第六章 动态回归与误差修正模型

第6章 动态回归与误差修正模型

本章假定时间序列是平稳的。

6.1 均衡与误差修正机制

1 均衡

均衡指一种状态，达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制。这里只考虑平稳的均衡状态，即当系统受到干扰后会偏离均衡点，而内在均衡机制将努力使系统重新回到均衡状态。

下面通过一个例子说明系统均衡概念。以两个地区某种商品的价格为例，假设地区A 中该商品物价由于某种原因上升时，该商品就会通过批发商从价格低的B地区向价格高的A 地区流动。从而使批发商从中获利。这种活动将直接导致该商品在B地区的需求增加，从而使该商品在B地区的价格上涨。从A地区看，由于增加了该商品的供给，则导致价格下降，反之依然，从而使两各地区的该商品价格趋同。

若称价格A = 价格B的直线表示均衡价格。如上所述，当价格离开这条均衡价格直线后，市场机制这只无形之“手”就会把偏离均衡点的状态重新拉回到均衡状态。随着时间推移，无论价格怎样变化，两个地区的价格都具有向均衡价格调整的趋势。

若两个变量x t , y t永远处于均衡状态，则偏差为零。然而由于各种因素的影响，x t , y t并不是永远处于均衡位置上，从而使u t≠ 0，称u t为非均衡误差。当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点。这是一个动态均衡过程。t期非均衡误差u t是y t下一期取值的重要解释变量。当u t > 0时，说明y t相对于x t取值高出均衡位置。平均来说，变量y t 在t+1期的取值y t+1将有所回落。所以，u t= f (y t , x t) 具有一种误差修正机制。

6.2 分布滞后模型

如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。例

y t = α0 + ∑

=?

n

i

i

t

i

x

β+ u t,u t～ IID (0, σ2 ) (6.1)

上述模型的一个明显问题是x t 与x t -1 , x t -2, …, x t - n 高度相关，从而使 βj 的OLS 估计值存在严重偏倚。

实际上，对于分布滞后模型，这并不是一个严重问题，因为人们的注意力并不在单个回归系数上，而是在这些回归系数的和式，∑=n

i i 0β上。通过这个和式可以了解当x t 变化时，

对y t 产生的长期影响。尽管对每个βj 的估计量不是很准确，但这些估计值的和却是相当精确的。

Var(∑=n i i 0?β) = ∑=n i i 0)?(Var β+ 2∑∑=?=n i i k k i 01

0)?,?(Cov ββ, (6.2) 若x t - i 与x t - k , (i ≠ k ) 是正相关的（实际中常常如此），则（6.2）式中的协方差项通常是负的。

当这些项的值很大（绝对值）且为负时，Var (∑=n i i 0?β) 比 0?()n i

i Var β=∑小，甚至比每个Var (i

β?) 还小。 分布滞后模型中的解释变量存在高度相关，克服高度相关的一个方法是在等号右侧加一个被解释变量的滞后项。于是，得到动态模型。

动态模型(自回归模型)：如果在回归模型的解释变量中包括被解释变量的一个或几个滞后值，则称这种回归模型为动态模型(或自回归模型)。例如，

y t = α0 + α1 y t -1 + β1 x t + u t

6.3 动态分布滞后模型

如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归分布滞后模型。例

y t = α0 + ∑=?m i i t i

y 1α+10p n ji jt i j i x β?==∑∑+ u t , u t ～ IID (0, σ 2 ) (6.3)

用ADL (m , n , p ) 表示，其中m 是自回归阶数，p 是分布滞后阶数， n 是外生变量个数。

对ADL (m , n , p ) 模型可采用OLS 法估计，尽管，参数估计量是有偏的，但是，它们是参数的一致估计。

例如，对于AR(1)模型

y t = β y t -1 + u t , | β | < 1, u t ～ IID(0, σ 2) , (6.5) 如果y t ～I(0)；y t 具有非零的有限的4阶矩；则

