安徽省五校2021届高三上学期12月联考文科数学试卷 Word版含答案

怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中

2021届高三“五校”联考文科数学试题

考试时间： 2020年12月4日

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用，三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列，不等式。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合{

}

24A x x =≤≤，{}

2430B x x x =-+<，则A

B =

A .{}14x x <<

B .{

}23

x x ≤< C .{}23x x << D .{}14x x <≤

2.已知复数z 满足i 1i z ?=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为 A .1i -- B .1i -+ C .1i - D .1i +

3.设:p 11<+x ，:q 22<<-x ，则p 是q 的

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 4.已知2

.02=a ，2.0log 2=b ，0.2log 0.3c =，则a b c ，，的大小关系为 A .a b c << B .b a c << C .c b a << D .a c b <<

5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到 使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定 在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心

O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车每秒转动

π

rad 12

，如图2所示，

盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为 A .3.2m B .3.4m C .3.6m D .3.8m

图1 图2

6.在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若2AB =，则AM BN += A .2 B

C . 4 D

.7.函数

1()

f x =

的部分图象可能是

A B C D

8.若正实数x y ，满足+=1x y ，则下列不等式恒成立的是 A 1≤ B 12≥

C .22

12

x y +≥ D .1114x y +≤

9.已知数列{}n a 为单调递增的等差数列，且11=a ，若2a ，31a +，6a 成等比数列，则=20a A .18 B .28 C .38 D .58 10.已知函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当1x ≥时，1

2()2

21x f x x x -=+-+，则不等式

(21)(1)f x f x -<+的解集为

A .2

(2)3， B .2(1)

(12)3，， C .(1)(2)-∞+∞，， D .2

()(2)3

-∞+∞，，

11.ΔABC 中，D 为ΔABC 内一点，120ADC .若2CD ，

则BCD =

A .15?

B .30?

C .45?

D .60? 12.已知正实数a b ，满足a b a b b a ->-ln ln ，下列命题中的真命题是 A .若)ln(|ln ||ln |ab b a =+，则b a > B .若)ln(|ln ||ln |ab b a -=+，则b a > C .若b a b a ln ln |ln ln |=，则b a < D .若b a b a ln ln |ln ln |-=，则b a <

第Ⅱ卷（非选择题 共90分

）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若x y ，满足约束条件301020x y x y x +-≤??

--≤??+≥?,则34z x y =+的最大值为 .

14.已知向量(23)a k =，，(41)b k =-，. 若a 与b 方向相同，则k = .

15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 且满足721=+a a ，173(3)m m a a m -+=≥，

2020m S =，则m = .

16.已知函数π

()sin()(0)6

f x x ωω=+>，若函数()f x 在(0π)，内恰有6个极值点，则ω的取值范围为 .

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，

第18~22题每题满分为12分. 17. （10分）

已知函数2

()e x

f x ax =-的图象在点))1(,1(f 处的切线斜率为e 2-. （1）求实数a 的值；

（2）已知函数)(x f 的导函数是)(x f '，记()()x x f x g +'=，求()x g 的极小值.

18. （12分） 已知函数ππ

()4cos(

)sin() 3.26

f x x x =-+- （1）求()f x 的最小正周期；

（2）若方程()f x m =在ππ[]43

-，有实根，求实数m 的取值范围．

19. （12分）

设数列{}n a 中41=a ，142n n a a n -=≥（），设n n a b 2log 2

1

=. （1）求数列{}n b 的通项公式；

（2）令()n n

n nb c ?-=1，求1220c c c ++???+.

20. （12分）

ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设

sin 2sin A C

a b

=. （1）判断ΔABC 的形状；

（2）若3a ，2c ，B 的平分线交AC 于D ，求ΔBCD 的面积.

21. （12分）

第二届阜阳花博会于2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且1

1

2++=

x x m （a x ≤<0，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知培育m 万个单位还需要投入成本)12(+m 万元（不含展销费），花卉的销售价为4

(11)m

+

万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系； （2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：?--利润=销售价销售量投入成本展销费）

22. （12分） 已知函数ln ()e x

x

f x a x

=+

. （1）当0a =时，求函数)(x f 的单调区间； （2）证明：当21

e

a =-时，

()()g x xf x x =+在(0)+∞，有两个零点.

2021届高三“五校”联考文数答案

2020年12月4日

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B

D

A

D

D

B

A

C

D

A

C

A

1.B

2.D

3. A

4. D

5.D

6. 解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

因为AB=2，所以A(0,0),B(2,0),M(2,1),N(1,2)

所以AM=(2,1),BN=(-1,2),AM BN (1,3)+=． 则2

2

AM+BN =1+3=10B ．

7. 解：首先函数为偶函数，排除A ，当10<x ，()0>x f ，选C ．

8.解析: 22

2

()1

22

x y x y ++≥

=,故选择C . 9.解析:设公差为d ，2a =1+d ，31a +=2+2d ，6a =1+5d 所以()2

2+21+1+5d d d =?（）（）解得

31d =-或，又因为d >0,所以3d =所以=20a 1+3（20-1）=58

10.由题意知()f x 图象关于直线1x =对称,且()f x 在区间(1)+∞，上单调递增

2

2223

x x x ∴-

<<.故选择A 11. 解析:在ACD 中，2CD ，3AC ，120ADC ，由正弦定理得，

sin sin AC CD

ADC CAD ,即

32

sin 32

CAD

,解得，2

sin 2

CAD

,所以45CAD ，45BCD CAD ，选择C 项.

