自相关函数与互相关函数 不错的材料
2.4.3 相关函数
１．自相关函数
自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为
（2.4.6）
对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算
（2.4.7）
自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为
若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即
，则
对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为
由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质：
（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即
（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即
（2.4.9）
实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程
度，定义式为
（2.4.10）
当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与
x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质
常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：
（1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形
图2.4.4四种典型信号的自相关函数
（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。图2.4.5所示为噪声对相关函数的影响。
图 2.4.5噪声对相关函数的影响
2．互相关函数
随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为
(2.4.11)
互相关函数具有如下性质：
（1）互相关函数不是偶函数，是不对称的。
图2.4.6为两个随机信号x(t)和y(t)及其互相关函数图形，其峰值偏离了原点的位置反
映了两信号的时差。例如在
位置达到最大值，则说明y(t)
导前时间x(t)与
y(t)最相似。
（2），即x(t)与y(t)互换后，它们的互相关函数对称于纵轴（图2.4.7），说明使信号y(t)在时间上导前与使另一信号x(t)滞后，其结果是一样的。
（3）若两个随机信号x(t)和y(t)没有同频率周期成分，是两个完全独立的信号，则当时有
(2.4.12)
（4）频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。
例如两个周期信号为和，则其互相关函数为
(2.4.13)
用互相关系数表示互相关程度，即
(2.4.14)
互相关系数反映了两个随机信号之间的相关性，且。若x(t)和y(t)之间没有同频率的周期成分，那么当τ很大时就彼此无关，即。
微弱信号的检测
互相关函数的这些性质，使得它在检测技术中具有广泛的应用。最常见的应用有以下几种：
（1）确定时间延迟。假如某信号从A点传播到另一点B点，那么在两点拾取的信号
x(t)和y(t)之间的互相关函数，将在相当于两点之间时间延迟τ的位置上出现一个峰值。利用确定延迟时间的方法可以测量物体的运动速度，图2.4.8为测定轧钢时钢板运
动速度的示意图。利用两个距离为d的光电传感器A和B，得到钢板表面反射光强度变化的光电信号x(t)和y(t)，经互相关分析，确定时移τ，当τ等于钢板通过两个测点间的时
间时，两信号的互相关函数为最大值，则运动物体的速度为
（2）识别传输路径。假如信号从A点到B点有几个传输路径，则在互相关函数中就有几个峰值，每个峰值对应于延迟了时间的一个路径，例如用于声源和声反射路径的识别。
（3）检测淹没在外来噪声中的信号。假如信号s(t)受到外界的干扰形成复合信号
a(t)和b(t)，即a(t)=s(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信号，可以是确定性的或者随机的，而n(t)和m(t)是互不相关的噪声），那么互相关函数将仅含有a(t)和b(t)中的相关部分s(t)的信号，而排除了外来噪声的干扰。
（4）系统脉冲响应的测定。在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输
入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数就是被测系统的脉冲响应。这
种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。
互相关分析：地下输油管道漏损部位的检测
自相关函数与互相关函数 不错的材料
2.4.3 相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则
对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即 （2.4.9） 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程
度，定义式为 （2.4.10） 当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与 x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。 自相关函数的性质可用图2.4.3表示。 图2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程自相关函数图形
自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图