β 的OLS 估计量计算公式是

β? = ????????∑∑=?=?T

t t T t t t y y y 22121. (6.6) 把 (6.5) 式代入 (6.6) 式得

β? = ∑∑∑=?==??+T t t T t T t t t t y

u y y 221

22121

β

= β +????????∑∑=?=?T

t t T

t t t y u y 22121. (6.7) y t -1与u t 是相关的。上式右侧第二项的期望不为零。所以，用OLS 法得到的回归系数估计量是有偏估计量。若对 (6.7) 式右侧第二项的分子分母分别除以（T -1）（样本容量）并求概率极限，

lim p ∞→T β

? = β +∑∑=??∞→=??∞→??T t t T T t t t T y T u y T 2211211]

)

1[(lim p ])

1[(lim p = β (6.8)

可见β

?也是一致估计量。 最常见的是ADL (1, 1,1) 和ADL (2,1, 2) 模型，

y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u t , u t ～ IID (0, σ 2 ), (6.9) 和

y t = α0 + α1 y t -1 + α2 y t -2 + β0 x t + β1 x t -1 + β2 x t -2 + u t , u t ～ IID (0, σ 2 )

对于ADL (1, 1,1) 模型 (6.9)，x t 和 y t 的长期关系是

y t = 101αα?+1

101αββ?+x t = θ0 + θ1 x t , (6.10) 其中，式(6.10)被称为静态模型，参数被称为静态参数或长期参数。

长期参数描述了变量之间的均衡关系。动态模型 (6.9) 中的参数称作动态参数或短期参数。短期参数描述了变量通向均衡状态过程中的非均衡关系。通过对α0 , β0 和 β1 施加约束条件，从ADL 模型（6.9）可以得到许多特殊的经济模型。下面以9种约束条件为例，给出特定模型如下：

（1） 当 α1 = β1 = 0 成立，模型（6.9）变为

y t = α0 + β0 x t + u t . (6.11) 即，静态回归模型。

（2） 当 β0= β1= 0时，由模型（6.9）得

y t = α0 + α1 y t -1 + u t . (6.12) 即，一阶自回归模型。

（3） 当 α1 = β0 = 0 时，则有

y t = α0 + β1 x t -1 + u t . (6.13) x t -1是y t 的超前指示变量。此模型称为前导模型。

（4） 当约束条件是α1 =1，β1 = - β0时，（6.9）式变为

Δ y t = α0 + β0 Δ x t+ u t . (6.14) 这是一个一阶差分模型。当x t与y t为对数形式时，上述模型为增长率模型。

（5） 若α1 = 0成立，模型（6.9）则变为一阶分布滞后模型。

y t = α0 + β0 x t+β1 x t - 1 + u t. (6.15) (6) 取β1 = 0，则模型（6.9）变为标准的局部调整模型（偏调整模型）。

y t = α0 + α1 y t -1 + β0x t+ u t.(6.16) (7) 当β0 = 0 时，由模型（6.9）得

y t = α0 + α1 y t -1 + β1 x t -1 + u t . (6.17) 模型中的解释变量只有变量的滞后值，y t的值仅依靠滞后信息。这种模型称为“盲始”模型。

（8）给定β1 = - α1 ，模型（6.9）化简为

y t = α0 + α1 ( y t-1 - x t-1 ) + β0 x t+ u t(6.18) 此模型称为比例响应模型。解释变量为x t与 ( y t-1- x t-1)。

6.4“一般到特殊”建模方法

以上所列举的例子说明实际上许多有特殊经济意义的模型都是由一个一般的ADL模型化简得到的。这种建立模型的方法是首先从一个包括了尽可能多解释变量的“一般”ADL 模型开始，通过检验回归系数的约束条件逐步剔除那些无显著性变量，压缩模型规模，（在这个过程中要始终保持模型随机误差项的非自相关性。）最终得到一个简化（或“特殊”）的模型。这种方法称为“一般到特殊”建模法。也称作亨德里（Hendry）建模法。关于检验约束条件是否成立的方法将在后面讨论。

