概率论与数理统计期末考试复习资料
概率论与数理统计总结
第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象:在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间:随机现象的一切可能基本结果组成的集合,记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果,又称为样本点。 3、 随机事件:随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示,Ω表示必然事件, ?表示不可能事件。 4、 随机变量:用来表示随机现象结果的变量,常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种: (1) 用集合表示,这是最基本形式 (2) 用准确的语言表示 (3) 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 (1)包含关系:如果属于A 的样本点必属于事件B ,即事件 A 发生必然导致事 件B 发生,则称A 被包含于B ,记为A ?B; (2)相等关系:若A ?B 且B ? A ,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。 (3)互不相容:如果A ∩B= ?,即A 与B 不能同时发生,则称A 与B 互不相容 7、事件运算 (1)事件A 与B 的并:事件A 与事件B 至少有一个发生,记为 A ∪B 。 (2)事件A 与B 的交:事件A 与事件B 同时发生,记为A∩ B 或AB 。 (3)事件A 对B 的差:事件A 发生而事件B 不发生,记为 A -B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 (4)对立事件:事件A 的对立事件(逆事件),即 “A 不发生”,记为A 。 对立事件的性质:Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)棣莫弗公式(对偶法则):B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域:含有必然事件Ω ,并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域,又称为σ代数。具体说,事件域ξ满足: (1)Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ,则对立事件A ∈ξ; (3)若A n ∈ξ,n=1,2,···,则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜
色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
概率论与数理统计小结
概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式: )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式:∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,二项分布,指数分布,正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布,则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布,则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布,则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布,则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布,则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布,则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .
概率论与数理统计必考大题解题索引
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制:王健 审核: 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式: ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为,为的事件,B ,B ,……,B 为的划分,且>0,则有: P ?…其中有:。特别地:当n 2时,有: 贝叶斯公式: ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ,B ,……,B 为S 的一个划分,且P ,……则有:特别地: 当n 2时,有: 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求: (1)恰好取到不合格品的概率; (2)若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。 解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件i A 表示:“取到的产品是第i 家工 厂生产的”(i =123,,)。 则Ω== 3 1i i A ,且P A i ()>0,321A A A 、、两两互不相容,由全概率公式得 (1)∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
概率论和数理统计知识点总结[超详细版]
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0< 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学,既是重要的基础理论,又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来,随着计算机的发展以及各种统计软件的开发,概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括:极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论;随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域,包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模,理论分析、推导,数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析,以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后,其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中,他提倡让实际数据说话,其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域,对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例:有四张彩票供三个人抽取,其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽,他的中奖概率是25%,结果没抽到。第二个人看了,心里有些踏实了,他中奖的概率是33%,结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花,其他的人都失败了,觉得自己很幸运,中奖的机率高达50%,可结果他同样没中奖。由此看来,概率的大小只是在效果上有所不同,很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别,每个人中奖的概率都是50%,即中奖与不中奖。 同样的道理,对于个人而言,在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的,只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分,那应该不是针对个体而言,而是从一个群体出发,因为不同的人有不同的信念,有不同的做事方法。把地球给撬起来,这在大多数 2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导 讲义 第1章随机事件和概率 一、考研辅导讲义 1.随机现象与样本空间 (1)随机现象 在一定的条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象. (2)样本空间 随机现象的一切可能的基本结果,组成的集合,称是由基本结果构成的样本空间,记作,又称样本点. (3)随机事件 样本空间的子集称为随机事件,简称事件,常用大写字母A,B,C等表示.注: ①随机事件是由样本空间中的样本点组成,由一个样本点组成的子集是最简单件,称为基本事件. ②随机事件既然由样本点组成,因此,随机事件是由基本事件组成. ③如果一次试验的结果为某一基本事件出现,就称该基本事件出现或发生.如果组成事件A的一个基本事件出现或发生,也称事件A出现或发生. ④把Ω看成一事件,则每次试验必有Ω中某一基本事件(即样本点)发生,也就是每次试验Ω必然发生,称Ω为必然事件. ⑤把不包含任何样本点的空集看成一个事件,称为不可能事件. (4)随机变量 表示随机现象结果的变量称为随机变量,常用大写字母X,Y,Z,或者ξ,η等表示.2.事件间的关系 (1)包含关系 如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,或称事件A包含于事件B,记为或. (2)事件相等 若与同时成立,则称事件A与事件B相等,记作A=B. (3)互斥事件(互不相容事件) 若事件A与事件B满足关系,即A与B同时发生是不可能事件,则称事件A和事件B为互斥或互不相容,即两互斥事件没有公共样本点. 注:事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形: ①若n个事件中任意两个事件均互斥,即,i≠j,i,j =1,2,…,n,则称这n个事件是两两互斥或两两互不相容. ②如果可数无穷多个事件…中任意两个事件均互斥,即 ,i≠j,i,j=1,2,…,n,…,则称这可数无穷个事件是两两互斥或两两互不相容. 【例】对任意两个互不相容的事件A与B,必有(). A.如果P(A)=0,则P(B)=0 B.如果P(A)=0,则P(B)=1 C.如果P(A)=1,则P(B)=0 D.如果P(A)=1,则P(B)=1 【答案】C查看答案 0506 一.填空题(每空题2分,共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件,已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ,则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ,P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:1/3 。(2)若有放回地任取 2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为:21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2,0.5)的二项分布,则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5),E(X+Y)= 50 , 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为:0.12 。 2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为:0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ,(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 , Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ,16 )。《概率论与数理统计》课程学习心得
2021年《概率论与数理统计》考研复习笔记与辅导讲义
概率论与数理统计考试试卷与答案