互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 ●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 ●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 -----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示： 自相关函数： dt=.1; t=[0:dt:100];x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a)
互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 3.实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即 R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t));%or use:yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause; subplot(3,1,3); plot(b*dt,z,'r'); 即在xcorr中不使用scaling。
自相关和互相关
1. 首先说说自相关和互相关的概念。 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个 判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效. 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？ dt=.1; t=[0:dt:100]; x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a) 上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 2. 实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause;
(完整版)相关函数及其应用
第一专题: 1、相关函数的计算方法（方法的选取及选取的原因） 2、相关函数的性质和应用（选一个应用讲解并仿真） 相关函数的计算方法 利用计算机计算自相关估值有两种方法。一种是直接方法，先计算出随机信号和它的滞后序列的乘积，再取其平均值即得相关函数的估计值。另一种是间接方法，先用快速变换算法计算随机序列的功率谱密度，再作反变换计算出相关函数。 1、直接计算 （1）公式计算 对于时域信号，可以直接按照下面的公式来计算其相关函数，两个能量信号 (t)s 1和(t)2s 互相关函数的定义为 ?+∞ ∞ +=-2112x )dt (t (t)s s (x )R 功率信号(t)s 1和(t)2s 的互相关函数定义为 ?+∞→+=2 /2 /-2112x)dt (t (t)s s 1lim (x)T T T T R （2）自相关函数的估计 在计算机处理数字信号的过程中，一般是对自相关函数进行估计来计算。 假定X[k]是宽平稳各态遍历信号，x[k]是其中的一个样本，其自相关可由单一样本x[k]的时间平均来实现，即 ∑==∞→++=N N N R k -k N x n]x [k]x [k 121lim [n] 由于在实际中仅能得到随即信号的一次样本序列x[0]，x[1]，……，x[N-1]，用[k]x N 来表示，因此只能得到自相关函数的估计，即 ∑-=+= 1 k N N n] [k [k]x x 1(n)N x N r
上式中，对每一固定延迟n ，可利用的数据只有N-n 个，所以自相关函数的估计可以表示成 ∑-=+= 1-n 0 k N N ] n [k [k]x x 1 (n)N x N r 2、间接算法 间接方法是利用自相关函数与其功率谱密度互为一对傅里叶变换的关系来计算的。在数字信号处理中，利用快速傅里叶变换的方法计算出功率谱密度函数的估值，然后再计算它的傅里叶反变换，即得自相关函数估值。由于采用了快速傅里叶变换算法，计算速度较快。如当N =2P 时，间接算法所需要的运算量约为8NP 次实数乘加运算。因此,两种方法的速度比是 速度比= 8p m p 8m =N N 如P ＝13，m ＝0.1N ＝819，则比值约为8，即间接算法比直接算法约快8倍。 对于能量信号，计算R(x)可用以下公式： ? +∞ ∞ =-fx j22 df e )f ((x )πS R 对于功率信号计算R(x)可用以下公式： ? ∑∞+∞ ∞ ∞ =-fx j20-2 df )e nf -(f δ(f) (x )πC R 相关函数的性质及应用 1、自相关函数的性质及其应用 自相关函数具有如下性质： （1） R(x)为实函数； （2） R(x)为偶函数，即R(x)=R(-x)； （3） R(0)等于信号的均方值； （4） 对于各态历经性的随机信号s(t)有R(x)在R(0)处取得最大值； （5） 当随机信号s(t)的均值为u 时，有2x u (x)lim =∞ →R ，当s(t)为确定性信号时， 当x →∞时，自相关函数值不为均值的平方；
Matlab自相关函数和互相关函数的计算和作图
自相关函数(Autocorrelation function，缩写ACF)是信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。 自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。 信号处理 在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。用来描述信息在不同时间τ的，信息函数值的相关性。 ，其中“*”是卷积算符，为取共轭 自相关函数的性质 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 ?对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(?i)。连续型自相关函数为偶函数当f为实函数时，有： 当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： 其中星号表示共轭。 ?连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有 。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。 ?周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 ?两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。 ?由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。