众所周知，模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的OLS估计量丧失无偏性和一致性。“一般到特殊”建模法的主要优点是能够把由于选择变量所带来的设定误差减到最小。因为在初始模型中包括了许多变量，所以不会使回归系数的OLS估计量存在丢失变量误差。虽然因为在初始模型中包括了许多非重要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检验约束条件的继续，那些非重要的解释变量被逐步剔除掉，从而使估计量缺乏有效性的问题得到解决。

6.5 动态模型的若干检验方法

在用“一般到特殊”方法建立模型时的，首先应对初始模型（即对回归参数不加任何约束的动态分布滞后模型）的随机误差项进行异方差和自相关检验。对模型的其他检验都应建立在随机误差项是一个白噪声序列的基础之上。在检验约束条件是否成立的过程中逐步剔除不显著变量，化简模型，同时还要保持模型随机误差项的非自相关性和同方差性不被破坏。在这个过程中要用到许多统计量。下面介绍一些常用的检验方法。

1．F检验

把样本数据取对数后建立回归模型，随机误差项一般不会存在异方差。对于随机误差项

的一阶自相关检验可用DW 统计量完成。对于ADL 模型（6.9），约束条件（5），（6），（7）和（10），即 α1 = 0，β1 = 0，β0 = 0 和 α1 + β0 + β1 - 1 = 0（见6.2和6.3节）的是否成立可用t 检验完成。如果t 统计量的绝对值大于临界值，则相应约束条件不成立，相应解释变量不能轻易地从模型中剔除掉。否则接受相应约束条件，从模型中剔除相应解释变量。

对于联合线性约束条件（1），（2），（3）和（4）（见6.2节）可用F 检验完成。假定模型误差项服从正态分布，共有m 个线性约束条件，则所用统计量是

F = )

/(/)(k T SSE m SSE SSE u u r ?? (6.45) 其中SSE r 表示施加约束条件后估计模型的残差平方和，SSE u 表示未施加约束条件的估计模型的残差平方和，m 表示约束条件个数，T 表示样本容量，k 表示未加约束的模型中被估参数的个数。在零假设“约束条件真实”条件下，

F ～ F ( m , T – k )

因为两个模型都是用OLS 法估计的，所以可把被解释变量的总平方和（SST ）分解为回归平方和 (SSR ) 与误差平方和（SSE ）两部分。对于不加约束的模型有

SST = SSR u + SSE u .

对于施加约束条件的模型有，

SST = SSR r + SSE r .

如果约束条件成立，那么在施加约束条件下求到的SSE r 不会比不加约束条件的SSE u 大很多，用样本计算的F 值不会很大。若F 值小于临界值，则约束条件是可接受的（真实的）。否则应该拒绝零假设。注意，F 检验的零假设是m 个约束条件同时为零，备择假设是m 个约束条件不同时为零。所以拒绝零假设并不排除有部分约束条件为零。应利用t 检验进一步对每一个参数进行显著性判别。

比如对ADL 模型（6.9）检验联合约束条件 α1 = β1 = 0，

则（6.9）式为无约束模型，(6.11) 式为约束模型。

y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u t , u t ～ IID (0, σ 2 ), （无约束模型） (6.9) y t = α0 + β0 x t + u t . （约束模型） (6.11) 用SSE u 和SSE r 分别表示对（6.9）和（6.11）式进行OLS 估计得到的SSE ，F 统计量按下式计算

F = )

4/(2/)(??T SSE SSE SSE u u r 其中2表示约束条件个数，T 表示样本容量，4表示无约束模型（6.9）中被估计参数的个数。 判别规则是，

若F < F α (2, T - 4)，则接受两个约束条件，

若F > F α (2, T - 4)，则拒绝两个约束条件同时成立。

2 似然比（LR ）检验

以上介绍的t 检验和F 检验只适用于对线性约束条件的检验。对于6.2节中的约束条件

（9），α1 β0 + β1 = 0，则无法用t 或F 检验完成。下面介绍三种常用的检验方法，即似然比（LR ）检验，沃尔德（W ）检验和拉格朗日（lagrange ）乘数（LM ）检验。这三种检验所用

