正弦定理和余弦定理复习题(含答案)

正弦定理和余弦定理复习题

班级：____________ 姓名：__________________

1．在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()()sin sin 2sin c C a b B a b A -+=-,则C =( ) A ．3π B ．3π或23π C ．6π D ．6π或56

π 2．在ABC ?中，角A ?B ?C 的对边分别是a ?b ?c ，若2A B =，4a =，3b =，则c 的值是（） A ．73c = B ．73c =或3c = C ．3c = D ．以上都不对

3．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224

a b c +-，则C = A ．π2

B ．π3

C ．π4

D ．π6 4．在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．

56π 5．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2

22b a c ac =++，且sin sin 1A C +=，则ABC ?的形状为（）

A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．最大角为锐角的等腰三角形

D ．最大角为钝角的等腰三角形 6．在ABC ?中，若

cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B +=+，则ABC ?的形状是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（）

A B C D ．10

．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 2cos ,b A a B c B +=b =则ABC V 外接圆的面积为________.

9．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ?的面积()2214

S a c =+，若

2sin sin B A C =，则角B 的值为______.

10．已知ABC ?的面积为1cos 7

C =

，2b a -=，则c =_______.

11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.

（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ?=ABC ?的周长.

12．如图,在四边形ABCD 中,2AB =,5BC =

,AC AD ⊥,2AC AD =. (1)若3BAC π

∠=,求AC ;

(2)求四边形ABCD 面积的最大值

1．A

解：()()2si in n sin s c C a b B a b A -+=-Q

2222c ab b a ab ∴--=-.即222

a b c ab +-=,则2221cos =22a b c C ab +-=, ()0,C π∈Q 3C π∴=

.故选：C

2．A ∵2A B =，∴sin sin22sin cos A B B B ==，所以2cos a b B =，42cos 2233

a B

b ===?， 2222cos b a

c ac B =+-，2291683

c c =+-?，解得3c =或73c =，当3c =时，3,4c b a ===，C B =，2180A B +=?，但不可能有2A B =，舍去． ∴73

c =．故选：A.

3．C 详解：由题可知222124

ABC a b c S absinC +-==V 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=

所以sinC cosC =()C 0,π∈Q C 4π∴=

故选C.

4．B

因为cos cos 2cos ,sin 0a B b A c C C +=≠，所以sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， sin()2sin cos A B C C +=，sin 2sin cos C C C =，1cos 2

C =， 0C π<

故选：B.

5．D 因为222

b a

c ac =++，所以2221cos 22c a b B ac +-==-，120B =?，

所以sin sin sin sin(60)A C A A +=+?-31sin cos sin sin 123A A A A π??=+-=+= ???. 又03A π<<

，所以6A C π==，则ABC ?的形状为最大角为钝角的等腰三角形. 故选D 6．D 由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B

+===+，cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =，即90C =o 或cos cos C b B c =，由正弦定理，得cos cos ,cos cos b B C sinB c C B sinC

=∴=，即sin cos sin cos C C B B =，即22sin C sin B =，,B C Q 均为ABC ?的内角，22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=o 或90B C +=o ，ABC ?∴为等腰三角形或

直角三角形，故选D.

7．C

如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ，

易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=，

在Rt ADE ?中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，

在ACD ?中，由余弦定理得2222310cos 210252

AC AD CD DAC AC AD +-∠===???，故选C ．

8．4π.

解：因为cos cos 2cos ,b A a B c B +=

由正弦定理sin sin sin a b c A B C

==可得：sin cos sin cos 2sin cos ,B A A B C B += 即sin()2sin cos ,A B C B +=即 sin 2sin cos ,C C B =又sin 0C >，

即1cos 2B =，又()0,B π∈，所以3sin B =，设ABC V 外接圆的半径为R ，

则24sin 2

b R B === ，即2R =，则ABC V 外接圆的面积为2224R πππ=?=，故答案为：4π.

9．512

π 因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+

所以22sin 2cos ac B b ac B =+

由2sin sin B A C =

结合正弦定理，得2b =

所以2sin 2cos ac B ac B =+

)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π??-= ??

?，因为()0,B π∈，所以得46B ππ-

=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：

512π 10．8

解：Q 1cos 7C =

，sin C ∴=

1sin 2

S ab C == 可得35ab =①，2b a -=②由①②解得：7b =，5a = 余弦定理：222

1cos 72a b c C ab

+-== 解得：8c =

故答案为：8．

11．（1）3C π

=（2

）5

试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=

12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=?=

?= （2

）11sin 622ABC S ab C ab ab ?=?=?= 又2222cos a b ab C c +-=Q

2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=?+=

ABC ?∴的周长为57+

12．21;(2)9

104.

(1)当3BAC π

∠=时,在ABC ?中,由余弦定理得

2222cos AB AC AB AC BAC BC +-??∠=，设AC x =(0x >),则221

22252x x +-???=,

即2210x x --=,解得21x =，所以21AC =；

(2)ABC ?的面积为5sin ABC S B ?=，在ABC ?中,由余弦定理得2945AC B =-, 所以,ACD ?的面积为219

544ACD S AC B ?==，

所以,四边形ABCD 的面积为 9

5510444S B B B π??

=-=+- ???，

因为()0,B π∈,所以当34B π

=时,四边形ABCD 的面积最大, 最大值为9

104