08实验八：随机信号分析应用在噪声抑制中

实验八：随机信号分析应用在噪声抑制中 ——噪声抑制与匹配滤波 【实验目的】

使学生通过对信号中加性噪声的平滑、加性噪声中信号的检测这样两个项目，对随机信号分析与系统的实践应用有感性的认识，激发其学习兴趣。

【实验环境】

1、 硬件实验平台：通用计算机

2、

软件实验平台：matlab6.5版本以上

【实验任务】

1）生成含有加性噪声的正弦信号，设计一阶低通滤波器，观察平滑后的正弦波形。

2）生成含有加性噪声的方波信号，用匹配滤波器进行检测。 3）撰写实验报告

【实验原理】

随机信号分析中的一个基本问题是在有噪声的情况下处理信号，研究最大化有用信号与最小化噪声影响的技术，以及在噪声背景中检测出微弱信号的技术。本实验介绍其中的几种方法，包括平滑、滤波与匹配滤波。

噪声平滑

应用中一种典型情况是：有用信号()s t 是确定的，它受到加性白噪声()N t 的污染，形成

()()()X t s t N t =+

（1）

我们接收到()X t 后，希望从中尽量恢复出()s t 。为此，我们设计LTI 系统()h t ，使()X t 经过它处理后的输出()Y t 接近()s t 。这一处理过程称为平滑（Smoothing ），如图1所示。

图1 噪声平滑

由于[][]()()()()E X t s t E N t s t =+=是时变的，因此()X t 是非平稳的，它通过系统后的输出为

()()()()()s N Y t X t h t y t Y t =*=+

（2）

其中， ()()()s y t s t h t =*是确定的，()()()N Y t N t h t =*是随机的。

()Y t 与()s t 的误差为

()[]()()()()()e s N Y t Y t s t y t s t Y t =-=-+ （3）

由于[]()0N E Y t =，因此

[]()()()

e s b E Y t y t s t ==-

（4）

[]2

22

Var ()()()4e N N Y t E Y t H j d σωω

π

+∞

-∞

??===

???

（5）

其中b 为偏差，2

σ为方差。方差是白噪声通过系统的输出噪声功率。 设计系统()h

t 就是要使b 和2

σ都尽量小，使得系统对信号的影响小而对噪声的抑制强。准确求取()h t 的最佳形状与参数是较困难的，但我们可以从频域进行一般分析。

图2 信号频谱及噪声功率谱

图2 是常见信号()s t 的频谱与噪声()N t 的功率谱示意图。容易看出()h t 的一个合理选择是对应于信号带宽的低通滤波器，在信号尽量完整通过的情况下，最大限度地滤除噪声，假定信号的带宽为/(2)B W π=Hz ，则()h t 以B Hz 为截至频

率，于是

200,

b N B σ==

如果信号是带通的，当然选择带通滤波器，并使其通带对准信号的通带。 实际应用中一种简单的方法是使用积分器，使

1()()2t T

t T

Y t X t dt

T

+-=

?

（6）

其冲激响应与频响曲线如下图3所示。

图3 积分器的冲激响应与频率响应

显然， T 很小时， ()s y t 相对于()s t 的畸变较小，但输出中的噪声很多，合适地选择T 要根据信号频谱的具体情况，在使信号充分通过的前提下应该尽量取大的T 。

由图3可见，积分器在频域里具有低通特性。所以，实际中可用常规的低通滤波器（如图4）逼近它，实现平滑功能。

图4 模拟低通滤波器

例如：假定随机信号X(t)由（确知）正弦信号s(t)与白噪声N(t)组成，即

)()cos()()()(0t N t a t N t s t X ++=+=θω

其中，a 、0ω与θ为确定量，N(t)的功率谱为0/2N 。讨论其通过图4所示的RC 低通电路前后的信噪比。

输入时，信号功率为2/2

a ，而噪声功率为

∞==

?∞

∞-ωπ

d N P N 2210

因此信噪比为

0=???

