自控原理习题参考答案(8)

第八章习题参考答案

8-3 设系统如图8-30所示，其中继电器非线性特性的a ＝1。试用描述函数法分析系统是否会出现自持振荡？如存在，试求出系统自持振荡的振幅和频率的近似值。

解：死区继电特性的描述函数为： 2

)(

14=

)(A

a A

πM A N － （A ≥a ）

将M =1，a =1代入上式得：

2

2

)1(

14=

)(

14=

)(A

A

πA a A

πM A N －－

当A

令F (A )=－1/N (A )，则

232

2

)

1()2(4=)(－－－

A A A πdA

A dF

由

0=dA

)A (dF ，得2=

A 。

＜０－－－－

πA A A πdA

)A (F d A A =)

1(1)2+(4

=2

=

3

2

2

2

2

=

2

2

因此，当2=A 时，负倒描述函数有最大值：

7.51=2

=1

4

=)

(1=

)

(12

=

2

22

=

－－

－－

－－πA A

πA N A N A A max

负倒描述函数曲线如下图所示。 系统线性部分传递函数为：)

2+)(1+(10=

)(s s s s G

图8-30 题8-3图

r c

+

-e

m

0a

1

10(1)(2)

s s s ++

其频率特性为：)

2+)(1+(10

=

)(j ωj ωωj ωj G

幅频特性和相频特性分别为：

)

4+)(1+(10

=

|)(2

2

ωωωωj G |， ω.a r c t a n ωa r c t a n ωφ5090=)(－－－

令 180=)(－ωφ，即 180=5090=)(－－－－ω.arctan ωarctan ωφ

90

=50+ω.arctan ωarctan →

90

=.501.512

ω

ωarctan

－

解得2=ω，此时7

.61≈35=18

210

=

)

4+)(1+(10

=

|)2(2

2ωωωj G |

因此，当2=ω时，线性部分奈氏曲线ΓG 与负实轴的交点坐标为（－1.67，j 0）。 ΓG 曲线如下图所示。由图可见，ΓG 曲线和－1/N (A )曲线存在两个交点。 由1

4

=)(1)2+)(1+(10=

)(2

2－－

＝－A A

πＡＮj ωj ωωj ωj G

解得两组解：2

=1ω，2.21=1A 和2

=

2ω，37.1=2A

根据周期运动稳定性判据，A 1和ω1对应不稳定的周期运动；A 2和ω2对应稳定的周期运动。

当初始条件或外扰动使A A 1，则系统运动存在自振荡：

t sin

.)t (e 2731=

()

jY ω()

X ωω=∞

ω=7.61－7.1５－

)

(1

A N －