数列求和7种方法(方法全_例子多)
数列求和的基本方法和技巧
一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和
分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法,
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式:?????≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(611
2
++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ,求???++???+++n
x x x x 32的前n 项和. 解:由2
1
2log log 3log 1log 3323=?-=?-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式)
=x x x n
--1)1(=
2
11)
211(21--n =1-n 21
[例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2
1
++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++=
n n S n S n f =64
342++n n n
=
n
n 64341+
+=
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
8
8-
n ,即n =8时,501)(max =n f
题1.等比数列的前n项和S n=2n
-1,则=
题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2
+cn ,则a = ,b = ,c = .
解: 原式= 答案:
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和:1
32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
解:由题可知,{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----?
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列
??????,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
解:由题可知,{
n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n
S 2226242232+???+++=…………………………………①
14322
226242221++???+++=n n n
S ………………………………② (设制错位) ①-②得14322
22222222222)211(+-+???++++=-n n n n
S (错位相减)
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
练习题1 已知 ,求数列{a n }的前n 项和S n .
答案:
练习题2 的前n 项和为____ 答案:
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
证明: 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- (反序)
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110?+=++???+++=- (反序相加) ∴ n
n n S 2)1(?+=
[例6] 求ο
οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值
解:设ο
οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①
将①式右边反序得
ο
οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② (反序) 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2
2
=+-=x x x x ο
①+②得 (反序相加)
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S =89
∴ S =44.5 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求的值.
解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,
两式相加得: 所以.
练习、求值:
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和:231
,,71,41,
1112-+???+++-n a a a n ,… 解:设)231
()71()41()11(12-++???++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+???+++++???+++
=-n a
a a S n n (分组) 当a =1时,2)13(n n n S n -+==2)13(n
n + (分组求和)
当1≠a 时,2)13(1111n n a
a S n
n -+--==2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解:设k k k k k k a k ++=++=2
332)12)(1(
∴ ∑=++=
n k n k k k S 1
)12)(1(=)32(23
1
k k k
n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n =k k k n
k n k n
k ∑∑∑
===++1
2
1
3
132
(分组)
=)21()21(3)21(22
2
2
3
3
3
n n n +???++++???++++???++
=2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n (分组求和) =2
)
2()1(2++n n n
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1))()1(n f n f a n -+= (2)οοο
οο
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ (3)1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n (4))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n (5)])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=
-则 (7))1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
(8
)n a ==
[例9] 求数列
???++???++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解:设n n n n a n -+=++=
111
(裂项)
则 1
13
212
11
+++???+++
+=
n n S n (裂项求和)
=)1()23()12(n n -++???+-+- =11-+n [例10] 在数列{a n }中,1
1211++???++++=
n n
n n a n ,又12+?=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和.
解: ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=
∴ )11
1(82
122+-=+?=n n n n b n (裂项)
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
11(
)41
31()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n (裂项求和) =)111(8+-n =
1
8+n n
[例11] 求证:ο
ο
οοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++
解:设ο
οοοοο89
cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=
S ∵οοο
οο
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ (裂项) ∴ο
οοοοο89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+???++=
S (裂项求和) =]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
οοοοοοοοο
-+-+-+- =)0tan 89(tan 1sin 1οοο-=ο
ο
1cot 1sin 1?=οο1sin 1cos 2
∴ 原等式成立
练习题1. 答案:.
练习题2。 = 答案:
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解:设S n = cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ )180cos(cos ο
ο
ο
n n --= (找特殊性质项)
∴S n = (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···
+(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和)
= 0
[例13] 数列{a n }:n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S 2002.
解:设S 2002=2002321a a a a +???+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a
……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a (找特殊性质项) ∴ S 2002=2002321a a a a +???+++ (合并求和) =)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+
=2002200120001999a a a a +++ =46362616+++++++k k k k a a a a =5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
解:设1032313log log log a a a S n +???++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ (找特殊性质项) 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= (合并求和)
=)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? =9log 9log 9log 333+???++
=10
练习、求和:
练习题1 设,则=___ 答案:2.
