复变函数习题答案第3章习题详解.docx

第三章习题详解

1?沿下列路线计算积分J；' z2dz o

1）自原点至3 + i的直线段；

解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0

2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八

解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0

3 1

=-33 ?3

连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O

彳" 3 n 3

??? f z2dz = ￡t2dt 4- ￡(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)3

3)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。

解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0

J：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸

连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dt

r*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅

2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。

解：?/ j = x x2 + iy = x2 + ix ??? dz = (1 + i)dx

???『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +

?/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dx

f 衣=［（3+03&二（3+讥?3+i

0=(3 + 厅0 d

^ed Z=[\2dt=护

而（W 宙討…T + 一 11.1.1

1 5. i = 1—i

3 3 2 2

6 6

/(z) =

1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2

在c 内解析，根据柯西一古萨定理,

$匹

J z 2 + 2z + 4

/. ￡1+，

(x 2

+ iy)dz = (1 + /)￡ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。问^Re[/(z)]rfz = O,

C

flm[f(z)]dz = O 是

否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 c 不成立。 例如：f(z) = z ， C ： z = “"，OSMv;r

f Re[/(z)]rfz = J ：" cos

(cos z?+ isint?) =

C

?

在|z| = 2上,z = 2严

=

J o ―—d (2e l

^)= ￡ 2诃〃 =[,2屈/= 4加 c A ° 2 °

z =4

zl ~ it?

j-^dz = f 三—〃(4 严)=f 4如=[i4t 疳=8m 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ C 是正向的圆周z=l 。

/(￡ = 丄 在C 内解析，根据柯西一古萨定理，f-^ = 0

z — 2 ’ z — 2

$空

￡ / +2z + 4

2 、 .3丄严.4 —X 十

z — X

i 4

f Im[/(4kz =『sin c

-n

利用在单位圆上？二丄的性质，及柯西积分公式说明

Z

其中C 为正向单位圆周2=1。

f zdz = #—-—dz = 2 时(0)= 2 加

C C 2

一 °

it> C z

在|z| = 4 ±, z = 4e

c

其中C 为止M 圆周:

2=2；

沿指定曲线的正向计算下列各积分:

i ------ dz , C : z-2 = 1

并-2

乙=2在(7内，/(z)=e z

在C 解析，根据柯西积分公式：［~^dz = 2me 2 c z ~2

z-a =a

z = a 在C 内，/(" =」一在C 解析，根据柯西积分公式：

z + a

iz -a

-2心|

iz

i

乙

z = i 在C 内，/(z) = -^在C 解析，根据柯西积分公式：[-f —dz = [1±^dz = -

dz /(z) = —!—在c 内解析，根据柯西一古萨定理，f C

cosz

cosz

c dz

/(z) = 1在C 内解析，z 0=-在C 内，= 2砒一

Z

~2

j )ze z dz c

f(z)=z.e z 在C 内解析，根据柯西一古萨定理，fze z dz

dz

(z + 2) *

f(z) = 7——在C 内解析，z 0=-在C 内，f

(z + 2) 2

{

dz

/ ■、

i 、

(z + 2)

=17tif — = 2 加

匕丿

2+2

f ^ + a 2dz = 7ti c z ~ ~a

cosz

z + i J c z +1 J c z-i e

兀

)

飞4z )

在

c 解析,根据柯西-古萨定理：f

(-

釦一1)"

j>z 3 coszdz, C :为包H z = 0的闭曲线 c /(z)= z 3 cosz 在 C 解析，

z = 0在C 内，/(z) = sinz 在C 解析，根据柯西积分公式：f 聖乞衣=2加sin0 = 0 r Z

z = 0在C 内，/(z)=e z 在C 解析，根据高阶导数公式：[^dz = — f ⑷(0)=弐 ￡ 匸 4!

4!

计算下列各题：

「3加 j

[e dz

z = 3不在C 内,

/(z) = ^^在C 解析，根据柯西一古萨定理: z-3

根据柯西一古萨定理：cos zdz = 0

c

z = i 在 C 内，/(z) = 就F)在c 解析’根据柯西积分公式：帚瓠+ 4)

/(z) = sinz 在C 解析，根据高阶导数公式:

“f 在C 内,

y chizdz ；

6l

f/n 2

sin zdz ； J-加

m

?