?连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ = 0 之外的所有点均为0。 ?维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对： ?实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式： 白噪声的自相关函数为δ函数： 自相关函数和偏相关函数的问题 在时间序列分析的研究中，首先是判别时间序列的稳定性，如果时间序列是平稳的就可以计算这些数据的自相关函数和偏相关函数。 如果自相关函数是拖尾的，偏相关函数是截尾的，那麽数据符合AR（P）模型。 如果自相关函数是截尾的，偏相关函数是拖尾的，那麽数据复合MA( Q )模型 如果自相关函数和偏相关函数都是拖尾的，那麽数据复合ARMA( P,Q )模型。 自相关函数和互相关函数的matlab计算和作图 1. 首先说说自相关和互相关的概念。 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与
自相关与互相关函数
相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与 另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间的信号，例如单个脉 冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则
对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率 ，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。 （2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即 （2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为 （2.4.10）
当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相关性的强弱。 自相关函数的性质可用图2.4.3表示。 图2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括： （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该 信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定 反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程自相关函数图形 正 弦 波
自相关函数
自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等 同于自协方差(autocovariance)。 统计学 R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2} 信号处理 R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt，其中“*”是卷积算符，(\cdot)^*为取共轭。 同一时间函数在瞬时t和t+a的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t 的函数，它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。延迟时间为零时，则 成为信号的均方值，此时它的值最大。 编辑本段 自相关函数的性质 以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维 情况推广得到。 对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(?i)。连续型自相关函数为偶 函数 当f为实函数时，有： R_f(-\tau) = R_f(\tau)\, 当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足： R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\, 其中星号表示共轭。 连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时τ，均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离 散型自相关函数亦有此结论。 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。 两个相互无关的函数（即对于所有τ，两函数的互相关均为0）之和 的自相关函数等于各自自相关函数之和。 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除τ = 0 之外 的所有点均为0。 维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功 率谱密度函数是一对傅里叶变换对： R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df
自相关函数和互相关函数计算和作图的整理之欧阳家百创编
