初中数学数格点算面积综合实践教案

初中数学综合实践活动教案

课题：数格点算面积

一、活动目标

(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理； (2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；

(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。

二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。

四、活动过程：本活动分为两个阶段

第一阶段：课内活动

一．概念认识

如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点（如图中的点A 、B 、C 等）.

如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)

二．设疑：你会求图中格点多边形的面积吗？

介绍割补两种方法：

2．不妨S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格点数，L--它的边上的格点数，那么S N 、L 三者之间有什么关系呢？三、探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系

满足N=0的格点多边形中的S 、L 之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？

活动二探究N=1的格点多边形中S 与L 之间的关系

满足N=1的格点多边形中的S 、L 之间存在一个什么样的关系？

②

B A ③

C A

活动三探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系

观察上表，你又有了什么发现？

活动四探究N=3的格点多边形中S 与L 之间的关系

自主探究N=3时S 与L 之间的关系 1．示范引领：画N=3的格点多边形

2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系

活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系

A F

②③①

③

②D

活动六归纳分析S 、N 、L 三者关系

-+=N L S

介绍皮克定理

四、应用皮克定理求格点多边形的面积

下面的方格纸中，画出了一个“小鸟”的图案，已知每个小正方形的边长为1．你能求出“小鸟”所占的面积为多少吗？

五、共同交流课内活动体会

第二阶段：课外活动数学综合实践活动评价报告

初中数学格点与面积B同步练习及答案

九、格点与面积(B) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位). 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位). 3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形 ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致. 4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积. 5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积. 6.右图是一个8?12面积单位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH的面积. 7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只 “狗”所占的面积是多少? 8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点. 请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？ 9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米? 10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.

二、解答题: 1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC ?的面积. 2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形 DEFG的面积. 3.把等边三角形ABC每边六等分, 组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12 cm,试求图中三角形DEF的面积. 4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 5.5面积单位. 分析:解答这类问题可直接套用毕克定理: 格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1. 注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心. 解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位). 2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位). 3. 27.5面积单位. 解: ①由毕克定理得: 25+7÷2-1=27.5(面积单位). ②用拼割方法得: ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2) =54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位). 4. 48平方厘米. 解: ①内部格点数为: 9个; ②周界上格点数为: 8个; ③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).

(完整)初中数学综合实践活动方案

初中数学综合实践活动方案娄庄中学钱坤综合实践活动是指一种以学生的兴趣和直接经验为基础，以学生学习生活和社会生活密切相关的各类现实性、综合性、实践性问题为内容，以研究性学习为主导学习方式，以培养学生的创新精神和实践能力及体现对知识的综合运用为主要目的的实践性课程模式。一、在思想上提高认识。《数学课程标准》指出：数学知识源于生活，又应用于生活。数学实践活动是对这句话最好测验证。现在众多教师都认识到了它在教学中的地位与作用，但课本上每学期仅有的两个实践活动内容，远远满足不了教学实际的需要。教师要带领学生走出教室，接触社会，打开学生的眼界，增加学生的信息量，使他们看到生活之中处处有数学，数学是生活中不可缺少的有力工具。针对一年级学生的特点，结合学生所学的知识，鼓励学生联系生活实际，开展社会实践活动。我们设计了两个主题：1、对各村种植农作物产值情况的调查。2、调查本班学生家长对学生学习情况、学校教育工作支持情况的调查。通过本学期的数学实践活动，我们认为：开展好数学实践活动，教师任重而道远。我们应不断学习和思考，不断探索和尝试，构建具有个人特色的数学实践活动教学模式，为学生数学能力的提升，为学生的全面发展努力，再努力！二、培养学生多方面能力 1、观察能力。如学习了“找规律”与“观察物体”后，学生们

经常留心观察生活中的事物，从中发现问题、提出问题与探讨研究问题，观察能力也随之得到提高。 2、动手操作能力。 3、交流表达能力。数学实践活动课为学生提供合作与交流的广阔空间。数学交流主要表现在学会与他人合作，能与他人交流思维的过程与结果，初步形成评价与反思的意识。 4、质疑思考能力。在开展“找找生活中的角”活动中，学生结合身边一些物体指出角的存在。可有个别学生观察得很细致，他们发现生活中许多“角”的两条“边”不够直，顶点不尖，有点钝，并提出质疑：生活中的“角”并不像数学课本中描述的那样规范。经过大家激烈的探讨、验证与交流，总结出生活中物体表面的角与数学课中严格意义规定的角存在着一定的联系和区别。 5、创造能力。传统教学方法以及问题的答案往往是单一与绝对的，这不利于培养学生的创造性思维。创造性思维的特点是能从多角度、多层次与多侧面地分析问题，从而产生许多联想。三、活动中教师与学生的关系在综合实践活动中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。教师成为学生最可信赖的心理支持源。在综合实践活动中学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。