练习题2 .若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1
·n ,则S 17+S 33+S50等于 ( )
A .1
B .-1
C .0
D .2 解:对前n 项和要分奇偶分别解决,即: S n = 答案:A
练习题 3 1002
-992
+982
-972
+…+22
-12
的值是
A .5000
B .5050
C .10100
D .20200 解:并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案:B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法.
[例15] 求3
211
1111111111个n ???+???+++之和. 解:由于)110(91
99999111111
1
-=????=
???k k k 43421321个个 (找通项及特征) ∴ 3211
1111111111个n ???+???+++ =
)110(91
)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n (分组求和) =
)1111(91)10101010(911
3214434421个n n +???+++-+???+++ =9
110)110(1091n
n ---?
=
)91010(81
1
1n n --+ [例16] 已知数列{a n }:∑∞
=+-+++=
1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值. 解:∵ ])
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n (找通项及特征)
=])
4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++?n n n n (设制分组)
=)4
1
31(8)4121(
4+-+++-+?n n n n (裂项)
∴ ∑∑∑∞=∞
=∞
=++-+++-+=-+1111)41
3
1(8)4121(
4))(1(n n n n n n n n n a a n (分组、裂项求和) =4
18)4131(4?++
?
=3
13
提高练习:
1.已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ,
⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列; ⑵设数列),2,1(,2
ΛΛ==
n a c n n
n ,求证:数列{}n c 是等差数列;
2.设二次方程n a x 2
-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用n a 表示a 1n +;
3.数列{}n a 中,2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *
N n ∈
⑴求数列{}n a 的通项公式;
⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ,求n S ;
说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习) 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式:??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n
(完整版)数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ,即n =8时,501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归 纳 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
几种常见数列求和方法的归纳 1.公式法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差,比数列求和。 (1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (等差数列推导用到特殊方法:倒序相加) (2)等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n (切记:公比含字母时一定 要讨论) (3)222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑(不作要求,但要了解) 例:(1)求=2+4+6+ (2) (2)求=x+++…+(x ) 2.倒序相加:适用于:数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例:(1)求证:等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 例:(1)求和:(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n (2)2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=
当1±≠x 时, n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。(分式求和常用裂项相消) 常见的拆项公式: 111)1(1+-=+n n n n ,) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n , 1111 ()(2)22 n n n n =-++, ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n , 2= 例:(1)求和:111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . (2)求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于:等差数列乘以等比数列的通项求和) 例:求和:23,2,3, ,, n a a a na
数列求和7种方法(方法全-例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [例1]已知3 log 1log 23-=x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由212log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32(利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11)211(21--n =1-n 21 [例2]设S n =1+2+3+…+n,n ∈N *,求1)32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得)1(21+= n n S n ,)2)(1(21++=n n S n (利用常用公式) ∴1)32()(++=n n S n S n f =64 342++n n n =n n 64 341 ++=50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴当8 8-n ,即n =8时,501)(max =n f 题1.等比数列 的前n项和S n=2n-1,则= 题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ,则a =,b =,c = . 解:原式=答案: 二、错位相减法求和
数列求通项公式及求和9种方法
数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1-1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L,求数列 {} n a的通项公式. (二).累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥,12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ,检验1n =的情 况 【小结】一般情况下,“累加法”(“累乘法”)里只有1n -个等式相加(相乘). 【例2】. (1) 已知21 1=a ,)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ,求 n a . (2)已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+,且3 21=a ,求n a .