统计量都是利用极大似然估计法计算的。LR 检验由内曼—皮尔逊（Neyman-Pearson 1928）提出，只适用于对线性约束的检验。W 检验和LM 检验既适用于对线性约束条件的检验，也适用于对非线性约束条件的检验。

首先介绍LR 检验。LR 检验的基本思路是如果约束条件成立则相应约束模型与非约束模型的极大似然函数值应该是近似相等的。用

log L (β?,2?σ) = -2T log 2π2?σ-σ?2?2

∑t e (6.53) 表示非约束模型的极大似然函数。其中β

?和2?σ分别是对 β（参数集合），σ 2 的极大似然估计。用

log L (β~,2~σ) = -2

T log 2π2~σ-σ~2?2

∑t e (6.54) 表示约束模型的极大似然函数。其中β~和2~σ分别是对 β 和 σ 2 的极大似然估计。定义似然比（LR ）统计量为

LR = - 2 [ log L (β~, 2~σ) - log L (β

?, 2?σ) ] (6.55) 中括号内是两个似然函数之比（似然比检验由此而得名）。在零假设约束条件成立条件下

LR ～ χ 2(m ) (6.56) 其中m 表示约束条件个数。用样本计算LR 统计量。判别规则是，

若LR < χ 2α (m ) , 则接受零假设，约束条件成立。

若LR > χ 2α (m ) , 则拒绝零假设，约束条件不成立。

再看前面的例子，（6.9）式为无约束模型。（6.11）式为约束模型。

y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u t , u t ～ IID (0, σ 2 ), （无约束模型） (6.9) y t = α0 + β0 x t + u t . （约束模型） (6.11) 约束条件为 α1 = β1 = 0。在零假设成立条件下，

LR ～ χ 2(2) .

LR 统计量只适用于对线性约束条件的检验。对非线性约束条件应该采用如下两种检验方法。

6.6 误差修正模型（ECM ）

误差修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于库存管理问题建模。1977年由Hendry 、Anderson 和Davidson 完善，ECM 模型由 ADL (m , n , p ) 模型变换而来。

下面通过ADL (1,1, 1) 模型推导简单的ECM 模型。对于ADL (1,1, 1) 模型，

y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u t , | α1 | < 1, u t ～ IID (0, σ 2 ), (6.12) 其中u t 不存在自相关和异方差。

如果这个条件不能满足，可通过增加x t 和 y t 的滞后项或加入新的变量使u t 满足要求。 从上式两侧同时减y t -1，在右侧同时加减 β0 x t -1得，

Δy t = α0 + β0Δx t + (α1 -1) y t-1 + (β0+ β1)x t-1+ u t(6.13)

上式右侧第三、四项合并，

Δy t = α0 + β0Δx t + (α1 - 1) ( y t-1 - k1 x t-1) + u t(6.14)

则称式(6.14)为ECM模型，(α1 -1) ( y t-1- k1 x t-1) 称为误差修正项。( y t -1- k1 x t -1) 表示前一期的非均衡误差，其中k1 = (β0+ β1) / (1 - α1 )。

显然，在上述变换中没有破坏恒等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释能力，也不会改变OLS估计量的性质。

由式(6.12)知，若y t平稳，必有|α1 | < 1，所以非均衡误差项的系数(α1 -1) 必为负。说明误差修正项对Δy t有一个反向修正作用。当前一期y t，即y t-1相对于均衡点取值过高（低）时，通过误差修正项的反向修正作用，使本期Δy t减小（增加），y t 向均衡位置移动。(α1 -1) 表示误差修正项对Δy t的调节速度。进一步变换 (6.14) 式

Δy t = β0Δx t + (α1- 1) ( y t-1 - k0 - k1 x t-1) + u t(6.15)

其中k0 = α0 / (1 - α1 )，( y t -1 - k0 - k1 x t –1 ) 是x t和y t的长期关系，Δy t = β0Δx t + (α1- 1) (?) 是x t和y t的短期关系。

当约束条件α1 + β0 + β1 =1成立时，模型（6.15）变为

Δ y t = β0Δ x t + (α1 - 1) [ y t-1 - k0 - x t-1 ] + u t，(6.16)这是一个k1 = 1的特殊误差修正模型。