初中数学综合实践课案例.doc

初中数学综合实践课案例通过学生实践活动，经历“问题情境－建立模型－求解－解释与应用”的课题学习，体验数学内在联系，探讨一些具有挑战性的研究课题，发展学生应用知识和解决问题的意识和能力，让不同学生获得各取所需的知识。一、活动目的 (一 )让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，增强学好数学的愿望和信心;(二)创设问题情境 ,引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习;(三 )促进学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，促进学生的思维发展，培养学生自主探索能力。二、活动过程 : 1、创设问题情境，激发实践兴趣。某科技小组的学生在 3 名老师带领下，准备到仙女山公园考察，采集标本。当地有甲、乙两家旅行社，其定价都一样。但表示对师生都有优惠，甲旅行社表示带队老师免费，学生按8 折收费 ;乙旅行社表示师生一律按 7 折收费。经核算，甲、乙两家旅行社的实际收费正好相同。问科技小组一共有多少人师 :请一位已完成了的同学，把你的解法在黑板上展示一下。生 :解设科技小组共有 X 名同学，两家旅行社定价为“1。”80%X=70%(X+3)。解得 X=21。答 :科技小组共有21 名学生。师 : 正确，很好！如果上题中的科技小组增加学生人数，那么选哪家旅行社较合算 2、鼓励自主交流，让位学生实践。同学们七嘴八舌地说开了，讨论气氛非常热烈。生A:我们认为乙旅行社较合算。我们试算了当增加 1 人时，甲

旅行社 :80%×(21+1)=。乙旅行社 :70%×(24+1)=。>。所以选乙旅行社较合算。生 B:我也选乙旅行社，我认为试增加 1 人不放心，我一共试了20 人，得到这个结论。师 :以上两组讨论得很好。 3、感悟实践过程，体验实践乐趣。师:其它条件不变，选甲旅行社，学生人数应有什么变化生:学生人数小于21 人时，选甲旅行社合算。师:老师人数变为 2 人时，打折情况不变，又如何呢 (同学们一起讨论，气氛顿时跃起来。 )师 :请同学们谈谈你们的见解，好吗生1:我通过方程先算出两家旅行社实际收费一样的情况，再讨论其余情况。生2:我利用第 1 题的结论。因为，当甲旅行社乙旅行社价格一样，老师人数/ 学生人数 =3/21=1/7 时，得到2/ 学生人数 =1/7 。所以当学生人数为 14 名时两家收费一样。剩下的两个问题与前面同学的思路一样。 4、运用实践结果，发展创新意识。师:这位同学的发言很好！很新颖！是否正确，老师和同学们共同探讨。同学们还有其它想法吗生3:老师我还有其它解法。解 :设学生人数为X 人，单价为“1。”如选甲旅行社，即 80%X<70%(X+2)，则 X<14;如选甲、乙旅行社一样，即80%X=70%(X+2)，则X=14;如乙旅行社。即80%X>70%(X+2)，则 X>14; 三、活动小结刚才这位同学是用不等式解的，方法完全是正确的。这是我们今后要学习的内容，有兴趣的同学课后可以继续探讨、实践 (给学生提供探索、交流的空间 )。四、活动反思

初中数学综合实践活动方案

初中数学综合实践活动方案综合实践活动是指一种以学生的兴趣和直接经验为基础，以学生学习生活和社会生活密切相关的各类现实性、综合性、实践性问题为内容，以研究性学习为主导学习方式，以培养学生的创新精神和实践能力及体现对知识的综合运用为主要目的的实践性课程模式。一、在思想上提高认识。《数学课程标准》指出数学知识源于生活，又应用于生活。数学实践活动是对这句话最好测验证。现在众多教师都认识到了它在教学中的地位与作用，但课本上每学期仅有的两个实践活动内容，远远满足不了教学实际的需要。教师要带领学生走出教室，接触社会，打开学生的眼界，增加学生的信息量，使他们看到生活之中处处有数学，数学是生活中不可缺少的有力工具。针对一年级学生的特点，结合学生所学的知识，鼓励学生联系生活实际，开展社会实践活动。我们设计了两个主题： 1、对各村种植农作物产值情况的调查。 2、调查本班学生家长对学生学习情况、学校教育工作支持情况的调查。通过本学期的数学实践活动，我们认为开展好数学实践活动，教师任重而道远。我们应不断学习和思考，不断探索和尝试，构建具有个人特色的数学实践活动教学模式，为学生数学能力的提升，为学生的全面发展努力，再努力！二、培养学生多方面能力

