考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2009考研数学三真题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则

(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

b =.

（3）使不等式1sin ln x t

dt x t

>?成立的x 的范围是

(A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π.

(D)(,)π+∞.

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩

阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为

(A)**32O B A O ?? ???.

(B)**

23O

B A O ??

???.

(C)**32O A B O ??

???

(D)**

23O A B

O ??

???

. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

，

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)210110002??

? ? ???.

(B)110120002??

? ???.

(D)100020002?? ? ? ???

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则

(A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

1{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cos 0x x →= .

（10）设()y x

z x e =+，则

(1,0)

x ?=? .

（11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T

αβ相似于300000000??

? ? ???

，则k = .

(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET = .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

(0)x >. （17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],

a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，

则'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

设111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??

= ? ?-??

（Ⅰ）求满足21A ξξ=，2

31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）

设二次型222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

11y y +，求a 的值.

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

x e y x

f x y -?<<=?

?其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ；（Ⅱ）求条件概率11P X Y =?≤≤???.

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求10P X Z ?==???；

（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

（1）函数3

()sin x x f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1. (B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

【答案】C. 【解析】

()3

sin x x f x x

π-=

则当x 取任何整数时，()f x 均无意义

故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3

0x x -=的解

1,2,30,1x =±

320032113211131lim lim sin cos 132

lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ

ππππ

→→→→→-→---==--==

--== 故可去间断点为3个，即0,1±

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则

(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，1

6b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1

b =.

【答案】A.

【解析】2

()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则

222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax

g x x bx x bx bx bx

→→→→→---==-?---洛洛230sin lim 166x a ax a b b ax

→==-=-? 36a b ∴=- 故排除(B)、(C). 另外2

01cos lim

3x a ax

bx →--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除(D).

所以本题选(A).

（3）使不等式

sin ln x

dt x t

成立的x 的范围是 (A)(0,1).

(B)(1,

)2π

. (C)(,)2

π. (D)(,)π+∞.

【答案】A.

【解析】原问题可转化为求

111sin sin 1()ln x

x x t

t f x dt x dt dt t t t =-=-???11sin 11sin 0x x t t dt dt t t

--==>??成立时x 的

取值范围，由1sin 0t

->，()0,1t ∈时，知当()0,1x ∈时，()0f x >.故应选(A).

（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

F x f t dt =

?的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】D.

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、

0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：

①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.

④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数

结合这些特点，可见正确选项为(D).

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *

分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩

阵O A B O ?? ???的伴随矩阵为

(A)**32O B A O ?? ???.

(B)**

23O B A O ??

???.

(C)**32O A B O ??

???

(D)**

23O A B

O ??

???

. 【答案】B.

【解析】根据CC C E *

=，若1

1,C C C C

C C

--*

分块矩阵O A B O ?? ???

的行列式

1236O A A B B O ?=-=?=（），即分块矩阵可逆 1

11661O B B

O A O A O A O B B O B O B O A

O A O A **

---*?? ???????

?=== ? ? ?

???????

123

6132

O B O B A

O A O ***

? ?

== ? ? ???

???

故答案为(B).

（6）设,A P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002T

P AP ?? ?= ? ???

，

若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)210110002??

? ? ???.

(B)110120002??

? ???.

(D)100020002?? ? ? ???

【答案】A.

【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα??

??=+==??????

，即： 12121212122112(1)

[(1)][(1)](1)[](1)

100(1)01

0(1)0021101

001002100100101101100010

02001002T T T

T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===??

??=??????

????????

????????==???

?????????????????????

（7）设事件A 与事件B 互不相容，则

(A)()0P AB =.

(B)()()()P AB P A P B =. (C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

【答案】D.

【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB = (A)()()1()P AB P A

B P A B ==-，因为()P A B 不一定等于1，所以(A)不正确.

(B)当(),()P A P B 不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除.

(D)()()1()1P A

B P AB P AB ==-=，故(D)正确.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

1{0}{1}2

P Y P Y ====

，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()z F Z 的间断点个数为（） (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

【答案】 B.

【解析】()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==

[(0)(1)]2

[(00)(1)]2

P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==?≤=+≤=

,X Y 独立

()[(0)()]2

Z F z P x z P x z ∴=?≤+≤

（1）若0z <，则1

()()2Z F z z =Φ

（2）当0z ≥，则1

()(1())2

Z F z z =+Φ

0z ∴=

为间断点，故选(B).

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →=

【答案】

e . 【解析】cos cos 10x x x x -→→=02(1cos )lim 13

x e x x

→-=20212

lim 13x e x x →?=32e =. （10）设()y x

z x e =+，则(1,0)

x ?=? .

【答案】2ln21+. 【解析】由(

y z x e

=+，故()(),01x

z x x =+

()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++??????=+==++??????+?

代入1x =得，()

ln 21,01ln 22ln 212z e x

?=+=+ ???

（11）幂级数2

(1)n n n

n e x n ∞

=--∑的收敛半径为 . 【答案】

. 【解析】由题意知，()

10n

n n e a n

--=> ()

()

()11

2212

2111()11111n n n n n n

n n n

n e e e

a n n e n a n e n e e +++++????--?? ???--????=?

=?→→∞??

+--+??--??

???????

所以，该幂级数的收敛半径为1e

（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元. 【答案】8000.

【解析】所求即为()QP Q P Q ''=+ 因为0.2p Q P

ξ'=

=-，所以0.2Q P Q '=- 所以()0.20.8QP Q Q Q '=-+= 将10000Q =代入有()8000QP '=.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T

αβ相似于300000000?? ? ? ???

，则k = .

【答案】2.

【解析】T αβ相似于300000000??