ECM模型的特点

ECM模型有如下特点：

⑴上述模型中的Δ y t，Δ x t 和非均衡误差项都是平稳的。应用最小二乘法估计模型时，参数估计量都具有优良的渐进特性。在第7章可以看到，即使变量是非平稳的，只要存在协整关系，误差修正模型也不会存在虚假回归问题。

⑵误差修正模型中既有描述变量长期关系的参数，又有描述变量短期关系的参数；既可研究经济问题的静态（长期）特征又可研究其动态（短期）特征。

⑶误差修正模型中的变量不存在多重共线性问题。

⑷u t是非自相关的。如果u t是自相关的，可在模型中加入Δy t和Δx t的足够多滞后项，从而消除u t的自相关。同时相应加大误差修正项的滞后期。

⑸建模过程中允许根据t检验和F检验剔除ECM模型中的差分变量。在ECM模型中剔除差分变量，相当于在原ADL 模型中施加一个约束条件。例如剔除差分变量Δx t，相当于在原ADL(1,1, 1) 模型中施加约束条件，β0 = 0。

⑹在非均衡误差项中剔除任何滞后变量都是危险的，这将影响长期关系的表达。

⑺模型中的k0 , k1未知，ECM模型不能直接被估计。估计方法是①若变量为平

ECM

稳变量或者为非平稳变量但存在长期均衡关系，可以把误差修正项的括号打开，对模型直接用OLS法估计。②先估计长期均衡关系，然后把估计的非均衡误差作为误差修正项代入ECM 模型，并估计该模型。

案例：中国国债发行额模型

首先分析中国国债发行额序列的特征。1980年国债发行额是43.01亿元（占GDP的1%），2001年国债发行额是4604亿元（占GDP的4.8%）。以当年价格计算，21年间（1980-2001）增长了106倍。平均年增长率是24.9%。

1000

20003000

4000

5000

8082848688909294969800DEBT

中国当前正处在社会主义市场经济逐步完善，宏观经济平稳运行的阶段。国债发行总量（DEBT t ，亿元）应该与经济总规模，财政赤字的多少，每年的还本付息能力有关系。选择3个解释变量，国内生产总值（百亿元），财政赤字额（亿元），年还本付息额（亿元），根据散点图建立中国国债发行额（DEBT t ，亿元）模型如下：

DEBT t = β0 +β1 GDP t +β2 DEF t +β3 REP AY t + u t

其中GDP t 表示年国内生产总值（百亿元），DEF t 表示年财政赤字额（亿元），REP AY t 表示年还本付息额（亿元）。用1980-2000年数据得输出结果如下；

DEBT t = 4.38 +0.34 GDP t +1.00 DEF t +0.88 REP AY t (6.17)

(0.2) (2.1) (26.6) (17.2)

R 2 = 0.9986, DW=2.12, T =21, (1980-2000) , SSE = 48447.75

用F 统计量检验是否可以对上式施加约束GDP t 和DEF t 的系数β1 =0，β2 = 0。给出约束模型估计结果如下，

DEBT t = 104.85 +1.63 REP AY t (6.18)

(0.8) (12.4)

R 2 = 0.89, DW=0.7, T =21, (1980-2000) , SSE = 3772378

F =)/(/)(k T SSE m SSE SSE u u r ??=)

421/(75.484472/)75.484473772378(??= 653.35 因为F = 653.35 > F 0。

05 (2 , 17)，约束条件不成立，不应在模型中删除变量GDP t 和DEF t 。 附录：

EViews 操作（1）：在估计窗口中点击View ，选Coefficient Tests, Redundant Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否存在多余的不重要解释变量），在随后弹出的对话框中填入拟删除变量GDP ，DEF 。可得如下结果。

EViews 操作（2）：在估计窗口中点击View ，选Coefficient Tests, Omitted Variables -Likelihood Ratio 功能（模型中是否丢了重要的解释变量），在随后弹出的对话框中填入拟加入的解释变量GDP ，DEF 。也可得到如上结果。