=加 -- sh27T

“

2

￡ z sin zdz = -￡ zd cos z = -[z cos z]J + ￡ cos zdz = - cos 1 + sinl

[(z - i)e'z dz = -[ (z - i)de'z = -[(z -i)e'z ]； + J ； e'z dz = (1-i )Q -「= ie

dz = $— dz + f —-—dz = 2 加(4 + 3)= 14 加 z +1 iz + 2i

a ■

Hi"其中为正向）;

/（Z ） = ^2H 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理:

Z

『3加 j

| e 2z dz =

-e 2z

J -加

[2 J

3加 1

mm

{(z +決-D dZ

= f "fc 菩+

f 善帑边=如

2i

f 甞衣，（其中c 「

C=C]+（?2 2

z =2为正向，C 2: z =3为负向）;

b c 血3zdz =

V

=

3k

0 一吟 J-m

J 一加

f 上率dz （沿1到i 的直线段）。

COS Z f 呼边 JI COS z

=((1 + tgz)dtgz =

计算下列积分:

11 1

tgz + -tg 2z =tgi + -tg 2i-tgl--tg 2\

3 ) d ---

lz + 1 z + 2i 丿 必，（其中C ： z =4为正向）;

------- 1 -------- 七 + 1 z + 2i) C=Cj+C 2

证明：因为/?)=

在D 内解析，故积分莎 〃了与路径无关，取从原点沿实轴到1,再从1

在所给区域内，/(z) =」一有一孤立奇点，由柯西积分公式：= z-i

J

c z-i

——dz,(其中a 为问工1的任何复数，C ： c\z-a\

解：当|z| > |a|, /(z)=. e v 在所给区域内解析，根据柯西一古萨基本定理：L e

、卫=0

(z-a)

i{z-a)

z a _?

当|z| < |?|, f(z.)=e z 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：f. e ^dz = —e a =e a m c (z - a) 2! 10.证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，Jz = 0o

C 2

证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西一古萨基本定理：衣=0； r Z

当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：fgdz = 2加厂(0) = 0； c Z

11?下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1) f -dz

2)

-dz IzH z

a —A —i 秒

解：1) f -dz=

2) $ 2虫=汐衍》=o

岸尹h 2严

J =4Z J 。4严

由此可见，1)和2)的积分值相等。但2)的值不能利用闭路变形原理从1)得到。因为/(z) = -在 Z 复平面上处处不解析。

12. 设区域D 为右半平而，z 为D 内圆周忖=1上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与

Z ，证明Re 比寺叫呼［提示:可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周心到z 的曲线作 为C 。

解:

5)

Z = 1为正向)。

f Z — = f —

dx^rC —— de^ = arctgx? 4-

di}

Jol + ?2 ， Jo 14- X 2

Jo l + 护"

lo

Jo 1 + ^2"

= -4-1「曲 1 dQ =艺 + i 「2 sec 斑 t?

??.Re ［「dA =-

4 Jo 严 + 严 4 Jo

卩。1 +了2、」4

13. 设C|和C2为相交于M 、N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为Q 与B2。与的公共

部分为B o 如果/(z)在Q - B 与E - B 内解析，在C^C 2上也解析,证明：f f(z)dz = j> f(z)dz 。

G

c 2

证明：如图所示，/(“在d —B 与内解析，在C 「C2上也解析，由柯西一古萨基本定理有:

打(z)dz = 0 打(z)dz = 0=> 打(z)dz= 打(诳

NOMP\N

MRNP.M

NOMP

、N

MRNP.M

??? j f(z)dz+ J /(z)rfz = J/(z)〃z+ j f(z)dz

NOM

MP X N

MRN

NP 2M

=> “(z)/z - J f(z)dz = j f(z)dz- j f(z)dz

NOM

NP 2M

MRN

MP X N

a J /(z)rfz+ j f(z)dz = J/(z)dz+ j f(z)dz

NOM

MP 2N

MRN

NP t M

14. 设C 为不经过a 与-a 的正向简单闭曲线，a 为不等于零的任何复数，

试就a 与-。跟C 的不同位

置，计算积分f 2 ' 2衣的值。

c z —a

解：分四种情况讨论:

如果a 与-a 都在C 的外部，则/(z)= 2 Z 2在C 内解析，柯西一古萨基本定理有

z —a

f@ f

卢灰 +f 卢+

= 2加

W -0 c (z + ") c \z ~a )

3) 如果a 在C 的内部，—a 都在C 的外部，则f(z) = ^-在C 内解析，由柯西积分公式有 z + a

打(Z )〃Z=打(2)衣

1)

2)

如果a 与-a 都在C 的内部，由柯西积分公式有

-a a - + -------- a-a a+a)

Ci

B .

