同济版本高数上第一章部分知识总结

高等数学(同济五版)-第四章-不定积分-练习题册

34 / 8 第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、求下列不定积分： 1．dx x x ? ． 2．?x x dx 2 ． 3．?-dx x 2 )2(． 4．?-dx x x 2 )1( 5．? +++dx x x x 1133224． 6．?+dx x x 2 2 1． 7．??-?dx x x x 3 2532． 8．?-dx x x x )tan (sec sec ．二、一曲线通过点)3,(2 e 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．第二节换元积分法

35 / 8 一、填空题： 1．=dx )37(-x d ． 2．=xdx )5(2 x d ． 3．=dx x 3 )23(4 -x d ． 4．=- dx e x 2 )1(2 x e d - +． 5．=xdx 23sin )23(cos x d ． 6．=x dx |)|ln 53(x d -． 7． 291x dx + )3(arctan x d ． 8．=-21x xdx )1(2 x d -． 9． ?=dx x x )(')(φφ ． 10．若 ?+=C x F dx x f )()(则?=)()]([x dg x g f ．二、选择题(单选)：设)(x f 为可导函数，则： (A) ()C x f dx x f +='?)2()2(； (B) ()C x f dx x f +=' ?)2(2)2(； (C) ())2()2(x f dx x f =' ?； (D) C x f dx x f +='?)2()2(．答：( ) 三、求下列不定积分： 1．?-dx x 3 )23(． 2．? -3 32x dx ． 3．? ?xdx x 210 sec tan ． 4．? x x dx cos sin ． 5．? -dx xe x 2 ． 6．dx x x ? -2 32．

高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)

第四章不定积分一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++

同济大学(高等数学)-第四章-不定积分

第四章不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =，则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =，求出质点的位移函数 ()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数；再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0), x x x =>所以ln x 是 1 x 在(0,)+∞的一个原函数．一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：

高等数学同济七版第四章电子教案

第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I ∈都有 ()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的一个原函数. 例如：因() 22x x '=，故2 x 是2x 的一个原函数. 定理（原函数存在定理）：如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数 ()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数. 注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数. 定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ?，其中? 称为积分号， ()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式， x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+? 注：()d f x x ?是()f x 的原函数，故有 d ()d ()d f x x f x x ? ?=???或d ()d ()d ;f x x f x x ??=??? 又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+?或d ()().F x F x C =+? 所以记号? 与d 是互逆的例：求 d x x ? 解：由于2 2 x x ' ??= ??? ，所以22x 是x 的一个原函数，因此2 d 2 x x x C = +? 例：求1 d x x ? 解：当0x ＞时，有1(ln )x x '= 当0x ＜时，有[]11ln()(1)x x x '-= ?-=-，故ln |1d |x C x x =+? 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线.

同济高等数学第七版第4章习题解答

209 教材习题同步解析习题4-1 2. 求下列不定积分: (2)x ?; (3)x (4)?x x x d 32; (5) ?x x x d 1 2 ; (11)x x x d )1(13? -+）（; (12)?-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1? ??? ? ??--; (16)?x e x x d 3; (19)? x x d 2 cos 2; (20)?+x x d 2cos 11; (21)? -x x x x d sin cos 2cos ; (22)?x x x x d sin cos 2cos 2 2; (23)? x x d cot 2; (25)22d 1 x x x +?. (26)?++x x x x d 12322 4. 解 (2)35 222 d 5 x x x x C ==+?? . (3)x C =. (4)C x x dx x x x x += =? ? 3 3373 210 3d . (5) C x x x x x x x +?-==? ?- 132d d 1 252 .

209 (11) x x x d )1(13?-+）（x x x x d 132? ?? ? ??-+-= ?? ? ? - + - =x x x x x x x d d d d 23 21 2 C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (12) ()? ? +-= -x x x x x x x d 21d 12 2 C x x x x x x x ++-=??? ? ??+-=? -25 232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=??? ? ??-=???? ??-? ?--21212d d 1. (16)C e C e e x e x e x x x x x x ++=+= =? ? 1 3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)? ?+=x x x x d 2cos 1d 2cos 2 C x x x x ++=+=? )sin (2 1d )cos 1(21. (20)? ?+==+C x x x x x tan 21 d cos 21d 2cos 112. (21)x x x x x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22?? --=- ? +-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos . (22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x x x x x x x -=? ? 22 1 1d sin cos x x x ??=- ??? ?C x x +--=tan cot .

