2020年复旦大学强基计划试题

2020年复旦大学强基计划试题

1.抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，满足3AF FB =

，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C

点，若CFAA S '=P 。2.已知实数xy ，满足221x xy +=，求22x y +最小值。

3.已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1()()(2)2

f x f x f x ++=，则在,,,a b c d 中能确定的参数是。4.若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则a =。

5.展开式102311x y x y ??+++ ???中，常数项为。

6.111lim[]1425(3)n n n →∞+++=??+ 。

7.点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60 ，所得的点的坐标为。

8.方程5cos 43cos 2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是。

9.设,,44x y ππ??∈-????，若333cos()2024sin cos +0x x a y y y a π?++-=???+=?，则cos(2)x y +=。

10.实数,x y 满足221x y +=，若262x y a a x y +-++--的值与,x y 无关，则a 的范围是。

11.在ABC ?中，1cos 3

BAC ∠=，若O 为内心，且满足AO x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为。

12.已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=，则（

）A.m 和n 可能重合

B.m 和n 不可能垂直

C.存在直线m 上一点P ，以P 为中心旋转后与m 重合

D.以上都不对

13.抛物线23y x =的焦点为F ，A 在抛物线上，A 点处的切线与AF 夹角为30 ，则A 点的横坐标为。

14.已知P 为直线

6014x y -=-上一点，且P 点到(2,5)A 和(4,3)B 的距离相同，则P 点坐标为。

15.已知,{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x y ∈且y x ≠，联结原点O 和(,),(,)A x y B y x 两点，则

12arctan 3AOB ∠=的概率为。

16.3arcsin arcsin 84++=。

17.已知三棱锥P ABC -的体积为10.5，且6,4,10AB AC BC AP BP =====，则CP 的长度为。

18.在ABC ?中，9,6,7AB BC CA ===，则BC 边上中线长度为。

19.若2()1f x x =-，则(())f f x 的图像大致为。

20.定义1,(),{|()()1}1,M M N x M f x M N x f x f x x M

∈?=?==-?-??，已知{|A x x =<，{|(3)(3)0}B x x x x =+->，则A B ?=。

21.方程34122020x y z ++=的非负整数解的组数为。

22.已知,m n ∈ ，且011n ≤≤，若满足202020212312m n +=+，则n =。

23.凸四边形ABCD ，则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的条件。

24.设函数()33x x f x -=-的反函数为1()y f x -=，则1()(1)1g x f x -=-+在[3,5]-上的最大值和最小值的和为。

25.若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是。

26.已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且1,2,4,5AB CD AD BC ====，则PA 的长度为。

27.给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数又有偶函数的概率为。

28.下列不等式恒成立的是（

）A.2211x x x x +≥+ B.1||2x y x y

-+≥-C.||||||

x y x z y z -≥-+-

29.向量数列{}n a 满足1n n a a d +=+ ，且满足113||3,2a a d =?=- ，令11n n i i S a a =??=? ???

∑ ，则当n S 取最大时，n 的值为。

30.某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天。已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有种。