??in

N S

对于图4的电路，系统传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+，正弦信号通过后的幅度为0()a H j ω，于是，输出信号功率为

])(1[22)

(202

2

02

RC a H a P S ωω+=

=

又20(2)(4)N N P RC N RC σ==；因此，输出信噪比为

])(1[22002RC N RC a P P N S N

S out ω+==

???

?? 对于给定的X(t)输入，可以调整电路的R 与C 使输出信噪比达到最大。上式的最大值在01RC =时达到，即031dB RC ωω==。对于给定的输入信号，当RC 电路的3dB 频点处对准它时，虽然信号本身被衰减了一倍，但这时电路对白噪声的总体衰减相对地达到了最大。 匹配滤波器

匹配滤波器是一种检测噪声中某个确定信号是否存在的最佳滤波方法，它是通信、雷达等应用中的重要技术。

有关的典型问题是：有一个已知的有限时长的确定信号()s t ，我们希望从接收信号()X t 中检测它是否出现。这里

()()()X t s t N t =+

其中()N t 是白噪声。

我们希望设计LTI 滤波器()h t ，使

()()()()()()()Y t X t h t s t h t N t h t =*=*+*

便于进行检测。现在我并不在乎()Y t 中的信号部分是否发生畸变，而只关心在某0t 时是否可由0()Y t 有效地判定()s t 的存在。为此我们将目标设定为：使0()Y t 中的信号与噪声之比最大化，这样在0()Y t 大于某个合适的门限时，我们有把握认为()Y t 中包含有()s t 。这一处理过程如图5所示，可见，在0t t =时刻，信号最

大限度地越过背景噪声。

图5 匹配滤波处理

由于()()()s y t s t h t =*是确定量而()()()N Y t N t h t =*是随机的，衡量0()Y t 的信噪比时，我们采用

202

0()()s out N y t S N E Y t ??

= ???????

（7）

又

2

22

0()()()4N N N E Y t E Y t H j d ωω

π

+∞

-∞

????==

?????

又令()s t 的傅里叶变换为()S j ω并借助反傅里叶变换形式，有

2

201

()()()2j t s y t E S j H j e

d ωωωωπ

+∞

-∞

??=?

????

（8）

利用许瓦兹不等式：2

2

2

()()()()u v d u d v d ωωωωωωω≤????，而且，该不等式在()()u cv ωω*=时取等号（其中，c 为任意非0实常数），即左端达到最大。因此，可令，

00()()()j t j t H j c S j e cS j e ωωωωω*

-*

??==??

使得20()s y t 取得最大值，从而使

2

2

2

2

2

00

1()()2()421()22out

s H j d H j d S N N H j d H j d N E N ωωωω

πωω

π

ωω

π+∞

+∞

-∞

-∞

+∞

-∞

+∞

-∞

??? ???

??=

???=?=

?

??

?

（9）

其中s E 是信号能量，并且，

2

2

2

1

1

()()()22s E s t dt S j d H j d ωωωω

π

π

+∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

==

=

?

?

?

（10）

可见，式（10）给出了这种期望下的最佳滤波器，容易看出它的冲激响应为

0()()h t cs t t =-

（11）

它实际上是信号的反转平移形式，如图5.中间一图。如果()s t 的时间持续期为0到T ，则通常取0t T =，这样()h t 的持续期间也为0到T ，它是物理可实现的。注意到这种滤波器根据信号而定，也因信号而异，所以我们说它与信号匹配，称为匹配滤波器（Match filter ）。由图可见，匹配滤波器能将信号能量累积起来，使0t t =时输出中的信号成份达到最强。