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法(定义法): 1.等差数列求和公式: 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+?,即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算; 2.等比数列求和公式: (1)1q =,1n S na =; (2)1q ≠,( )111n n a q S q -= -,特别要注意对公比的讨论; 3.可转化为等差、等比数列的数列; 4.常用公式: (1)1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ; (2)21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ; (3)31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ; (4)1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ,求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解:由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L =x x x n --1)1(=2 11)211(2 1--n =1-n 2 1 例2 设123n S n =++++ ,*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解:易知 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64 342++n n n =n n 64341++=50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ,即8n =时,501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前n 项和即是用此法推导的,就是
数列求和的常用方法(新)
数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1 S n 2S n 3(1(2(3的前n 例1解:Ⅰ、若q =0, 则n S =0 Ⅱ、若q =1,则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1, 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式:n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
?)1(11132n n n nq q q q q q S -+?++++-=- ?)11(11n n n nq q q q S ----= ?q nq q q S n n n ----=1)1(12 ?1(1(2(3(42、根式形式,如: n n n n a n -+=++=111 例2:求数列211?,321?,4 31?,…,)1(1+n n ,…的前n 项和n S 解:∵)1(1+n n =1 11+-n n
1 11313121211+-+?++-+-=n n S n ?1 11+-=n S n 例3:求数列 311?,421?,531?,…,)2(1+n n ,…的前n 项和n S 解:由于:)2(1+n n =2 11(21+-n n ) ? ? 例3例4(1 (2则,由条件:对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。 ?)( 1222222+=+?+++=n a n ?1+=n a n ?21+=+n a n ?11=-+n n a a 从而:数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。
数列求和7种方法(方法全_例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11) 211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ,即n =8时,501)(max =n f 题1.等比数列的前n项和S n=2n-1,则=
(完整word版)数列求和的各种方法
数列求和的方法 教学目标 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式. 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容 知识梳理 1.求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n = ()21n a a n +=na 1+()d n n 2 1-. ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q =1时,S n =na 1; (Ⅱ)当q ≠1时,S n =() q q a n --111=a 1-a n q 1-q . ③常见的数列的前n 项和:, 1+3+5+……+(2n -1)= ,等 (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 这是推导等差数列前n 项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时,若有公因式 可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (5)错位相减法 这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,主要用于求{a n ·b n }的前n 项和,其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列. (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 例如,S n =1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. 123+++……+n= (1)2 n n +2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333 123+++……+n =2 (1)2n n +??????
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1],求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 题1.等比数列 的前n项和S n=2n-1,则= 题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ,则a = ,b = ,c = 二、错位相减法求和 { a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① [例4] 求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.
练习题1 已知 ,求数列{a n }的前n 项和S n . 练习题2 的前n 项和为____ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +. [例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求 的值. 练习、求值: 四、分组法求和 [例7] 求数列的前n 项和:231,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ,…
学会数列求和的几种常用方法
