∵CD//AB，

∴AB//CD//GQ，

∴∠FGQ=∠EFA=30°，∠QGH=∠GRD，

∵∠FGH=90°，

∴∠GRD=∠QGH=90°?30°=60°，

∵∠CNP=50°，∴∠RNM=180°?50°=130°，

∵∠HMN=30°，

∴∠MHR=360°?130°?60°?30°=140°，

∴∠GHM=180°?140°=40°．

13.120

解：根据题意，人所走过的路线是正多边形，

∴边数n=360°÷a°，

走过的路程最短，则n最小，a最大，

n最小是3，a°最大是120°．

14.3或6或15

解：①当DE//AB时，如图1中，设DF交AB于H．

∵DE//AB，

∴∠AHF=∠D=60°，

∵∠AHF=∠B+∠HFB，∠B=30°，

∴∠HFB=30°，

=3s．

∴旋转时间t=30

10

②当DE//BC时，

如图2中，

易知∠DFB=∠D=60°，

=6s．

∴旋转时间t=60

10

③当DE//AC时，如图3中，易知∠DFB=150°，

=15s．

∴旋转时间t=150

10

综上所述，旋转时间为3s或6s或15s时，△ABC恰有一边与DE平行．15.x=a或x≥m

解：作BD⊥AC，则BD=a，

已知AB=m，BD=a，BD⊥AC，可唯一确定△ABD(HL)，

当a

当x=a时，点M与点D重合，唯一确定是直角三角形，

当x≥m时，因为点M在射线AC上，

所以点M只能在点D的右边或与点A重合，

因为点M与点A重合时不能构成三角形，

所以能唯一确定△ABM，

所以若△ABM的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x=a或x≥m．16.18°或54°

解：∵∠A与∠B的两边分别平行，

∴∠A与∠B相等或互补．

分两种情况：

①当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B?36°，

解得：∠A=126°，∠B=54°，

②当∠A=∠B，∠A=3∠B?36°，

解得：∠B=18°．

所以∠B=18°或54°．

17.解：(1)如图2所示，猜想：∠EGF=90°；

证明：由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，

∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，

∵BE//CF，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

∴2∠BEG+2∠GFD=180°，

∴∠BEG+∠GFD=90°，

∵∠EGF=∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF=90°；

(2)证明：如图3，过点G1作G1H//AB，

∵AB//CD，∴G1H//CD，

由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，

∴∠3=∠G2FD，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4=∠G2FD，

∵∠1=∠2，

∴∠G2=∠2+∠4，

∵∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，

∵AB//CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

∴∠EG1F+∠G2=180°．

18.解：(1)∠BAP+∠APC+∠PCD=360°；

(2)∠APC=∠BAP+∠PCD；

(3)∠BAP=∠APC+∠PCD；

(4)∠PCD=∠APC+∠PAB．

如(4)，设PC交AB于E.(如图)

∵AB//CD，

∴∠BEP=∠PCD，

∵∠PAE+∠APE+∠PEA=180°，∠PEB+∠PEA=180°，∴∠PAE+∠APE=∠PEB，

∴∠PAB+∠APC=∠PCD．

解：图1：可作PE//AB.(如图)

