实验_用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位分布
用超松弛迭代法求解接地金属槽内电
位分布
一、实验内容：
用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。 已知：cm a 4=，mm a h 104/== 给定边值如图所示。 给定初值：0)0(,=j i ? 误差范围：510-=ε 计算迭代次数，j i ,?分布。
=?= V
100 ? 0
=?0
=?
二．实验设计原理：有限差分法
α称为松弛因子。不同的α值，可以有不同的收敛速度，其值范围一般为1与2之间。通常α会有一个最佳值。最佳α的确定与具体问题有关，显然，如果α选择合适，超松弛迭代法收敛速度最快。
（1）划分网格：节点编号、坐标的形成。
（2）赋初值：随意，尽可能靠近真实解。比如本题u7=2.0,u8=7.5,u9=10。（3）边界条件：给电位值，找规律。 u1,u2,u3,u4,u6,u11,u12,u13,u14=0;
u5,u10,u15=100。
（4）迭代 u7=(u2+u6+u8+u12)/4 ；
u8=(u3+u7+u9+u13)/4 ；
u9=(u4+u8+u10+u14)/4 。
（5）反复迭代，给定某一误差
有限差分法是基于差分原理的
一种数值计算法。其基本思想：将
场域离散为许多小网格，应用差分
原理，将求解连续函数?的泊松方
程的问题换为求解网格节点上?的
差分方程组的问题。
编程时已经考虑到题目要求，
所以直接将边值编入到程序中，这样可以省略输入，从而直接输入迭代因子进行求解，可以减少编程的难度。这次编程和以前不同的是将数组和正交函数
图像结合起来，所以在考虑输入和输出的时候会有一些难度，因为数组是上面是小的而图像上面越在上，代表坐标就越大。所以在输入和输出的时候要谨慎对待。
Editor中源代码为：
1．clc
2.clear
3.close all
4.hx=5;
5.hy=5;
6.v1=ones(hy,hx);
7.v1(hy,:)=ones(1,hx)*100;
8.v1(1,:)=ones(1,hx)*0
9.for i=1:hy;
10.v1(i,1)=0;
11.v1(i,hx)=0;
12.end
13.m=4;
14.w=2/(1+sqrt(1-cos(pi/m)*cos(pi/m)));
15.maxt=1; t=0;
16.v2=v1;n=0
17.while(maxt>1e-5)
18.n=n+1
19.maxt=0;
20.for i=2:hy-1 ;
21.for j=2:hx-1 ;
22．v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j ))*w/4;
23.t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));
24.if(t>maxt) maxt=t; end
25.end
26.end
27.v1=v2;
28.end
29.subplot(1,2,1),mesh(v2)
30.axis([0,5,0,5,0,100]);
31.subplot(1,2,2),contour(v2,20);
三、程序运行界面及结果
电压分布：
改变收敛因子，α取接近1的数，α计算次数越少，迭代效果越好；α越接近2，计算次数越多，迭代效果越差。收敛因子不同，得出的电位不会有很大的差距，只是对迭代的次数会有影响。
四．实验心得与思考
通过设计程序并进行完善调试，我对有限差分法有了进一步的认识，同时也已经掌握超松弛迭代法的运用。对于这一类题型都可以运用同样方法予以解决。
就我个人而言，我觉得自己对matlab的使用还不是很了解，尽管算法能够理解，但真正到了运用的时候仍然在纠结下一句要怎么写。接触这个软件不到半个月，提升空间还有很多。比如在设计迭代时，该怎样命名参数，怎么重复运算。这个题里还涉及了有关x，y的坐标问题，如果再进一步学习，我想会写的再清晰一些。尽管我不清楚最
终的结果是否正确，我认为我已经将我所理解的问题表达出来了。我
想我会继续思考这个问题，继续完善的。
附：c++代码（用于验证结论）
#include
#include
void main()
{
double m[5][5],n[5][5];
int N=0,b=1;
int i,j;
double e=0.00001;
double a=2/(1+sin(3.1415926/4;
for(i=0;i<=4;i++)
for(j=0;j<+4;j++)
{
m[i][j]=0;[i][j]=0;
}
m[1][4]=100;
m[2][4]=100’
m[3][4]=100;
n[1][4]=m[1][4];
n[2][4]=m[1][4];
n[3][4]=m[1][4];
for(j=4;j>=0;j--)
{
for(i=0;i<=4;i++)
cout<<”m[“< cout< } while(b==1) { b=0; N=N+1; for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=3;j++) m[i][j]=m[i][j]+a*(m[i-1][j]+m[i][j-1]+m[i+1][j]+m[i][j+1]-4*m[i][j])/4; for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=3;j++) { if(fabs(m[i][j]-n[i][j]>=e) b=1; n[i][j]=m[i][j]; } } for(j=4;j>=0;j--) { for(i=0;i<=4;i++) cout<<”m[< } cout<<”N=”<