第四章 习题及参考答案

第四章抽样与抽样估计

一、单项选择题

1、实际工作中，小样本是指（）

A、样本容量大于30的样本

B、样本容量小于30的样本

C、样本容量等于30的样本

D、样本容量小于等于30的样本2、从5个字母中随机抽取2个字母作为样本，采用重复抽样，考虑顺序，则可能的样本个数为（）

A、10个

B、20个

C、25个

D、30个

3、当总体方差未知，且样本容量小于30时，进行正态总体均值的区间估计应采用的临界值为（）

A、F值

B、Z值

C、t值

D、2x

值

4、当总体方差已知，无论样本容量n的大小如何，进行正态总体均值的区间估计应采用的临界值为（）

A、F值

B、Z值

C、t值

D、2x

值

5、在总体内部情况复杂、且各单位之间差异程度大、单位数又多的情况下，宜采用（）

A、等距抽样

B、整群抽样

C、简单随机抽样

D、类型抽样

6、根据重复抽样的资料，甲单位工人工资方差为25，乙单位为100，乙单位抽的人数比甲单位多3倍，则抽样平均误差（）

A、甲单位较大

B、甲单位较大

C、无法判断

D、甲、乙单位相同

7、某学校在全校学生中随机重复抽取100人调查身高，计算出抽样平均误差为5cm。如果改用不重复抽样方法，在其他条件不变时，其抽样平均误差将会（）

A、大于5cm

B、小于5cm

C、等于5cm

D、不确定

8、纯随机重复抽样条件下，样本容量扩大为原来的9倍，其它条件不变，则（）

Ａ、抽样允许误差不变Ｂ、抽样允许误差缩小为原来的九分之一Ｃ、抽样允许误差缩小为原来的三分之一Ｄ、抽样允许误差增大为原来的九倍

二、多项选择题

1、影响抽样平均误差的因素主要有（）

A、总体方差或标准差

B、样本容量

C、抽样方法

D、抽样组织方式

E、抽样的对象

2、下列说法中错误的有（）

A、抽样误差是不可避免的

B、抽样误差是可以避免的

C、抽样误差可以计算但不能加以控制机

D、抽样误差是由于抽样的随机性而

产生的样本估计量与总体参数之间的代表性误差 E、抽样误差是指登记性误差

3、评价估计量的优劣常用下列三个标准（）

A、一致性

B、有效性

C、合理性

D、代表性

E、无偏性

4、抽样推断过程包括相互联系的三项内容（）

A、随机抽样

B、统计估计

C、假设检验

D、抽样精度

E、置信度

5、下列说法正确的有（）

A、总体参数是唯一的、确定的，但又是未知的

B、总体参数是随机变量

C、样本统计量是随机变量

D、样本统计量是唯一的、确定的

E、样本所包含的总体单位个数称为样本容量

6、概率抽样最基本的组织方式有（）

A、简单随机抽样

B、分层抽样

C、等距抽样

D、整群抽样

E、配额抽样

7、抽样估计中的抽样误差（）

A、无法避免

B、可以控制

C、只能在估计结束才能知道

D、可以计算

E、不可控制

8、抽样平均误差是指（）

A、所有可能样本的样本指标与总体指标的平均离差

B、所有可能样本的样本指标对总体指标的标准差

C、已抽出样本的标准差

D、等价于极限误差

E、已抽出样本的平均差

三、填空题

1、概率抽样也叫随机抽样，是指按照原则抽取样本。

2、在其他条件不变的情况下，如果允许误差缩小为原来的二分之一，则样本容量扩大为原来的倍。

3、当n趋近于无穷大时，卡方分布趋近于分布。

四、判断题

1、抽样估计中所谓的抽样误差，是指系统误差。（）

2、编制抽样框，是实施抽样的基础。（）

3、F分布不以正态分布为其极限分布，它总是一个正偏态分布。（）

4、若总体平均数和方差有限，当样本容量n充分大时，无论总体分布形式如何，样本平均数近似服从t分布。（）

