中考数学 二次函数综合试题及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交
于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ?为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为2
23y x x =--+，直线的解析式为3y
x .（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.
【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）
2
+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求
出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203
b
a a
b
c c ?-=-??++=??=?
?
，解得：123a b c =-??
=-??=?，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=??=?，解之得：13m n =??=?
，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明
MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2
222134PB t t =-++=+，()()2
2
2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：
2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：
4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：
1317
t +=
2317t -=
. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2?+- ??或3171,2?- ??
.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
2．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．
（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标；
（3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，
11AM AN
+均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a =13
-，A 30），抛物线的对称轴为x 32）点P 的坐标为3034）；（33 【解析】
试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的3，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13
-．
令y =0得：22390ax ax a --=，∵a ≠0，∴22390x x --=，解得：x =3x =3
3∴点A 30），B （330），∴抛物线的对称轴为x 3
（2）∵OA 3OC =3，∴tan ∠CAO 3∴∠CAO =60°． ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO 3
=1，∴点D 的坐标为（0，1）． 设点P 3a ）．
依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2． 当AD =PA 时，4=12+a 2，方程无解．
当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 30）． 当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2，解得a =﹣4，∴点P 3，﹣4）． 综上所述，点P 3034）．
（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：330m +=，解得：
m =3，∴直线AC 的解析式为33y x =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．
把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1
k
-，0），∴AN =1
3k
-
+=31k -．
将33y x =+与y =kx +1联立解得：x =3
k -，∴点M 的横坐标为
3
k -．
过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG =
33
k +-．
∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG 33k +-2323
k k --，∴
11AM AN +323231k k k ---33232k k --3(31)2(31)
k k --3
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．
3．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线
2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．
()1求抛物线的表达式；
()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样
的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
()3若
AOC 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中
AOC 与OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．
【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32332+332-；（3）13． 【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|4
3
x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；
（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 1
6
=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13
． 【详解】
（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2
+bx ，∴3931a b a b +=??+=?，解得43133a b ?=-????=??
，
∴抛物线的表达式为：y 43=-x 213
3
+x ． （2）存在．
设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 1
3
=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|1
3
x ﹣（43-
x 2133+x ）|=|4
3
x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有
MN =AC =3，∴|43
x 2
﹣4x |=3．
若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32
+=或x 32-= 若
43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 3
2
=，∴存在满足条件的点M ，点M 的
横坐标为：
32或32+或32
-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13
=
x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．
设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，11
33
+t ），C '（1+t ，3﹣t ）．
设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （4
3
t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=
x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，1
2
t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=
t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF ?FQ 1
2
-OE ?PG 12=
（1+t ）（1133+t ）12-?43t ?1
2
t 16=-（t ﹣1）213
+
当t =1时，S 有最大值为
13，∴S 的最大值为1
3
．
【点睛】
本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．
4．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．
（1）求点B ，C 的坐标；
（2）判断△CDB 的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ?为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)22
1933(3)2
22t t t S t t t ?-+<≤??=??=-+<
【解析】 【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段： ①当0＜t≤3
2
时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当
3
2＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上，
∴()2
011c =---+，得4c =
∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+，
令0x =，得3y =，∴()0,3C ； 令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ?为直角三角形.理由如下： 由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ， 则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ?中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ?中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ?中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.
∵222BC CD BD +=， ∴CDB ?为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ，
∴303k b b +=??=?
，
解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴30
4m n m n +=??
+=?
，解得：2,6m n =-=，
∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ??
???
. 在COB ?向右平移的过程中： (1)当3
02
t <≤
时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：26
3y x y x t
=-+??
=-++?.
解得32x t
y t
=-??
=?，
∴()3,2F t t -.
111
222
QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ???=--=
?-?-? ()2
21113333232222
t t t t t =??---?=-+.
(2)
当
3
32
t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-.
直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.
11
22
PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ??=-=?-? ()()()2
11362322
t t t =
---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332
22t t t S t t t ??
?-+<≤ ????
?=?
??
?=-+<< ?????.
5．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；
（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；
（3）设抛物线2
(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点
关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1?
（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．
（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】
（1）证明：∵()()()2
2
2454670b ac m m m ?=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.
（2）解：由（1）()2
7m ?=-，根据求根公式可知，
方程的两根为：x =
即121
6x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+
1
(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）
由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：
6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】
本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．
6．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．
①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或
41
2
或
5-41
②点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（1
2
，-
5
2
），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的
解析式为y=-1
5
x+b，把E（
1
2
，-
5
2
）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
，则
解方程组
5
112
55
y x
y x
-
?
?
?
--
??
＝
＝
得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，
如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13
+
6
2
x
，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0）， 把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=??
=-?，解得1
5a b =-??=-?
， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM=
2AB=2×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴222=4，
设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5）， 当P 点在直线BC 上方时，
PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4， 当P 点在直线BC 下方时，
PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41
， 综上所述，P 点的横坐标为4或
5+412或5-41
2
； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
?
?
?
=--
??
得
13
6
17
6
x
y
?
=
??
?
?=-
??
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ?为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为2
23y x x =--+，直线的解析式为3y
x .（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,2-或317(1,)2
-.
【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）
2
+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求
出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203
b
a a
b
c c ?-=-??++=??=?
?
，解得：123a b c =-??
=-??=?，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，
∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=??=?，解之得：13m n =??=?
，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明
MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2
222134PB t t =-++=+，()()2
2
2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：
2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：
4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：
1317
t +=
2317t -=
. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317?+- ??或317?-- ??
.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
8．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4
3
与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3
2
． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3
2
列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y
Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 （1）当y=0时，
14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=3
2
，得16120
3322a c a -+=??-?-=??
，
解得1
4
a c =??
=-?，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；
（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点，
∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ， ∴
PC PB
PF PE
=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；
（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.
【答案】（1）2
1452
=-
+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1． 【解析】 【分析】
（1）函数表达式为：()2
43y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点
A 坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解
即可. 【详解】
解：（1）函数表达式为：()2
43y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12
a =-， 故抛物线的表达式为：2
1452
=-
+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，
将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ??-
+- ???
， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21,452P m m m ?
?
-
+- ???
向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，2
14542
m m s -
+--=， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2
131452
m m s -=-+-+， 解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；