1、观察能力。如学习了“找规律”与“观察物体”后，学生们经常留心观察生活中的事物，从中发现问题、提出问题与探讨研究问题，观察能力也随之得到提高。 2、动手操作能力。 3、交流表达能力。数学实践活动课为学生提供合作与交流的广阔空间。数学交流主要表现在学会与他人合作，能与他人交流思维的过程与结果，初步形成评价与反思的意识。 4、质疑思考能力。在开展“找找生活中的角”活动中，学生结合身边一些物体指出角的存在。可有个别学生观察得很细致，他们发现生活中许多“角”的两条“边”不够直，顶点不尖，有点钝，并提出质疑生活中的“角”并不像数学课本中描述的那样规范。经过大家激烈的探讨、验证与交流，总结出生活中物体表面的角与数学课中严格意义规定的角存在着一定的联系和区别。 5、创造能力。传统教学方法以及问题的答案往往是单一与绝对的，这不利于培养学生的创造性思维。创造性思维的特点是能从多角度、多层次与多侧面地分析问题，从而产生许多联想。三、活动中教师与学生的关系在综合实践活动中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。教师成为学生最可信赖的心理支持源。在综合实践活动中学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。四、数学实践活动教学应注意的几个问题

小学奥数：格点型面积(毕克定理)资料讲解

小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】如图，44 ?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为1 2 L S N =+-．

【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积． ⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴⑷ ⑶ 【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．

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小学数学综合实践活动课教案植树的学问熊颖慧

植树的学问【活动内容】植树的学问【活动目的】 1、利用学生熟悉的情境，通过动手操作的实践活动、观察、分析等探究活动，发现间隔数与植树棵数之间的关系。 2、感受数学与生活的紧密联系，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的逻辑思维能力。 3、通过合作学习，协作探索，培养学生的合作和创新意识，发展学生的个性品质。【活动准备】学生：剪刀、塑料管、活动卡。教师：课件。【活动过程】一、创新情境，激趣导入媒体导入。同学们，你们听过龟兔赛跑的故事吗？比赛谁赢了？小兔可不服气呢，于是它们决定再比一次。在第二次比赛中，小兔可认真了。瞧，它正往目的地跑。来，我们给它加油！呀！一条小河挡住了去路。（媒体画面河里有几个石墩）你们猜猜看，小兔要跳几次，才能跳过河。谁能说一说？继续播放——同学们仔细看看，小兔究竟跳了几次。师：我们再看画面，每两个小石墩之间的距离可以说成是一个间隔。小石墩的个数与间隔数之间到底有什么关系呢？有没有规律可循？二、自主探究，动手实践

活动一：探究“在一条线上，剪的次数与段数的关系” 师：请同学们拿出准备好的塑料管，你想将这些塑料管分别剪成几段？先猜一猜要剪几次？再动手试一试，看一看，剪的次数与段数之间有什么规律？师：下面请小组长将活动卡发给小伙伴，每人一张。师：每一位同学的手中都有塑料管。先想想自己准备将塑料管剪成几段？再猜一猜要剪几次？然后动手试一试，将你们操作情况填写在活动卡中。认真观察卡中的数字与小伙伴说一说，剪的次数与段数有什么关系？比一比，看谁最先完成。活动开始。师：你发现剪的次数与段数有什么样的关系？让学生们充分发言交流，重点让学生说出剪的段数、次数以及段数与次数之间的关系。师：刚才同学们在剪塑料管的活动中探究得非常认真，发现了剪的次数与段数的关系。好，现在请大家把小剪刀、塑料管和活动卡收到抽屉里。看谁的速度快。活动二：探究植树问题中棵树与段数间的关系师：其实生活中，类似于小兔跳石墩和剪塑料管的现象还有很多。比如在路的两侧植树，树与树之间间隔一定的距离，这就需要计算准备多少棵树苗。在数学上，我们把这类问题统称为“植树问题”。板书课题。 1.播放课件：这是新盖的两座楼，它们之间的距离是100米，如果每隔5米栽一棵树。一共需要多少棵树？