5、根据中心极限定理，当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于正态分布。（）

6、在其他条件不变的情况下，扩大抽样极限误差会降低估计的置信度。（）

7、抽样平均误差越小，则样本对总体的代表性越小。（）

8、在其他条件相同的情况下，不重复抽样的抽样误差总是大于重复抽样的抽样误差。（）

9、总体方差是影响抽样数目的因素之一。在其他条件不变的情况下，总体单位的差异程度大，则应少抽，反之可以多抽一些。（）

10、重复抽样所产生的样本是彼此独立的。（）

11、总体参数的数值是客观存在的确定的，但又是未知的，需要用样本资料去估计。（ ）

12、样本统计量不含未知参数，它是随样本不同而不同的随机变量。（ ） 13、全面调查也可产生代表性误差。（ ）

14、在其他条件不变的情况下，提高估计精度会提高估计的置信度。（ ） 15、样本方差S

2

1

-n =

1

1-n 2

1

)

(∑=-n

i i

x x

是总体方差的无偏估计量。（ ）

16、估计量∧

θ是参数θ的无偏估计，可以保证它对参数θ的估计没有系统偏差。（ ）

17、样本比例是总体比例的无偏估计。（ ） 18、登记性误差是抽样调查所特有的。（ ） 19、抽样推断是归纳推断法中的一种。（ ） 20、参数估计和假设检验是抽样推断的两个组成部分。（ ） 五、简答题

1、什么是抽样框？抽样框有哪三种主要形式？

2、什么是抽样平均误差、抽样方差、抽样极限误差？它们之间有何关系？

3、必要抽样数目受哪些因素影响？

4、什么叫估计量？评价估计量优劣的标准有哪三项？

5、点估计常用的方法有哪两种？其基本思想是什么？

六、计算分析题

1、某电池的寿命（单位：分钟）的95%置信区间是430<μ<470。假设这个结果是根据一个样本容量为100的样本得出的。试问：

（1） 样本的均值是多少

（2） 样本的标准误差是多少

（3） 如果置信区间419<μ<481是从相同样本数据得出的，置信度是多

少（置信度为68.27% 90% 95% 95.45% 99.73%时，正态分布概率值分别是(1 1.645 1.96 2 3）

2、调查公司想要估计全日制的大学生每周花在看电视上的时间（单位：小时）平均有多少小时。当极限误差为0.25小时时，计算估计均值所需要的样本容量。（假设想要达到的置信度为95%。标准差估计为1.87小时。）

3、一个样本中包含75台若干年前购买的电视机。这些电视机的置换时间为12.2年，标准差为1.1年。试对那一时期所有电视机的平均置换时间构建一个95%的置信区间。怎样才能减小这一区间。

4、一个样本容量为400的随机样本取自均值μ和标准差σ均未知。已算出

∑

=2280

x ，38532

2

=∑

x

。求μ的95%的置信区间。

5、当你选购一种商品时，考虑得最多的是什么？是价格还是商品的质量？某市

场调查公司调查了2000名成年人，结果又64%的人说他们主要根据价格做出购买决策。

（1）试对根据价格做出购买决策的成年人的真正百分率构造95.45%的置信区间。

（2）对此区间做出解释

（3）如果将置信度从95.45%降到90%，（1）中的置信区间将会发生什么变化。

6、一个研究者想要估计年龄在12-18岁之间、在学校使用计算机的学生比例。

如果他想要99.73%的把握程度相信极限误差为5%，必须要对多少名随机选择的学生进行调查？

（1）假设我们将先前的一项研究中得出的百分比82%作为p的估计值

（2）假设我们事先没有信息可以提供p的可能值

7、某厂对当年生产的产品进行质量检查，从50000件产品中随机抽取200件产品，发现其中有15件不合格，试应用恰当的方法在95.45%（Z=2）的概率保证下，对全部不合格产品作可能范围估计。