自相关函数和互相关函数计算和作图的整理 欧阳家百（2021.03.07） 1. 首先说说自相关和互相关的概念。 --[转版友gghhjj]------------------------------------------------------------------------------------- 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号 x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --[转版友hustyoung]----------------------------------------------------------------------------------- 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？这个问题happy教授给出了完整答案： -----------[转happy教授]--------------------- dt=.1; t=[0:dt:100]; x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a) ----------------------------------------------------- 上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 2. 实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中 ×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3); plot(b*dt,a); yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y); z=conv(x,yy); pause; subplot(3,1,3); plot(b*dt,z,'r'); 即在xcorr中不使用scaling。 3. 其他相关问题： 1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系？ -------------[转版友gghhjj]------------------------------------------------------------------------------------- 相关系数只是一个比率，不是等单位量度，无什么单位名称，也不是相关的百分数，一般取小数点后两位来表示。 相关系数的正负号只表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量，因而不能说相关系数0.7是0.35两倍，只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。 对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致，但通常按下是这样认为的： 相关系数相关程度 0.00-±0.30 微相关 ±0.30-±0.50 实相关 ±0.50-±0.80 显著相关 ±0.80-±1.00 高度相关 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) 功率，能量，自相关函数的关系： ---[转happy教授]------------------------------------------------------------------------------------------- 参见https://www.360docs.net/doc/472305864.html,/jingpinke/xhst/final/XiTongJiaoCai/chap6/chap6_3/chap6_3_3.htm 需要指出的是，相关和相关函数的概念原本是为描述随机过程的统计特征而引入的，称之为统计相关函数。按照随机过程的理论，要获得一个实际随机过程的统计相关函数是相当困难的，但对于满足各态历经性(遍历性)或广义平稳的随机过程，它们的统计相关函数等于其一个样本函数的时间相关函数。从确定性信号引出相关的概念，是为后续课程的学习打下一个基础。 两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号变换与第二个信号变换取共轭二者之乘积，这就是相关定理。对于自相关函数，它的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。 周期余弦信号和它的自相关函数具有相同的角频率，即周期信号的自相关函数仍然是同周期的周期信号。 在实际应用中，有些信号无法求它的傅里叶变换，但是可以用求自相关函数的方法求得信号的功率谱。
互相关函数的应用
苏州大学《机械工程测试技术基础》课程作业 题目：互相关函数的应用——测量钢带速度、确定输油管裂损位置 姓名：王臻 学号：1442404033 年级：_14 级 专业：车辆工程 2017年04月03日
互相关函数的应用——测量钢带速度、确定输油管裂损位置 一、实验目的 1、理解相关性原理，掌握信号的互相关函数的求法以及互相关函数的特性。 2、利用互相关函数知识，探索测量钢带速度、确定输油管裂损位置的方法。 二、实验原理 1、相关的概念 相关是指客观事物变化量之间的相依关系，当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某个变量数值的确定，另一变量却可能去许多值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。在统计学中是用相关系数来描述两个变量x ，y 之间的相关性，相关系数的公式为: y x y x y x E σσμμρ)] )([(xy --= 注： E 为数学期望； x μ为随机变量x 的均值，x μ=E[x]； y μ为随机变量y 的均值，y μ=E[y]； x σ，y σ为随机变量x ，y 的标准差； 2x σ =E[(x- x μ)2] 2y σ=E[(y-y μ)2 ] 利用柯西—许瓦兹不等式: E[(x-x μ)(y-y μ)]2≦E[(x-x μ)2]E[(y-y μ)2] 式中 xy ρ是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性， 表征了x 、y 之间的关联程度；x σ、y σ 分别为随机变量x 、y 的均方差，是随机变量波动量平方的数学期望。 故知| xy ρ|≤1，当 xy ρ的绝对值越接近1，x 和y 的线性相关程度越好，当 xy ρ