????????

，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T

αβ的特征值为

3，0，0.而T αβ为矩阵T

αβ的对角元素之和，1300k ∴+=++，2k ∴=.

(14)设1X ，2X ,…,n X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则ET = . 【答案】2

【解析】由222

()(1)ET E X S E X ES np np p np =-=-=--=.

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数()

22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.

【解析】2(,)2(2)0x f x y x y '=+=，2

(,)2ln 10y f x y x y y '=++=，故1

0,x y e

= =

. 221

2(2),2,4xx

yy xy

f y f x f xy y

''''''=+ =+ =. 则12(0,)1

2(2)xx

f e ''=+

，1(0,)0xy

f ''=，1

(0,)yy e

f e ''=.

0xx

f ''>而2()0xy xx yy f f f ''''''-< ∴二元函数存在极小值11(0,)f e e

=-.

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

(0)x >.

t =得222

12,1(1)tdt

x dx t t -= =--

2221

ln(1ln(1)1ln(1)11111

dx t d t t dt t t t =+-+=---+???

而

22111112

()11411(1)111ln(1)ln(1)2441

dt dt

t t t t t t t C t =---+-++--++++??

所以

2ln(1)111

ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=+-?

（17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. 【解析】由22

(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，

32(sin cos )

()(cos sin )0

x y dxdy d r r rdr πθθθθθπ

+∴-=-???

332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ?+?=-?????? 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-?+?+?

3384(cos sin )(sin cos )34

d πθθθθθπ=-?+?

3444

38814(sin cos )(sin cos )(sin cos )334

d ππ

πθθθθθθπ=++=?+?83

=-.

（18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则

(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,

,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +

→=，

则'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()

()()()()f b f a x f x f a x a b a

?-=--

--，易验证()x ?满足：

()()a b ??=；()x ?在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且

''()()

()()f b f a x f x b a

?-=-

根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'

()0?ξ=，即

'()f ξ'()()

0,()()()()f b f a f b f a f b a b a

ξ--

=∴-=--

（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈?，使得

()

0'00()(0)

x f x f f x ξ-=

-……()*

又由于()'

lim x f x A +

→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：

()()

000000'''0

000()00lim lim ()lim ()0

x x x x x f x f f f f A x ξξξ+

+++→→→-====- 故'

(0)f +存在，且'(0)f A +=.

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线

0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯

形面积值的t π倍，求该曲线的方程.

【解析】旋转体的体积为2

2()()11

x x t t V f dx f dx ππ==??

曲边梯形的面积为：()1x t

s f dx =

?，则由题可知

22()()()()1111

x x x x t t t t

V ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=?=?=????

两边对t 求导可得2

()()()()()()11t x t t t x t t f f dx tf f tf f dx =

+?-=??

继续求导可得'

2()()()()()f t f t f t tf t f t --=，化简可得

1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y -=?+=，解之得1

t c y y -=?+

在

式中令1t =，则2

(1)(1)0,

()0,(1)1f f f t f -=>∴=，代入1

t cy

y -

得11,2)33c t y =∴=+.

所以该曲线方程为：230y x +=.

（20）（本题满分11 分）

设111A=11

1042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-?? ?

= ? ?-??

. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，2

31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=

()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------??????

? ? ?

=-→→ ? ? ? ? ? ?---??????

()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =

故21101021k ξ???? ? ?

=-+ ? ? ? ?????

，其中1k 为任意常数

解方程2

31A ξξ=

2220220440A ?? ?=-- ? ???

()2

11110

22012,2201000044020000A ξ-?

? ?

-?? ? ?=--→

? ? ? ?-?? ?

故有两个自由变量，令231,0x x =-=，由2

0A x =得11x = 令230,1x x ==-，由2

0A x =得10x =

求得特解21200η??- ? ?

= ? ? ???

故 3231102100010k k ξ??

???? ? ? ?=-++ ? ? ? ? ? ?-???? ?

，其中23,k k 为任意常数

（Ⅱ）证明：由于

121

212121221111

12(21)()2()(21)22

221

k k k k k k k k k k k k k -+

--=+++-+-+-+102=≠

故123,,ξξξ 线性无关.

（21）（本题满分11 分）

设二次型222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为22

11y y +，求a 的值.

【解析】（Ⅰ） 0

101111a A a a ?? ?

=- ? ?--??

0110||01

()

111

E A a

a a a λλλλλλλλ-----=

-=---+---+

222()[()(1)1][0()]

()[()(1)2]()[22]

(){[(12)]}

()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--

123,2,1a a a λλλ∴==-=+.

（Ⅱ）若规范形为22

12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则

1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合

3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意综上所述，故2a =

（22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0

x e y x

f x y -?<<=?

?其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x （Ⅱ）求条件概率11P X Y =?≤≤??? 【解析】

（Ⅰ）由0(,)0

x y x

e f x y -<

()0x

x x x f x e dy xe x --=

= >?

故 |(,)1

(|)0()y x x f x y f y x y x f x x

= <<

即 |1

(|)0y x y x

f y x x ? 0<

（Ⅱ）[1,1]

[1|1][1]

P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=

≤

而1

[1,1](,)12x

x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤=

===-????

()|

,0x x y

Y y

f y e dx e e y y

+∞

---+∞==-= >? 11101

[1]|110

y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-?

11122

[1|1]11

e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--.

（23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求10P X Z ?==???.

②求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球

12113324

(10)9

C P X Z C C ?∴====?.

（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故

()()()()()()()()()1111332311116666111

2231111

6666112211661122116611

0,0,1,046111

2,0,0,13631

1,1,2,10

0,29

1,20,2,20

C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ??========

????========???=======??====

?======