M C 0

B

□

2)

当Z 。在C?内时，/(Z )=——在C ］内解析，根据柯西一古萨基本定理

以及柯西积分公式: z_z ()

z ；当z°在G 内时， sin z 0,当z°在C2内时。

16.设函数/(z)在Ov 忖vl 内解析，且沿任何圆周C ： |z| = r, 0

解析？试举例说明之。

解：不一定。例如：/(z) = -V 在z = 0处不解析，但f ￡乂 = 0。

z

|z|=r

17. 设/G)与g(z)在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D 。如果

/(z)=g(z)在C 上所有的点处成立，试证在C 内所有的点处y(z)=g(z)也成立。 证明：设z 是C 内任意一

4)如果a 在C 的外部，—a 都在C 的内部，则/(z) = ^—在C 内解析，由柯西积分公式有 z-a i-Z

-dz = = 2加

= m

{z -a ￡ (z + a)

-a-a

15. 设G 与C2为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明

z ；,当Z 。在G 内时， sin z 0,当

s 在C2内时。

证明：因为G 与C?为两条互不包含，也不相交，故G 与C?只有相离的

位置关系，如图所所示。

1)

当Z 。在C ］内时，y(z) = 2归在C2内解析，根据柯西一古萨基本定理以及柯西积分公式: 2一却

1 f / 衣smz dz 1

>

2mz 2 ■ + 0

2m C] z _ z （） c ^z —

Z.Q

2m I

Z=Zo

a .

------- =7U a + a

sinz

1

17d

点，因为/G)与g(z)在C及C内解析，由柯西积分公式有：

又/"(<)=g(y)在C 上所有的点处成立，故有：jf dg = f 即/(z)=g(z)在C 内所有的点处成立。

18. 设区域D 是圆环域，/*(z)在D 内解析，以圆环的屮心为屮心作正向圆周(与心，笛包含(，z 0 为(，K?Z

间任一点，试证(3.14)仍成立，但C 要换成KJ + K?。 证明：

19.

否等于零？为什么？

解：因为/(z)在单连通域B 内处处解析且不为零，又解析函数/(z)的导数f(z)仍然是解析函数，故 rw

/(^)

19. 试说明柯

西一古萨基本定理中的C 为什么可以不是简单闭曲线？

解：如C 不是简单闭曲线，将C 分为几个简单闭曲线的和。如。=(7]+。2,则C], C2是简单闭曲线。

f f{z)dz = f f(z)dz 4- f (z)dz = 0 + 0 = 0

C

C] c 2

20. 设/(z)在区域D 内解析，C 为D 内的任意一?条正向简单闭曲线，证明：在对D 内但不在C 上的任

dz =

打dz = 0

cU-^o)

2)如果Zo 在C 的内部，在C 内解析的函数/(z),其导函数f(z)仍是C 内的解析函数，根据柯

西积分公式有：= 27df \A

= 2砒(zj

’Z -Zo

lz=z

?

由高阶导数公式有：

° /⑺、卫=2

加厂(幼 =2< (z 0)

21. 如果^(x,j)和呎工丿)都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而s =(p 、\—W 「

设/?(?)在单连通域B 内处处解析，且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线。问积分f 彳曽dz 是

在B 内处处解析。根据柯西一古萨基本定理，有

心U

证明：分两种情况：

意一点z°,等式f /(z)

f (z)和 /(z)

心1和丿主1在c 内解析，故4丿血 Z Z Q Z Z Q

c 乙一

z 。

1) 如果Zo 在C 的外部,

dz = 0

t =(p x + if/y ,那末s + it 是兀+ (y 的解析函数。 、十a

Bs

证明:" = (p 厂叽 ???兀=0片_$祗，石=佻一屮"

又(p(x,y)和呎工丿)都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即(p yx =(p xy ,屮U