互相关函数自相关函数计算和作图
互相关函数-自相关函数计算和作图
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互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 ●互相关函数是描述随机信号ｘ(t）,y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 ●自相关函数是描述随机信号x(t）在任意两个不同时刻t１，ｔ2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 ---－-－－-------－----－－－--－－－---------－-－------------－---－－--------－----－-－－--－-－--－- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(ｔ）,则自相关函数定义为Ｒ(u）=f(t)*f(-ｔ)，其中*表示卷积；设两个函数分别是ｆ（t)和ｇ(t），则互相关函数定义为R（u)=f(t）*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 2.利用ｍａtlab中实现这两个相关并用图像显示: 自相关函数：? dt＝.1; t=[０:dt:100];x=ｃos（t); [a,b]=xｃorr(x,'ｕnbiasｅｄ＇); ｐloｔ(b＊dt,ａ） ?
互相关函数：把［ａ,b]＝ｘｃｏrr(x,＇unbｉased');改为[a,b]=ｘｃｏｒr(x,ｙ,'ｕｎｂia ｓed');便可。 ?３. 实现过程: 在Ｍaｔalb中，求解ｘcorr的过程事实上是利用Ｆoｕrier变换中的卷积定理进行的，即R(ｕ)=ｉffｔ(fｆｔ(f）×ｆft(g)),其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算,但是结果会与xcorr的不同。事实上,两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码:??dt=.1; ｔ=[0:dt:１00];?x=3*ｓｉn（t）;?ｙ=ｃos（3*t)；?subplot(3,１,1); plｏｔ(t，ｘ）； ｓubplｏt(３,1，2);?ｐlot(t,ｙ); [ａ,b]=ｘcoｒｒ(x，y）； sｕbplot(３,１,３);?plot（b*dt,a）;?yｙ=cos(3*fliｐlr(t)); % ｏr ｕsｅ：ｙy=flｉplr(ｙ）; ｚ=ｃonｖ（x，yy); pause; sｕｂｐｌot（３,1,3）; plot(b＊dt,z,'r＇）;??即在xcoｒr中不使用scａling。 ?4. 其他相关问题：?1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系？
自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图
《 互相关函数，自相关函数计算和作图 1.自相关和互相关的概念。 互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。 互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。 -----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 】 2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示： 自相关函数： dt=.1; t=[0:dt:100];x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a)
互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。 ? 3. 实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即 R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t); y=cos(3*t); subplot(3,1,1); plot(t,x); subplot(3,1,2); plot(t,y); [a,b]=xcorr(x,y); subplot(3,1,3);
自相关函数和互相关函数的matlab计算和作图
自相关函数和互相关函数的matlab计算和作图 1. 首先说说自相关和互相关的概念。 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个 判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生 的误差非常有效. 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为 R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设 两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。 那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？ dt=.1; t=[0:dt:100]; x=cos(t); [a,b]=xcorr(x,'unbiased'); plot(b*dt,a) 上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr (x,y,'unbiased');便可。 2. 实现过程： 在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即 R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此 公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证 ，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码： dt=.1; t=[0:dt:100]; x=3*sin(t);