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章不定积分令狐采学前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ()s s t =，则质点在时刻t 的瞬时速度表示为 ()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度 ()v v t =，

求出质点的位移函数 ()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念． 1.1.1原函数定义1如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数；再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是 1x 在(0,)+∞的一个原函数．一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义

高等数学(同济版)第四章复习资料

第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念 1.原函数:设函数及在区间上有定义，若满足或，则称为在区间上的一个原函数例如：由于，故是的一个原函数关于原函数，一般有如下两个问题需要解决： (1). 在什么条件下, 一个函数的原函数存在? (2). 若函数的原函数存在, 它如何表示下面的原函数存在定理能解决这两个问题. 2.原函数存在定理定理1. 若函数在区间上连续，则在上存在原函数，即. 推论：初等函数在定义区间上有原函数定理2. 若函数是的一个原函数，则的所有原函数都在函数族(是任意常数) 内. 证明： (1).因为，所以是的原函数 (2).设是的任一原函数，即，又，两式相减得，故(为某个常数)，它属于函数族定理2 说明，一个函数的所有原函数在形式上只差一个常数.函数的全体原函数又叫不定积分 3.不定积分：称函数在区间上的原函数全体为的不定积分，记作，其中—积分号; —被积函数; x—积分变量;—被积表达式. 注： 1°.若是的一个原函数，则就是的不定积分,即不定积分是原函数族. 2°.，或其中为任意常数，称为积分常数，不可省缺3°. 或 4.不定积分的几何意义: 函数的原函数的图形称为积分曲线例1. 例2. 例3. 设曲线通过点, 且其上任一点处切线的斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程解：设所求曲线方程为，由题知曲线上任一点处的切线斜率为是的一个原函数.于是又曲线过点，故有，解得.于是所求曲线的方程为. 二、基本积分表 1. (为常数). 2. 3. (). . 或. 4. 5. 或 6. . 7. . 9. 8. 10. . 11. . 12. 13. . 例4. 例 . 例6. 三、不定积分的性质 1. ； 2.； 3.. 例7. 例8. 例9. . 例10. . 练习： 1. 若是的一个原函数，则提示：，2.若是的原函数 , 则 . . . 提示: 已知,所以，于是 3. 若的导函数为，则的一个原函数为( B ) A. ; B. ; C. ; D.. 提示：；；第二节换元积分法一、换元法的基本思想设，可导，则有，于是二、第一类换元法从左到右的计算称为第一类换元法；从右到左的计算称为第二类换元积分法定理 1.设函数具有原函数，可导，则有换元公式：也称配元法或凑微分法注：第一换元法的使用：. 例1.. 例2. . 例 3. . 例 4. 例5. 例 . 例 . 例8. 求 . ，于是有，解得，于是 . . 例9. 例10. . 例11. 例12.

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第四章不定积分【圣才

第四章　不定积分 4.1　复习笔记一、不定积分的概念与性质1 ．原函数与不定积分的概念（ 1）原函数 ①定义如果在区间I 上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有，则函数就称为在区间 I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数． ③注意两点 a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数． b ．若和都是的原函数，则 ()F x ()x φ()f x （C 0为某个常数）（ 2）不定积分在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）

在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量． 2．基本积分表

3．不定积分的性质（1）性质1 设函数的原函数存在，则注：性质1对于有限个函数都是成立的．（2）性质2 设函数的原函数存在，k为非零常数，则二、换元积分法

1．第一类换元法设具有原函数, 可导，则有换元公式()[()]()[()] u x f x x dx f u du ?? ?= '= ??2．第二类换元法设是单调的可导函数，并且又设具有原函数，则有换元公式1() ()[[()]()]t x f x dx f t t dt ψψψ-=' =?? 其中的反函数．三、分部积分法 1．分部积分法设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得称为分部积分公式．

注：2．运用分部积分法需注意（1）v 要容易求得；（2）要比容易积出；（3）遵循“反对幂指三”原则. ①“反对幂指三”定义 “反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则 “反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照 “反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．【例】

(完整word版)高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→