格点与面积-小学奥数知道点详解(新)

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。例1：求下面各图形的面积。【解析】：

初中数学综合实践课教案设计[1]

??初中数学综合实践课教案设计教学目标：（1）、显性目标 1、了解数学建模的含义；探究数学建模的基本规律。 2、挖掘教材，探索教材知识内容与现实问题的结合点。（2）、隐性目标 1、初步学会用建模的方法解决现实问题；让学生深刻地认识到数学文化的价值，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 2、提高学生分析问题、解决问题的能力；提高学生数学实践能力。 3、学会以教材为本编拟数学应用问题的方法。教学准备： 1、材料：黄瓜、FLASH软件、小刀、多媒体各项设备。 2、知识：初中数学八年级部分几何、代数相关知识；环保、城建等知识。教学难点如何建立数学模型？挖掘教材中的应用问题的素材。教学难点：现实问题到数学模型之间的信息加工、分析处理过程。教学原则： “三主”原则教学方法：实验法、讲授法、启发发现法教学手段：多媒体辅助教学。即用现代教育技术展现数模化（抽象）的过程。教学过程：教学流程教师活动学生活动教学意图引言今天的课是一堂数学活动的研究课。学生认真伶听。为创设教学情境做伏笔。问题同学们有没有信心上好这堂研究课？你们怎样用所学的知识确定我们班的陈雪琴同学现在的位置？讲述两类方法：坐标确定和方向角确定。多媒体演示。学生以学习合作小组进行讨论并确定方案。学生回答学生看鼓动学生激活学生带学生进入教学情境了解数学文化的价值课题初中数学应用问题探究

实验材料准备：黄瓜三根、刀三把、一个有地砖或墙砖的场地、一个七人的学习小组。实验要求：每小组将黄瓜分成七份。（一组在教室内，另二组就在教室外）媒体演示：点击三个小组实际操作，并先代表陈述分配方案；其它学生在堂内设计分配方案。学生看、想激发兴趣；培养实践能力、语言表答能力、学生之间的协作能力。了解身边的数学。讲授数学建模：对一个现实问题从数学的视角经过信息分析、加工、抽象处理，用数学语言描述其中的关系、规律或空间形式转化成数学问题的过程。分析、加工、抽象例题：C岛在A岛北偏东50度方向,B岛在A岛北偏东80度方向,C岛在B岛北偏西40度方向,求从C岛看A,B两岛的视角,角∠ACB的度数答疑: 小结: 课后反思:

小学奥数格点型面积

板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12 L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少面积等于2平方厘米的三角形有多少个【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个． (1)面积等于1平方厘米的分类统计如下： ① ② ③ 底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个) ④ ⑤ ⑥ 底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个) 所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)． (2)面积等于2平方厘米的分类统计如下： 3×2=6(个) 1×2=2(个) 所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例 2】如图，44?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)． 11?的正方形：9个；22?的正方形：4个；33?的正方形：1个；以11?正方形对角线为边长的正方形：4个；以12?长方形对角线为边长的正方形：2个．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12 L S N =+-．例题精讲格点型面积

数格点算面积

数格点算面积一．活动目标 (1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理； (2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动； (3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻的平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点称为格点。如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形。 (如下图中的五边形ABCDE)。

有趣的是：这种称为格点多边形的面积可以根据图形内部及它的边上的格点的数目来计算，算法十分简捷。设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来探究S与N、L三者之间的关系。问题的研究应该从简单的图形入手。 1．如图①②③都是N=0的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。 2．根据以上图形以及你画的图形填表：图形序号S N L ① 1 0 4 ② 2 0 6

③ 3 0 8 ④ 3．观察图表可以发现：1 2 1 - =L S。判断一下在你画的图中这个关系式是否成立？ 4．如图⑤⑥⑦都是N= 1的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。 5．根据以上图形以及你画的图形填表：图形序号S N L ⑤ 2 1 4 ⑥ 2.5 1 5 ⑦ 4.5 1 9 ⑧ 6．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示S ？

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题． 1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7 2 -1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，

②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米． 2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)． 3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?