0(兀,丿)和呎兀，丿)满足拉普拉斯方程：(p xx +(p yy = 0, y/xx 4-= 0

ds

Of ds

——(p — iif — — 9 — = (() — \if dx 屮* J

dy 勿 f f

故s + it 是工+卽的解析函数。

22. 设"为区域D 内的调和函数及/ = 些，问/?是不是D 内的解析函数？为什么？

ax oy

解：设 f = s + it,贝iJ s =雲，t = -z^~

dx dy

24.函数v = x+ y 是卩=兀+丿的共辘调和函数吗？为什么？

故函数"=x+ j 不是"=x+ j 的共辘调和函数。

25. 设u 和卩都是调和函数，如果”是"的共觇调和函数，那末M 也是”的共觇调和函数。这句话对吗? 为什

么？ 解：这句话不对。

如果"是U 的共轨调和函数，则f(z)=u + iv 是解析函数，满足柯西一黎曼方程:

dv _ du _ d(— u) dv _ 3u _ d(— u) dx 3j dy 3x dx 即-"是卩的共辘调和函数，"就不是y 的共辘调和函数。 26. 证明：一对共轨调和函数的乘积仍为调和函数。

证明：

27. 如果/(z)= w + iv 是一解析函数，试证：

dt dx

3s _ dz 3s _ dr dx dy

dy

=>

/是D 内的解析函数。

解:

du

dv 予 dv a^ = 1,矿

du _ dv

— , dx dy

dv dx

du _ dv du _ dv

— 9 — dx dy dy dx

ds dx dt dx

d 2u

因为M 为区域D 内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程

du

1)l/(z)也是解析函数；

证明：

2)是"的共觇调和函数；

证明：

3)譬贮+ 警贮=4(“；+已=4『(扪。

证明：

28.证明；u=x2-y2和 2 / .都是调和函数，但是u-^iv不是解析函数。

兀? +

证明

29.求具有下列形式的所有调和函数u：

1)u = f{ax^-by\ a 与b 为常数;

解：

2)u = f—\ [提示：1)1 令f = a兀 + 抄，因u xx + u - 0 ,从而有/ (f) = 0； 2)令Z = — o ]

I工丿x 解：

30.由下列各己知调和函数求解析函数/(z)= w + ivo

1)w = (x- yX* +4xy 4- j2)；

解：

2)v= y , /⑵=0；

x +y

解：

3)w = 2(x -1)j , /⑵=-讥

解：

y

4)v = arctg—, x > 0 o

x

解：

31.设v = e px sin j ,求p的值使卩为调和函数，并求出解析函数/(z)= w + zv 0

解：

32.如果w(x, j)是区域D内的调和函数，C为D内以5为中心的任何一个正向圆周：z-z() =r,它

的内部全含于D 。试证：［提示：利用平均值公式（3.5.3）。］

1）心） 在（几丿0）的值等于 M 兀丿）在圆周c 上的平均值’即

证明:

2） u^y ） 在（兀0小）的值等于M 兀丿）‘在圆域|z-z 0|

+ r cos 輕几 + 尸 sin （p ）rd （pdr 。

证明：

33.如果/（z ） =u + iv 在区域D 内处处解析，C 为D 的正向圆周：z = R ，它的内部全含于D 。设z 为

C 内一点，并令Z = R

7

试证”—畀亦_矿好-°。

证明：

34.根据柯西积分公式与习题 33 的结果， 证明

1 r (/?1 2-zz)/?)

2加怙-Z )U_氏)"

证明:

35

-如果令'=

2''=

』'验证 €_ 靂一負）=（―0七）2Qcos （" K ）+ 厂 并由34题的结果，

证明用唱

仁

比：::匕C

如取其实部，得

u （x, y ）= u （rcos^,rsin^） = — ［—

d^o 这个积分称为泊松积分。通

2 龙 J 。7?2-2Zfrcos （z?-r ）+r 2

过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。 证明：

36.设/（z ）在简单闭曲线C 内及C 上解析，且不恒为常数，舁为正整数

证明：

3）令〃T+8,对2）中的不等式取极限，证明：|/（z ）|WM,这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的 解析函

1 试用柯西积分公式证明：［%）］“=丄$

［少】 心

2m ’ Q-z

证明：

2 设M 为|/（…在C 上的最大值，乙为C 的长，〃为z 到C 的最短距离，试用枳分估值公式（3.1.10）

心，儿）=「心

G 其中c 为|z| = i?o

id/

于1）中的等式，证明不等式:

+「cose 』。+ 厂 sin0）

d0 ；

数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。证明：