8、某进出口公司出口一种名茶。按规定这种茶叶每包重量应不低于150克，现用不重复抽样的方法抽取1%进行检验，其结果如下

①试以0.9973的概率（Z=3）估计这批茶叶平均平均每包的重量范围。以便确定是否达到规定要求。

②以95%的把握程度估计这批茶叶包装合格率的范围

9、某地区粮食播种面积共8000亩。随机抽取100亩进行调查，结果平均亩产量为580公斤，亩产量的标准差为40公斤，试以99.73%的置信度（Z=3）估计该地区粮食平均亩产量的可能范围和粮食总产量的可能范围。

10、一个容量为n=16的随机样本来自总体均值和方差未知的正态分布总体。如果样本有均值9.

x和标准差s=3.23，则总体均值的95%的置信区间是多少？

27

在重复研究中，n多大时，才能使得总体的允许误差为1.25？这个样本容量数，对于95%的置信区间要求的允许误差为1.25能达到吗？

11、一个从事市场研究的公司想知道某市内至少有一个成员看过某种报纸广告的家庭占多大比例。为了估计这个比例，首先要确定抽多少个家庭做调查。该公司

希望以90%的置信水平对这个比例作出估计，并使估计值处在真正比例附近0.04范围内。在一个由15个家庭组成的样本中，有35%的响应者指出他们家中有某个人看过这种广告，试问应取多大的样本？

12、设已知某果园某种果树单株产量按正态分布。随机抽取6株计算其年产量（单位：kg）为：221.2 190.4 201.9 205 256.1 236

试以95%的置信水平，估计全部果树的平均年产量的置信区间。

13、某灯泡厂为了使生产的螺丝口和卡口灯泡的比例能很好地适应用户需要，从全市所有电灯中随机抽出1500盏灯作为样本。查得其中螺丝口灯头占15%，试以95%的置信度系数求卡口灯头的真正百分比的置信区间。

第四章参考答案

一、单项选择题

1、B

2、C

3、C

4、B

5、A

6、D

7、B

8、C

二、多项选择题

1、ABCD

2、BCE

3、ABE

4、ABC

5、ACE

6、 ABCD

7、BD

三、填空题

1、随机

2、4

3、正态

四、判断题

1、×

2、√

3、√

4、×

5、√

6、×

7、×

8、×

9、× 10、√ 11、√ 12、√ 13、× 14 、× 15、√ 16、√ 17、√ 18、× 19、√

五、（要点）

1、抽样框是包含全部抽样单位的名单框架。主要有三种形式：名单抽样框；区域抽样框；时间表抽样框。

2、样本估计量的标准差定义为抽样平均误差；抽样平均误差的平方为抽样方差；一定概率下抽样误差的可能范围，称为极限误差

3、（1）总体方差（或总体标准差）

（2）允许误差范围

（3）置信度

（4）抽样方法

（5）抽样组织形式

4、样本指标又称样本统计量与或估计量。

标准为：无偏性；有效性；一致性

5、一是矩估计法。其基本思想是：由于样本来源于总体，样本矩在一定程度上反映了总体矩，而且由大数定律可知，样本矩依概率收敛与总体矩。因此，只要总体x的k阶原点矩存在，就可用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量。

二是极大似然估计法。其基本思想是：设总体分不函数形式已知，但又未知参数，未知参数可以取很多值，在未知参数的一切可能取值中选一个使样本观测值出现的概率为最大的参数作为估计量。

六、计算题

1、（1）202/)430470(,430=-=?=?-x x x ， 43020=-x 解得：450=x

（2）)(2

x x Z σα=?，即：)(96.120x σ?=

解得：样本的标准误差204.10)(=x σ

（3）如果置信区间419<μ<481是从相同样本数据得出的，

则：312/)419481(=-=?x ，)(2

x x Z σα=?，即204.10312

?=αZ

解得：304.32

≈=αZ ，即：置信度是99.73%。

2、条件分析：本题为估计总体均值时所需的样本容量。由于N 不知，视为重复抽样。

)215(214.940.25

87

.196.1x

z n 2

2

22

22

人≈=?=

?=

σ

3、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。由于N 不知，视为重复抽样。

所有电视机平均置换时间的置信区间为：

75

1.196.1

2.1275

1.196.1

2.122

2

)

(2

)(2

?

+≤≤?