因为AB//CD，

所以PE//AB//CD，

所以∠BAP=∠APE，∠EPC=∠PCD，

所以∠APE+∠EPC=∠BAP+∠PCD，

即∠APC=∠PAB+∠PCD．

∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，

图2，过点P作PE//AB，

∵AB//CD，

∴AB//PE//CD，

∴∠A+∠1=180°，∠2+∠B=180°，

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

图3：∠APC=∠PAB?∠PCD，

延长BA交PC于E，

∵AB//BC，

∴∠PEA=∠C，

∵∠PAE+∠APE+∠PEA=180°，∠BAP+∠PAE=180°，

∴∠PAB=∠APE+∠PEA，

∴∠BAP=∠APC+∠PCD；

图4见答案．

19.解：(1)∵a、b满足|a?3b|+(a+b?4)2=0

∴{a?3b=0

a+b?4=0，解得{a=3 b=1

(2)设灯A转动t秒，灯A的光束、灯B的光束分别与PQ、MN交于点C、D.当灯B的光束到达BQ时，则(t+20)?1=180，解得t=160．

∵灯B的光束未到达BQ，∴∠PBD=(t+20)°，0

∴灯A的光束转动了3t0，且00<3t0<4800

∵480゜÷180゜=2……120゜，

∴灯A的光束会有两次转向AN的过程．

∴分三种情况：①在灯A的光束第一次转向AN的过程中，即0

30

=60

如图①，此时∠MAC=3t゜，

∵两灯的光束互相平行，即AC//BD，

∴∠PBD=∠PCA，

∴∠MAC=∠PBD

∴3t=t+20，解得t=10，符合题意；

②在灯A的光束第一次到达AN后，返回AM的过程中，即1800

30=60

30

=120

如图②，此时∠NAC=(3t—180)°，

∵PQ//MN，∴∠NAC+∠PCA=180°，

∵两灯的光束互相平行，即AC//BD，

∴∠PCA=∠PBD.∴∠NAC+∠PBD=180°

∴3t?180+t+20=180，解得t=85，符合题意；

③在灯A的光束回到AM后又继续向AN转动，且灯B的光束到达BQ之前的过程中，

即1800×2

30=120

30

=160

如图③，此时∠MAC=(3t—360)°，

∵PQ//MN，∠MAC=∠PCA，

∵两灯的光束互相平行，即AC//BD，

∴∠PBD=∠PCA，

∴∠MAC=∠PBD．

∴3t—360=t+20，解得，t=190，190>160，不合题意，舍去，

综上所述，当灯A转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

(3)不发生变化设灯A的光束转动的时间为t秒，

∵∠CAN=180°?t?3°

∴∠BAC=45°?(180°?t?3°)=t?3°?135°

又∵PQ//MN，

∴易得∠BCA=∠CBD+∠CAN=t?1°+180°?t?3°=180°?t?2°.

∵CD⊥AC，

∴∠ACD=90°．

∴∠BCD=90°?∠BCA=90°—(180°—t?2°)=t?2°?90°．

∴∠BAC:∠BCD=(t?3°—135°):(t?2゜—90°)=3(t?45):2(t?45)=3:2．∴∠BAC与∠BCD的数量关系为2∠BAC=3∠BCD．

20.∠BAD=∠BCE+∠ABC.1

2

m

解：(1)如图1中，结论：∠BAD=∠BCE+∠ABC．

∵∠DAB=∠1+∠ABC，

∴∠BAD=∠BCE+∠ABC．

故答案为：∠BAD=∠BCE+∠ABC．

(2)如图2中，结论：∠B=2∠F．

理由：设∠B=x，∠F=y，∠BAF=∠FAH=n，∠FCB=∠FCG=m，∵DH//EG，

∴∠1=∠GCF=m=n+y，

又∵x+n=y+m，

∴x+n=y+n+y，

∴x=2y，

即∠B=2∠F．

(3)设∠MCE=∠MCB=x，∠MBA=∠MBC=y．

∵DH//EG，

∴∠1=∠BCE=2x，

∴∠BAD=∠1+∠ABC，即m=2x+2y，

∵BN//CM，

∴∠CBN=∠BCM=x，

∴∠MBN=x+y=1

2

m.