*

图5 匹配滤波器输入、单位冲击响应及输出的时域波形

【实验项目1】

加性白噪声环境下，正弦波信号中噪声的平滑。

【实验方法】

理论上讲，连续时间的白噪声的自相关函数是一个冲击函数，其频谱密度函数是个常数。这在实践中是无法实现的，因为实际信号都是时限且能量有限的，所以其自相关函数只能对冲击函数在一定程度上逼近。在利用计算机仿真白噪声时，除了仿真序列足够长之外，每一点与其他点尤其是临近点的相关系数应该足够小。Matlab 提供了一系列可用来生仿真白噪声的命令及功能。如simulink 中的band-limited white noise 模块就是一个带限白噪声发生器。可用它来生成仿真白噪声信号。

平滑用积分器在频域上具有低通特性，可用常规低通滤波器逼近。

【实验步骤】

1）带有加性白噪声的正弦波信号的生成：

打开simulink 模块编辑器，从基本库的信号源库（source ）中选取正弦波发生器(sinwave)、带限白噪声发生器（band-limited white noise ）加入编辑器,从基本库中的数学运算库（math ）中选取加法器加入编辑器中。

2）平滑处理。

如前分析，时域里对噪声的平滑对应于频域里的低通滤波。在simulink的信号处理库里提供了低通滤波器的设计模块。这个模块位于DSP blockset Filtering Filterdesign.该模块名字为Analog Filter Design,选中，将其拖入编辑器中，双击它，有参数编辑器弹出，可选参数包括滤波器类型、阶数和截止频率。

3）示波器建立

建立两个示波器，分别观察平滑处理前的信号与平滑处理后的信号。

【实验项目2】

匹配滤波器设计

【实验方法】

对于连续随机信号而言，任意相邻两点间有无穷多个点，每个点的幅度又是无限精度的，所以，无法用计算机来存储、处理这些无限多的数据。如果采用计算机来处理连续信号，必须对其采样，这就必须满足奈奎斯特采样定理。

为了用计算机仿真匹配滤波器的工作过程，须对信号与加性噪声同时采样，以离散信号仿真连续时间信号，采样率应满足奈奎斯特采样定理。本实验设定信号为一个单极性二进制信号“1”，噪声为加性白噪声。在“1”期间采样20点以上，另外构建离散匹配滤波器，对其进行匹配滤波，绘出滤波器输出图形，从图形上直观比较匹配匹配滤波前后的效果。整个实验用matlab m 文件编写。

【实验步骤】

1，含加性零均值白噪声的信号采样值仿真

1）构建信号样值。

设在信号“1”期间采样20点，那么在信号存续期间及消失之后的样值可用一矢量构成

2020()[1,,1,0,,0]s n =??????个1

个0

,用plot 命令将s 绘出。注意，这里的plot

命令是将s 的样值一阶内插以得到一个连续时间信号。 2)构建含噪信号

利用命令WGN 生成高斯噪声信号的样值：wgn(20,1,0); 那么含噪信号X (n )=s (n )+wgn(20,10)

用plot 命令绘出 sn 并与s 的时域波形相比较。 2.匹配滤波

1)仿真生成匹配滤波器的单位冲击响应。

根据【实验原理】中的公式（11）知，匹配滤波器的单位冲击响应应该是被检测信号的反褶并时移，因此，这里可以用1中的仿真信号s 的反褶时移来仿真匹配滤波器的单位冲击响应： 2020()(10)[0,,01,,1,]h n s n ↑

=-=??????个0

个1

用plot 命令绘出 h 并与s 的时域波形相比较 2)滤波

把加入噪声的信号sn 通过匹配滤波器，也就是将sn 与h 在时域相卷积,至此

得到匹配滤波后的输出：

=*=*+*

()()()()()()()

Y n X n h n s n h n N n h n

用plot命令绘出Y(n)，考察其采样点的噪声幅度与信号幅度之比，并与X(n)中信号幅度与噪声幅度之比。

【思考题】

1）用平滑方法能滤除所有噪声吗？

2）如果加入的噪声不是白噪声，那会出现什么结果？