数学实践活动教案10数格点算面积

初中数学实践课教案10 课题数格点算面积一、活动目标 (1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律； (2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位. 如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE) 凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁, 这样的多边形叫做凸多边形. 而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形. 二．自主探究 1 2．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数 a b

为L ，写出下图中格点多边形的N 、L 3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．格点多边形 1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S 2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S 3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S

第二阶段课内活动一．对第一阶段活动的再认识 1．认识格点多边形 2．识别凹、凸多边形 3．归纳格点多边形面积的求法 4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0来吗？活动二探究N=1 满足N=1 活动三探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）观察上表，你又有了什么发现？活动四自主探究N=3时S 与L 之间的关系 1．示范引领：画N=3的格点多边形 2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中 S 与L 之间的关系

小学数学《格点问题》练习题(含答案)

小学数学《格点问题》练习题（含答案）教学内容：教学目标：通过对实际问题的分析，让学生了解格点问题与一般求面积问题的不同，拓宽解答问题的方法的思路，提高学生分析问题，解答问题的能力。教学重点：理解解答格点问题的思想与方法教学难点：区别格点问题与一般求面积问题的不同点。教学方法：自主探究、合作交流教学准备：多媒体课件，围棋教学过程：一、创设情境，激情引入老师：今天老师给大家带来了一个围棋，大家看围棋上有些什么啊？学生观察围棋，讨论。老师：现在老师分为两组，每组派一个代表来比赛。围棋上有很多正方形格子，如果规定一个正方形格子的面积是1，请每组的代表数一数这个围棋的面积是多少？看谁数的最快最准确。学生数格子求面积。老师：好，我们看一看谁数的最准确。二、引入新课 1.格点问题主要有正方形格点问题和三角形格点问题两种。

（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的。每一个小方格都是一个小正方形，并且大小都相等，规定它的面积为单位1。以这样的点为顶点画出的多边形称为正方形格点多边形。（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”“∴”，形状，所形成的三角形都是等边三角形。规定它的面积为单位1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。三、自主探究： 1、出示例1：规则正方形格点多边形面积【例1】下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。它们的面积分别是多少？ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （1）（2）（3）（4） 2、引导学生读题，分析题意： 3、学生自主探究。 C B E D

初中数学数格点算面积综合实践教案

初中数学综合实践活动教案课题：数格点算面积一、活动目标 (1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理； (2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动； (3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。四、活动过程：本活动分为两个阶段第一阶段：课内活动一．概念认识如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点（如图中的点A 、B 、C 等）. 如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE) 二．设疑：你会求图中格点多边形的面积吗？

介绍割补两种方法： 2．不妨S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格点数，L--它的边上的格点数，那么S N 、L 三者之间有什么关系呢？三、探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系满足N=0的格点多边形中的S 、L 之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？活动二探究N=1的格点多边形中S 与L 之间的关系满足N=1的格点多边形中的S 、L 之间存在一个什么样的关系？ ② B A ③ C A

初中数学综合实践课案例.pdf

初中数学综合实践课案例作者单位：何坊一中作者姓名：张秀华

课题：如何节约开支教学目的： (1)让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，增强学好数学的愿望和信心; (2)创设问题情境,引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习; (3)促进学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，促进学生的思维发展，培养学生自主探索能力。课前准备：（1）调查自己家里一个月的上网时间；（2）不等式和一次函数的有关知识。教学重点：如何建立数学模型？挖掘教材中的应用问题的素材。教学难点：现实问题到数学模型之间的信息加工、分析处理过程。教学方法：实验法、讲授法、启发发现法教学手段：多媒体辅助教学。即用现代教育技术展现数模化（抽象）的过程。教学过程 1、创设情境，激发兴趣。

我校科技小组的学生在3名老师带领下，准备到外地考察，采集标本。现有甲、乙两家旅行社，其定价都一样。但表示对师生都有优惠，甲旅行社表示带队老师免费，学生按8折收费;乙旅行社表示师生一律按7折收费。经核算，甲、乙两家旅行社的实际收费正好相同。问科技小组一共有多少人？同学们分组展开讨论，很容易想到利用方程解决。请一位已完成了的同学，把你的解法在黑板上展示一下。解：设科技小组共有X名同学，两家旅行社定价为“1”。根据题意列方程得：80%X=70%(X+3)。解得X=21。答:科技小组共有21名学生。师生共同评价。正确，很好！ 2、自主交流，学生实践。如果上题中的科技小组增加学生人数，那么选哪家旅行社较合算？同学们七嘴八舌地说开了，讨论气氛非常热烈。A组:我们认为乙旅行社较合算。我们试算了当增加1人时，甲旅行社:80%×(21+1)=17.6。乙旅行社:70%×(24+1)=17.5。17.6>17.5。所以选乙旅行社较合算。B组:我也选乙旅行社，我认为试增加1人不放心，我一共试了20人，得到这个结论。师:以上两组讨论得很好。如果上题中科技小组的学生人数减少呢？情况又会怎样？通过同学们的讨论实践得出，当学生人数减少时，选家旅行社合算。 3、感悟过程，体验乐趣。在上面的问题中，其它条件不