12.解析： 由a b a b b a ->-ln ln ，得a a b

b 1

ln 1ln +>

+， 设x x x f 1

ln )(+=

，则)()(a f b f >. 由2ln )(x

x

x f -='，可知)(x f 在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减.

故当1≥a 且1≥b 时，a b <；当1≤a 且1≤b 时，a b >.

A 选项中由)ln(|ln ||ln |ab b a =+可知1≥a 且1≥b ，可得b a >.故A 选项正确 另解：取e,1a b ==排除CD 选项；取1

,1e

a b =

=排除B 选项.故选A . 13.解析: 由已知可得34z x y =+在点(25)-，处取得最大值14. 14. 解：向量(23)(41)a k b k ==-，，，，a 与b 方向相同，

∴2(-1)-43=0k k ??且>0k ，

解得3k =.3故答案为：

.

15.解析：8077321211=+=+=+++-）（n n n

a a a a a a

所以()20202

4011=+=

=+n a a S a a n n n 又因为解得n =101

16. 解：由()0,πx ∈得πππ

(,π)666

x ωω+

∈+，若函数()f x 在()0,π内恰有6个极值点，则11ππ13ππ262ω<+≤，解得1619

33ω<≤.

17. 解析：(1)ax x f x

2e )(-='. ............................................... 1分

2e 2e )1(-=-='a f ....................................4分

解得1=a ...................................5分

（2）由（1）知2e )(-='x x f ，,2e )(x x g x

+-= .............................. 6分

,1e )(-='x x g 令,0)(='x g 得0=x ， ................................................ 7分

当)0,(-∞∈x 时，,0)(<'x g )(x g 单调递减；

当),0(+∞∈x 时，,0)(>'x g )(x g 单调递增； ..................................... 9分

故当0=x 时，)(x g 取极小值1)0(-=g .................................................. 10分

18. 解：（1）函数231

()4sin (

sin cos )323sin 2sin cos 322f x x x x x x x =+-=+-

π

3(1cos 2)sin 232sin(2)3

x x x =-+-=-， ................................................... 4分

()f x ∴的最小正周期为2π

π2

=．（5分）

（2）在区间ππ,43??

-????

上，π5ππ2,363x ??-∈-????， .................................................... 6分

故当ππ

232x -

=-时，函数()f x 取得最小值，为-2， .............................................. 8分 当ππ

233

x -=时，函数()f x 取得最大值，为3，故()f x 的值域为2,3??-??

...........................10分

若方程()f x m =在ππ,43??

-

????

有实根，则实数m 的取值范围为2,3??-?? .................................................. 12分

19. 19. （1）因为41=a ，）

（*

-∈≥=N n n a a n n ,241 所以数列{}n a 是以4为首项以4为公比的等比数列....................................................2分

所以n

n n a 4441=?=-.....................................................................................................3分

n b n n ==?4log 2

1

2......................................................................................................5分

（2）由（1）可知2

)1(n c n n ?-= ...............................................................7分

2

222220212019321+-???-+-=+???++∴c c c

）（）（）（22222219203412-+???-+-=..............................................................................9分

20321+???+++=.............................................................................10分 ()2102

20201=?+=

(12)

分

20. （1）由

sin 2sin A C a b =及正弦定理得2sin cos sin sin sin A A

C

A B

，............................1分 即2sin cos sin sin cos cos sin B A C A B A B ，..................................................2分 所以sin cos sin cos B A A B ,即tan tan A B ..........................................................4分 所以A B ，ABC ?为等腰三角形. .........................................................................5分 （2）因为A B 且3a ，所以3b a ....................................................................6分 由余弦定理得1

cos 3B

，所以22

sin 3

B ................................................................8分 1

sin 222ABC

S ac B ..........................................................................9分 1sin 32212sin 22

BCD ABD

B B

C B

D S BC B S AB AB BD ，

(10)

分 所以3

62

5

5

BCD

ABC

S

S . ..........................................................................12分 （其他解法酌情给分） 21. 解析：

（1）由题意得()x m m m y -+-??

?

??+

=12411 ...................................................2分 x m -+=39

x x x -+++?=31

129

x x -+??

? ??

+-=31129

x x -+-

=1

9

21， ...................................................4分

所以x x y -+-

=1

9

21（a x ≤<0，a 为正实数）． .........................................5分 （2）由（1）得：

x x y -+-

=1921()??

????

+++-=19122x x ， ......................................7分

易知20<x ，函数递减．又0>a ． .........................9分

所以当2>a 时，31=+x ，2=x 万元时，函数取得最大值为16万元； 当20≤

9

21）万元．...........11分 答：（1）函数关系为x x y -+-

=1

9

21（a x ≤<0，a 为正实数）

． （2）所以当2>a 时，31=+x ，2=x 万元时，函数取得最大值为16万元；

当20≤

9

21）万元． ......12分

22.解析（1）当0a =时ln ()x f x x =

,21ln ()=x

f x x

-' ........................2分 2

1ln ()=

00x

f x x e x -'>?<< ........................3分 2

1ln ()=0x f x e x x -'

()f x ∴单调递减区间为(e,)+∞,单调递增区间为(0,e,) .......................5分

（2

分

2x e -=即0201x e x -=易得0(1,2)x ∈ ...........................................................8分

()g x 在0(0,)x 上为增函数,在0()x +∞，

上为减函数 020000()ln 10x g x x e x x -=-++=> .................................................................... 9分

22

2

()10e g e e e

-=+-< ..................................................................... 10分

........................................................................ 11分 ()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点. ........................................................................ 12分

（其他解法酌情给分）