-+≤≤-μσμσαα即：x x Z x Z x

即：[11.95105,12.44895]年

怎样减小区间——降低置信度或者增加样本容量！

4、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。由于N 不知，视为重复抽样。

()()0.784

5.70.41.965.7:4

.0400

64n

s

64

399

400

2280385321

n n

x x

s

7

.5400

2280n x

2

)

(2

22

2

±=?±==

=

=-

=

--

====

∑

∑

∑

置信区间为x x σ

即: [4.916；6.484]

5、（1）P=64%，22

=αZ

%]

15.66%,61.85[2000

%

36%642%64)

(2

即：置信区间：

??

±=±=P Z p P σ

α

(2)我们有95.45%的把握相信从61.85%到66.15%这个区间实际包含了p 的真实值。

(3)此时区间变窄

6、解题分析：此题为估计总体比例时所需的样本容量。由于N 不知，故视为重复抽样。

（名）

）（名）

）（900%

55.05.03

)1(n 2(53236.531%

5%

18%823

)

1(Z n 12

2

22

/2

2

2/2=??=

?

-=

≈=??=

?-=

p

p

P P Z P P α

α

7、条件分析：由于N 已知，视为不重复抽样。

首先求不合格产品率的置信区间:

%]

15.11%;85.3[)50000

2001(200

92.5%

7.5%27.5%即：-

???

±

则全部不合格产品的可能范围为：[3.85%×50000；11.15%×50000],即[1925；5575]件

8、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。由于N 可推知，故视为不重复抽样。N=100/1%=10000（包） 样本标准差：

8762

.01

100)

3.1505.151()3.1505.148(1

)(2

22

=--+-=

--=

∑

n x x s 整批茶叶平均每包重量范围为：

26

.03.150)10000

1001(100

0.87623150.312

2

2

2

±=-

??

±=-±=±=）（）（N

n

n Z x Z x x σ

σμα

α

即：[150.04；150.56]，达到了规定要求 （2）样本包装合格率：%

70100

70==

p

整批茶叶包装合格率的范围为：

%

94.8%70)10000

1001(100

30%

70%96.170%1n P -1P P 2

2

±=-

???

±=-±=±=）（）（）（N n

Z p Z p P α

ασ

即：[61.06%；78.94%]

9、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。由于N 已知，故视为不重复抽样

公斤

；即：平均亩产量的可能范围）（]92.59108.568[92

.11580)8000

1001(100

40

3580Z :

2

x 2

±=-

?

±=±=σμαx

总产量的可能范围：[568.08×8000；591.92×8000]，即：4544640～4735360公斤之间

10、(1)条件分析：正态总体、总体方差不知，且为小样本。此时样本均值服从自由度为16-1的t 分布。由于N 不知，故视为重复抽样 总体均值的置信区间为：

]62.29;18.26[72

.19.2716

3.231315.227.9n

s t t 2

2

)x (2

即：±=?

±=±=±=α

ασμx x

（2）样本容量：

（3） 1.25

1.326

23.32.0595 26n 26

25.71.25

23

.396

.1x

z n 2

2

2

2

2

2

2

>=?

=?=≈=?=

?=

则

如果σ

“允许误差为1.25”不能达到。

11、解题分析：此题为估计总体比例时所需的样本容量。由于N 不知，故视为重复抽样。

)

(38576.3840.04

%65%351.645

)1(n 2

2

222

/个≈=??=

?

-=

p

P P Z α

12、条件分析：正态总体、2

σ未知、小样本。此时样本均值服从自由度为6-1的t 分布。

经计算得:kg n x x s kg n

x

x 39.241

)(;43.2182

=--=

==

∑

∑

全部果树平均年产量的置信区间：

59

.2543.2186

39

.245706.243.2182

)(2

±=?

±=±=±=n s t x t x x α

ασμ

即：[192.84；244.02]公斤

13、96.1%,852

==αZ p ,由于N 未知，故视为重复抽样

卡口灯头真正百分比的置信区间:

%]

81.86%,19.83[1500

%15%8596.1%85P)-P(1p 2

)

(2

即：??

±=±=±=n

Z Z p P p α

ασ