自相关与互相关函数
相关函数 １．自相关函数? 自相关函数就是信号在时域中特性得平均度量,它用来描述信号在一个时刻得取值与 另一时刻取值得依赖关系,其定义式为? (2、4、6）??对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。对于有限时间内得信号，例如单个脉 ?冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2、4、7)? 自相关函数就就是信号ｘ(t）与它得时移信号x(t+τ）乘积得平均值，它就是时移变量τ得函 ?数。??例如信号得自相关函数为 ? 若信号就是由两个频率与初相角不同得频率分量组成,即 ，则? ?对于正弦信号,由于，其自相关函数仍为??? 由此可见，正弦（余弦）信号得自相关函数同样就是一个余弦函数。它保留了原信号 ?得频率成分,其频率不变，幅值等于原幅值平方得一半，即等于该频率分量得平均功率 ?，但丢失了相角得信息。??自相关函数具有如下主要性质： ? (１）自相关函数为偶函数,，其图形对称于纵轴。因此,不论时移 方向就是导前还就是滞后(τ为正或负)，函数值不变。 （２）当τ=0时,自相关函数具有最大值，且等于信号得均方值，即 （２、4、8) ?（3）周期信号得自相关函数仍为同频率得周期信号。 （４）若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值得平方 ?，即? (２、4、9) 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间得相关程? 度,定义式为? (2、4、１0） ?当τ＝0时，＝１,说明相关程度最大;当τ＝∞时，,说明信号x（ｔ）与 x(ｔ＋τ）之间彼此无关。由于，所以.值得大小表示信号相 关性得强弱。??自相关函数得性质可用图2、4、3表示.
互相关函数的应用
互相关函数的应用 互相关函数的上述性质在工程中具有重要的应用价值。 (1) 在混有周期成分的信号中提取特定的频率成分。 【例3.7】用相关分析法分析复杂信号的频谱。 相关分析法分析复杂信号的频谱的工作原理如图3.24所示。 图3.24 利用相关分析法分析信号频谱的工作原理框图 根据测试系统的频谱定义=，可知，当改变送入到测试系统(这里就是指互相关分析仪)的已知正弦信号X()的频率(由低频到高频进行扫描)时，其相关函数输出就表征了被分析信号所包含的频率成分及所对应的幅值大小，即获得了被分析信号的频谱。 (2) 线性定位和相关测速。 【例3.8】用相关分析法确定深埋地下的输油管裂损位置，以便开挖维修。 如图3.25所示。漏损处K 可视为向两侧传播声音的声源，在两侧管道上分别放置传感器1和2。因为放置传感器的两点相距漏损处距离不等，则漏油的声响传至两传感器的时间 就会有差异，在互相关函数图上处有最大值，这个就是时差。设为两传感器的安装中心线至漏损处的距离，为音响在管道中的传播速度，则 用来确定漏损处的位置，即线性定位问题，其定位误差为几十厘米，该方法也可用于弯曲的管道。 图3.25 利用相关分析进行线性定位实例 【例3.9】用相关法测试热轧钢带运动速度。 图3.26所示是利用互相关分析法在线测量热轧钢带运动速度的实例。在沿钢板运动的
方向上相距L处的下方，安装两个凸透镜和两个光电池。当热轧钢带以速度移动时，热轧钢带表面反射光经透镜分别聚焦在相距L的两个光电池上。反射光强弱的波动，通过光电池转换成电信号。再把这两个电信号进行互相关分析，通过可调延时器测得互相关函数出现 最大值所对应的时间，由于钢带上任一截面P经过A点和B点时产生的信号x(t)和y(t)是完全相关的，可以在x(t)与y(t)的互相关曲线上产生最大值，则热轧钢带的运动速度为 。 图3.26 利用相关分析法进行相关测速 【例3.10】利用互相关函数进行设备的不解体故障诊断。 若要检查一小汽车司机座位的振动是由发动机引起的，还是由后桥引起的，可在发动机、司机座位、后桥上布置加速度传感器，如图3.27所示，然后将输出信号放大并进行相关分析。可以看到，发动机与司机座位的相关性较差，而后桥与司机座位的互相关较大，因此，可以认为司机座位的振动主要由汽车后桥的振动引起的。 图3.27 车辆振动传递途径的识别
自相关与互相关
第五章信号处理初步 信号处理的目的: 1、分离信、噪，提高信噪比。 2、从信号中提取有用的特征信号。 3、修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。 第一节数字信号处理的基本步骤 一、数字信号处理的基本步骤 图5-1 数字信号处理系统简图 1、预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。 (1) 信号电压幅值处理，使之适宜于采样； (2) 过滤信号中的高频噪声； (3) 隔离信号中的直流分量，消除趋势项； (4) 如果信号是调制信号，则进行解调。信号调理环节应根据被测对象、信号特点和数学处理设备的能力进行安排。 2、A／D转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方，其核心是A/V转换器。信号处理系统的性能指标与其有密切关系。 3、对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。 4、结果显示一般采用数据和图形显示结果。 第二节信号数字化出现的问题 一、概述 图5-2为模拟信号) (f X x及其幅频谱) (t 图5-2原模拟信号及其幅频谱