21.解：(1)∠AOC=∠ODC，

理由：∵三个内角的平分线交于点O，

∴∠OAC+∠OCA=1

2(∠BAC+∠BCA)=1

2

(180°?∠ABC)，

∵∠OBC=1

2

∠ABC，

∴∠AOC=180°?(∠OAC+∠OCA)=90°+1

2

∠ABC=90°+∠OBC，∵OD⊥OB，

∴∠BOD=90°，

∴∠ODC=90°+∠OBD，

∴∠AOC=∠ODC；

(2)①∵BF平分∠ABE，

∴∠EBF=1

2∠ABE=1

2

(180°?∠ABC)=90°?∠DBO，

∵∠ODB=90°?∠OBD，∴∠FBE=∠ODB，

∴BF//OD；

②∵BF平分∠ABE，

∴∠FBE=1

2∠ABE=1

2

(∠BAC+∠ACB)，

∵三个内角的平分线交于点O，∴∠FCB=1

2

∠ACB，

∵∠F=∠FBE?∠BCF=1

2(∠BAC+∠ACB)?1

2

∠ACB=1

2

∠BAC，

∵∠F=40°，

∴∠BAC=2∠F=80°．

22.解：(1)过E作EF//AB(如图甲)．

∵原四边形是长方形，

∴AB//CD，

又∵EF//AB，

∴CD//EF(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∵EF//AB，

∴∠A+∠1=180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∵CD//EF，

∴∠2+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

又∵∠1+∠2=∠AEC，

∴∠A+∠AEC+∠C=360°．

(2)过点E、F分别作AB的平行线(如图乙)，

用上面的方法可得∠A+∠E+∠F+∠C=3×180°=540°．

(3)剪出5个角，共剪四刀，其和为720°，即(5?1)×180°=720°；由此可得一般规律：剪出n个角，这n个角的和是(n?1)×180°．

23.解：(1)如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，

∴∠CDF=1

2∠CDB，∠CDE=1

2

∠CDO，

∴∠EDF=1

2

(∠CDB+∠CDO)=90°，

又∵DF//AO，

∴∠AED=90°，

∴DE⊥AO；

(2)如图2，连接OC，

∵∠DEO=∠DEC，∠EDO=∠EDC，

∴∠DOE=∠DCE，

∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外

角，

∴∠CDB=∠COD+∠OCD，∠AEC=∠EOC+∠ECO，

∴∠CDB+∠AEC=∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO=2∠DCE；

(3)图3中，∠CDB=∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC=∠CDB+2∠DCE.理由：

如图3，∵∠DEO=∠DEC，∠EDO=∠EDC，

∴∠DOE=∠DCE，

∵∠CDB是△ODG的外角，

∴∠CDB=∠DOG+∠DGO，

∵∠DGO是△CEG的外角，

∴∠DGO=∠AEC+∠C，

∴∠CDB=∠DOG+∠AEC+∠C=∠AEC+

2∠DCE；

如图4，∵∠DEO=∠DEC，∠EDO=∠EDC，

∴∠DOE=∠DCE，

∵∠AEC是△OEH的外角，

∴∠AEC=∠DOE+∠OHE，

∵∠OHE是△CDH的外角，

∴∠OHE=∠CDB+∠C，

∴∠AEC=∠DOE+∠CDB+∠C=∠CDB+2∠DCE．

24.(一)两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小红的证法；

(二)

(1)120°；

(2)30°；

(三)∠E=∠A?∠C．

理由：延长EA，交CD于点F．

∵AB//CD，

∴∠EFD=∠EAB

∵∠EFD=∠C+∠E

∴∠EAB=∠C+∠E

∴∠E=∠EAB?∠C．

(四)(1)可通过过点E、F、G分别做AB的平行线，得到结论．

∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．

(2)同上道理一样，可得到结论：∠E1+∠E2+?+∠E n=∠F1+∠F2+?∠F n?1+∠B+∠D．

解：(一)∵小明的辅助线做不出来，所以两人的证明过程中，小红的完全正确；

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小红的证法．(二)(1)过点E作EF//AB，

∵AB//CD，

∴EF//CD.∵EF//AB，

∴∠A+∠AEF=180°，

∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．

∵EF//CD，

∴∠C+∠CEF=180°，

∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=70°+50°=120°．

(2)∵AB//CD，

∴∠EOB=∠C=50°

∵∠EOB=∠A+∠E，

∵∠E=∠EOB?∠A=50°?20°=30°．

故答案为：120°，30°．