学会数列求和的几种常用方法 数列求和是高中数学的一个重要知识点,是高考的热点。数列求和方法有很多,但在高考中离不开以下三种常用方法。 1、分解为等差数列与等比数列的前n 项和 【例1】求2 22222)2()12(4321n n S n --++-+-= 【解】 )12(2 2)21(]2)12(4321[] 2)12)][(2()12[()43)(43()21)(21(+-=+- =+-+++++-=+---+++-++-=n n n n n n n n n n S n 【例2】设数列}{n a 满足:当5≤n 时,1 2-=n n a ,当6≥n 时,12-=n a n ,求它的前n 项和n S . 【解】当5≤n 时,122 12122211 2 -=--=++++=-n n n n S ;当6≥n 时,由于前5项 成 等 比 数 列 , 从 第 6 项 起 成 等 差 数 列 , 故 )12()172()162()12(5-++-?+-?+-=n S n 62)5)(12162()12(2 5 +=--+-?+-=n n n S n ,所以?????≥+≤-=) 6(6)5(122 n n n S n n 【例3】求)1()1()1(11 22-+++++++++++=n n a a a a a a S 【解】当1≠a 时,a a a a a n a a a a a a a a S n n n -+++--=--++--+--+--=1111111111232 即2 1 ) 1(1]1)1([111a a a a n a a a a a n S n n n ----=-----=+ 当1=a 时,2)1(321+=++++=n n n S n ,故???????=+≠----=+) 1(2 )1()1()1(12 1 a n n a a a a a n S n n 2、裂项相消法
(完整word版)数列中裂项求和的几种常见模型.docx
数列中裂项求和的几种常见模型 数列问题是高考的一大热点,而且综合性较强,既注重基础知识 的掌握,又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求 和,所以数列求和方法是学生必须掌握的,主要的求和方法有:公式 法、拆项重组法、并项求和法,裂项相消法、错位相加法、倒序相加 法等等,而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种,也是出现 频率最高,形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型,以供参考。 模型一:数列 { a n } 是以 d 为公差的等差数列,且 d 0,a n 0(n 1,2,3, ),则 1 1 1 1 a n a n 1 ( ) d a n a n 1 例 1 已知二次函数 y f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' (x) 6x 2 ,数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, S n )(n N ) 均在函数 y f ( x) 的 图像上。 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n 1 ,T n 是数列 {b n } 的前 n 项和,求使得 T n m 对所有 a n a n 1 20 n N 都 成 立 的 最 小 正 整 数 m ; (2006 年湖北省数学高考理科试题) 解:(Ⅰ)设这二次函数 f(x) =ax 2+bx (a ≠0) , 则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x -2, 得 a=3 , b= -2, 所以 f(x) =3x 2- 2x. 又因为点 (n, S n )( n N ) 均在函数 y f ( x) 的图像上,所以 S n =3n 2-2n. 当 n ≥2 时, a =S -S =( 2 n =6n -5. 3n -2n )- ( n 1) 2 2( 1) n n n -1 3 1 1 2 n n N ) 当 n =1 时,a = S =3×1-2=6×1- 5,所以,a =6n -5 ( (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 b n 3 = 3 = 1 ( 1 1 ) , a n a n 1 (6n 5) 6(n 1) 5 2 6n 5 6n 1
(完整word版)数列求和的各种方法
教学目标 1熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式. 2 ?掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 3?能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容 知识梳理 1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前n 项和公式 n n 1 , =na i + d . 2 ②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时,S n = na i ; (2) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解. (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法 这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时,若有公因式 可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. (5) 错位相减法 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,主要用于求 {a n ? b n }的前n 项和,其中{a n }和{b n } 分 别是等差数列和等比数列. ⑹并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型,可采用两项 合并求解. 例如,S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050. 数列求和的方法 n a i a n Si=— 2 (n )当q 丰1时, a i 1 q n 1 q a 1 — a n q 1 - q ③常见的数列的前 n 项和:1 +n=垃 1) , 1+3+5+??…+(2r — 1)= n 2 2 12 22 32 +n 2 n(n 罟,13 23 33 +n 3 2 n(n 1)等 2
数列求和7种方法(方法全-例子多)
数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 (利用常用公式)
=x x x n --1)1(= 2 11) 211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 - n ,即n =8时,501)(max =n f 题1.等比数列的前n项和S n=2n-1,则= 题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ,则a = ,b = ,c = . 解: 原式= 答案: 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(75314 3 2 -+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1 4 3 2 --+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=--
(完整版)详解数列求和的方法+典型例题
详解数列求和的常用方法 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 第一类:公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 (1)、)1(21 3211+=+?+++== ∑=n n n k S n k n (2)、)12)(1(6 1 321222212++= +?+++== ∑=n n n n k S n k n (3)、2 33331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类:乘公比错项相减(等差?等比) 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 }{n n b a ?的前n 项和,其中}{n a ,}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1:求数列}{1 -n nq (q 为常数)的前n 项和。 解:Ⅰ、若q =0, 则n S =0 Ⅱ、若q =1,则)1(2 1 321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1, 则1 2321-+?+++=n n nq q q S ①