图5-3为等时距周期脉冲信号序列) s。 (t 图5-4为采样后的信号及其频谱图，时域相乘对应频域的卷积相乘。 图5-5为窗函数，目的是用来从采样后的时间序列截取有限时间的一段。 图5-6为窗函数阶段后的有限长离散信号 图5-7为频域采样函数。 图5-8为频域采样后的频谱 二、时域采样、混叠和采样定理 采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。其数学上的描述为，间隔为T s的周期脉冲序列g(t)乘模拟信号x(t)。g(t)由下式表示，即 n=0,±1, ±2, ±3, 由δ函数的筛选特性可知 n=0,±1, ±2, ±3, 经时域采样后，各采样点的信号幅值为x(nT s)。采样原理如图5-9所示，其中g(t)为采样函数。称为采样间隔，或采样周期，称为采样频率。 图5-9 时域采样原理 采样间隔的选择是一个重要的问题。采样间隔太小(采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长(即采样点数多)，使计算工作量增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生很大的误差。若采样间隔太大(采样频率低)，则可能丢失有用的信息。 例对信号和进行采样处理，采样间隔T s=1/40，即采样频率f s=40Hz。请比较两信号采样后的离散序列的状态。 解：因采样频率f s=40Hz，则 t =nT s
对于互相关函数的深度理解
相关函数的物理意义： 信号相似性的描述： 在很多的应用场合，经常要描述两个信号的相似性。比如在雷达的信号检测中，要比较所接收的信号是否就是发射信号的延时。有时候，甚至还要描述一个信号本身的相似性，比如在语音编码中，要通过语音信号本身的相似性，来预测下一时刻的信号值。 我们知道，在信号处理中，用相关函数来描述信号的相似性。描述两个信号之间的相似性用互相关函数；描述信号本身的相似性用自相关函数。我们要问的是，相关函数在何种意义上表征了信号的相似性？如何从直观上来理解？ 理解: 假定我们要描述两个信号的相似性，最直观的办法就是将两个信号相减，计算其误差能量。如果误差能量为0，说明两个信号完全一致。误差能量越大，则说明两个信号越“不像”。这只是最简单的情况。复杂一些的情况是，如果两个信号形状一致，但幅度大小不同，比如说两个同频的单频正弦信号，一个幅度为2，一个幅度为1，我们知道这两个信号也是非常之像的，但用上面这种办法就行不通了。假定第一个信号为s1(n),第二个信号为s2(n)，那么很明显，我们希望构造如下的误差信号： v(n)=s1(n)-A*s2(n) 这时直观上表征这两个信号“像不像”的指标是这个误差信号的能量最小。也即是： Ev=∑v2(n)=∑[s1(n)-A*s2(n)]2 =∑s12(n)-2A*∑s1(n)* s2(n)+A2*∑s22(n) =E1-2A*∑s1(n)* s2(n)+A2*E2 PS:设一个能量信号 S(t)的能量为，则此信号的能量由下式决定： 其中Ev表示误差能量，E1、E2分别表示s1和s2这两个信号的能量。为使上述误差能量最小，由简单的微积分知识，可知此时A的取值为： A=∑s1(n)* s2(n)/E2 如果将两个信号的相关函数定义为： C=∑s1(n)* s2(n) 此时的误差能量为： Ev=E1-C2/E2
自相关互相关
一.互相关cross-correlation与自相关 auto-correlation 仔细翻阅资料后,自相关的定义如下: 应用于离散数字信号处理中,在matlab里面描述如下:xcorr表示对于x和y两个随机序列求出互相关估计 The output vector c has elements given by c(m) = cxy(m-N), m=1, ..., 2N-1 实验如下: >> a=[1 2 3 4];b=[1 j 2 j]; >> c=xcorr(a,b); >> c c = Columns 1 through 6 -0.0000 - 1.0000i 2.0000 - 2.0000i 4.0000 - 4.0000i 7.0000 - 6.0000i 10.0000 - 3.0000i 3.0000 - 4.0000i Column 7 4.0000 + 0.0000i 其中当上面式子中的m=0时,即c(4),这里c长度为6，表示Rxy(n)从n=-3:0:3.经过xcorr函数运算得到的c长度为2*N-1,例子中N=4; 因此得到c(4)= Rxy(0)= 1-2j+6-4j=7-6j;这里就比较清楚互相关的计算了,实际的物理意义就使用积分标量来表示两个序列之间的相似程度度。可以翻阅随机过程.
那么,对于序列x的自相关,R_coeff=xcorr(x,'coeff'); 等效于:R=xcorr(x,x); R_coeff = 1/max(R) * R;因为是自身和自身的相关,因此其中max(R)一定是R(N),m=0的情况下，即此时相关序列无延迟 二.自相关矩阵 对于一个有限长度的随机序列,知道了其Rxx的估计后.自相关矩阵定义如下: n*n的方阵。它的主对角线上都是R(0)，主对角线旁边两个是R(1)，然后再旁边两个是R(2)，等等，最右上角和最左下角是R(N)。在上面的式子中 R(m)=[x(n)*x(n+m)]/n，m=0,1,2,....,n。 即Rij = Rxx(i-j) = Rxx(j-i) = Rji; 在信号处理中,具体的关于上面的数字信号概念讨论见: https://www.360docs.net/doc/472305864.html,/archiver/?tid-400394.html 三.相关性的具体应用 最后,附上一个高斯噪声进行估计信噪比的程序.来作为具体的相关矩阵应用的例子.下面的程序只是对于信号功率具有固定的幅度的信号做的，也就是恒包罗．不适合16QAM等非恒包罗的调幅信号.如果需要做非恒包罗的SNR估计，具体参考非恒包罗的AGWN的SNR计算方法． amp_e = SNR_Estimate(ComplexSignal) yn=real(ComplexSignal); c=xcorr(yn,'coeff'); len=length(ComplexSignal); m=100; rk = c(len:len+m-1); Rxx = zeros(m,m); Rxx(1,:)=rk; Rxx(m,:)=fliplr(rk); for i=2:m-1 if i>1 Rxx(i,:)=[fliplr(rk(2:i)),rk(1:m-i+1)]; end end [U,S,V]=svd(Rxx); for i=1:m s_x(i) = S(i,i); end s_xd = s_x(2:m)-s_x(1:m-1); s_xd (60:80);