2018年吉林省长春市高考数学三模试卷

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}

2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）

A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i

3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）

A．6 B．6C．12 D．12

4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2

5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

6．某公司在2012﹣2016年的收入与支出情况如表所示：

根据表中数据可得回归直线方程为=0.8x+，依次估计如果2017年该公司收入为7亿元时的支出为（）

A．4.5亿元B．4.4亿元C．4.3亿元D．4.2亿元

7．已知a=2﹣1.2，b=log36，c=log510，则a，b，c的大小关系是（）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b

8．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（）

A．B．﹣C．D．﹣

9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

10．设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）

A．πB．C．D．

11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）

A．B．C． D．

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是．

14．函数f（x）=e x?sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．

15．直线kx﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长的最小值为．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（12分）已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；

（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：

（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；

（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．

（1）求证：PD⊥平面ABE；

（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．

20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为的椭圆C：

的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．

21．（12分）已知函数．

（1）求f（x）的极值；

（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；

（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分10分）

22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l：（

为参数）．

（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线P（x0，y0）上点P 的极坐标为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）

23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．

（1）求证：2a+b=2；

（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．

2018年吉林省长春市高考数学三模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，则A∪B等于（）A．{3，5}B．{3，4}C．{﹣9，3}D．{﹣9，3，4}

【考点】交集及其运算；并集及其运算．

【分析】利用交集性质求出a=﹣3，从而求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={3a，3}，B={a2+2a，4}，A∩B={3}，

∴，解得a=﹣3，

∴A={﹣9，3}，B={3，4}，

A∪B={﹣9，3，4}．

故选：D．

【点评】本题考查交集、并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．

2．复数z满足zi=1﹣i（i为虚数单位），则z等于（）

A．﹣﹣i B．﹣i C．i D．﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵zi=1﹣i，

∴．

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

3．已知向量，，且||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），则||等于（）

A．6 B．6C．12 D．12

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得||．

【解答】解：∵||=2，与的夹角为，⊥（3﹣），

∴?（3﹣）=3﹣=3?12﹣2?||?cos=0，∴||=12，

故选：C．

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．

4．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】利用等差数列前n项和公式、通项公式列出方程组，由此能求出公差．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，

∴，

解得a3=﹣2，d=4．

故选：B．

【点评】本题考查公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

5．如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（）