初中数学综合实践课论文

初中数学综合实践课论文概要：随着时代的发展，科创与STEM教育在我国不断地蓬勃发展，我们学校师生也积极参与到科创与STEM的教育中来，在初中数学综合实践课中，面对生活中的实际问题，学生尝试运用在STEM化的学科中的学习工具，以及创造性思维来解决问题，对孩子们的创新思维培养有着较大的推动作用。笔者以信息技术为依托，尝试将时下较热的PBL项目式学习融合。STEM教育的精髓是解决实际问题，PBL项目式学习精髓在于学生以团队的形式完整经历解决复杂问题的过程，将二者结合，通过一系列是以解决问题为最终目标，围绕实际的项目式问题展开教学。本文以“哪个城市夏天更热”为例，阐述如何在科创与STEM教育理念下，通过项目式问题展开教学，从而培养学生的创新意识。一、课程资源再设计（一）教学内容的跨学科整合与创新本节课学习安排在北师大版教材八年级上册，是以比较两个城市夏天更热作为研究内容。笔者大胆对教材进行了重新设计，通过项目式问题，课前让学生投票决定选择哪个主题进行研究，以及同一主题，选择哪两个地方进行比较。最终选定了两个研究主题主题一：哪个城市夏天更热？吐鲁番盆地和重庆？主题二：哪个地方冬天更冷？漠河和雪乡？这一改动一是让学生自主确定项目式问题并展开研究，二是给学生更多的、更开放的学习资源和空间，让他们从历史人文，风土，地理，数学等多方面，多角度去搜集相关资料。（二）教学设计上的颠覆传统意义上的数学综合实践课是，教师布置任务，学生完成任务并分享。本节课笔者大胆地通过项目式问题展开问题展开教学。课前让学生完成以下三个活动： 1.活动一：选题（1）主题一：哪个城市夏天更热？吐鲁番盆地和重庆？（2）主题二：哪个地方冬天更冷？漠河和雪乡？ 2.活动二：提前一周布置学生

初中数学综合实践活动计划

生活中的事物，从中发现问题、提出问题与探讨研究问题，观察能力也随之得到提高。 2、动手操作能力。 3、交流表达能力。数学实践活动课为学生提供合作与交流的广阔空间。数学交流主要表现在学会与他人合作，能与他人交流思维的过程与结果，初步形成评价与反思的意识。 4、质疑思考能力。在开展“找找生活中的角”活动中，学生结合身边一些物体指出角的存在。可有个别学生观察得很细致，他们发现生活中许多“角”的两条“边”不够直，顶点不尖，有点钝，并提出质疑：生活中的“角”并不像数学课本中描述的那样规范。经过大家激烈的探讨、验证与交流，总结出生活中物体表面的角与数学课中严格意义规定的角存在着一定的联系和区别。 5、创造能力。传统教学方法以及问题的答案往往是单一与绝对的，这不利于培养学生的创造性思维。创造性思维的特点是能从多角度、多层次与多侧面地分析问题，从而产生许多联想。三、活动中教师与学生的关系在综合实践活动中，教师不再是传授者，而是促进者，作为促进者的关键是促进学生自主学习，促使学生自己去感知体验、实验观察、探究研讨。教师成为学生最可信赖的心理支持源。在综合实践活动中学生不再是一个被动的接受者，而是一个充满主动精神的探索的主体，一个提出问题并尝试解决问题的研究者。师生之间是合作的关系，共同投身于问题的研究过程，共同享受成功的喜悦。

小学奥数格点型面积精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416 ?=(面积单位)；毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 1 2 L S N =+- 例题精讲 4-2-7.格点型面积

图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315?=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210?÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315?=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+?÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+?÷=（）(面积单位)．如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10 ；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424?=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226?÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224?÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224?÷=；所求三角形的面积是 2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210?÷+?÷=(面积单位)．【答案】10 【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；

初中数学数格点算面积综合实践教案

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