n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式:n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1( ?)1(11 132n n n nq q q q q q S -+?++++-= - ?)11(11n n n nq q q q S ----= ?q nq q q S n n n ----=1)1(12 综上所述:???? ????? ≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21 )0(02 q q q nq q q q n n q S n n n 且 解析:数列}{1 -n nq 是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减, (课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论,最后再综合成三种情况。 第三类:裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: 1、乘积形式,如: (1)、1 1 1)1(1+-=+= n n n n a n (2)、)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n (3)、]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n ( 4 ) 、 n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则
数列求和常用的五种方法
数列求和常用的五种方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 11 2++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 例1. 已知3 log 1 log 23-=x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x , 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32=x x x n --1)1(=2 11)21 1(2 1--n =1—n 21 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2. 求和:132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ……………………① 解:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
当时1=x ,()()[]22 121127531n n n n S n =-+=-+++++= 当时1≠x 设 n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得: n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ,数列{}n a 是首项为a ,公比也为a的等比数列,令 )(lg N n a a b n n n ∈?=,求数列{}n b 的前n 项和n S 。 解析: a na a a a aS a na a a a S a a n b a a n n n n n n n n lg )32(lg )32(lg ,143232+++++=++++=∴?== ①-②得:a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=- [] n n a na n a a a S )1(1) 1(lg 2 -+--= ∴. 点评:设数列{}n a 的等比数列,数列{}n b 是等差数列,则数列 {}n n b a 的前n 项和n S 求解,均可用错位相减法.
几种常见数列求和方法的归纳
几种常见数列求和方法的归纳殊方法:倒序相加) 例:(1 )求5]产2+4+6+ (2) (2)求=x+ +. + …+ (x' ) 2.倒序相加:适用于:数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。 例:(1小证:等差数列「}的前n项和S n 2n(n 1)d 2 (2)sin21 sin22'.' sin 23、川川sin2 89: 3.分组求和法:把数列的每一项分成若干项, 例:(1)求和:(1)S n 111 111 使其转化为等差或等比数列,再求 和。 11 1 n个 10n1 9n 10 81 (2)S n (X 丄)2 (X2 X n (X 丄)2 n / X 1 时, S n 1 时,S n / 2n 2n 2 (x 1)(X 1) 2n / 2 2 X (X 1) 4n 1.公式法:即直接用等差、(1)等差数列的求和公式: 等比数列的求和公式求和。主要适用于等差,比数列求 和。n(a1 a n) 2 S n n(r 2 1) d (等差数列推导用到特 (2)等比数列的求和公式S n na1 (q 1) 印(1 q n) (3) n k2122232 k 1 HI 1 q(q n(n 1)(2n 1) 1) (切记:公比含字母时一定要讨论) (不作要求, 但要了解)
4 ?裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。裂项相消) 1 11 1 1 1 1 、 ——( ) n(n 1) n n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 ( ) n(n 2) 2 n n 2 (2 n)2 (2n 1)(2 n 1) 1 (2n 1)(2 n 1) 1 1 、2n 1 ,2n 3 2n 1 、2n 3 2 例:(1)求和: 1 ___ 2 4, 3 5 1 n(n (2)求和S n 2242 1 3 3 5 (2n)2 (2n 1)(2 n 1) S n 2n(n 1) 2n 1 5 ?错位相减法:比如a n等差等比,求@4 a2b2以等比数列的通项求和) 例:求和:a,2a2,3a3,川,na n,||| 当a 1时,S n anS的和?(适用于:等差数列乘 1 2 3 …n 当a 1时,S n na n 2 (n 1)a n 1 a (1 a)2 (分式求和常用 常见的拆项公式: 2 ,
数列求和方法总结
数列的求和 一、教学目标:1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 二、教学重点:特殊数列求和的方法. 三、教学过程: (一)主要知识: 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n (切记:公比含字母时一定要讨论) 2.公式法: 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 3.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式: 111)1(1+-=+n n n n ; 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求22222212979899100-++-+- 的和。 7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等
(二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例1.求和:① 个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++= ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S 思路分析:通过分组,直接用公式求和。 解:①)110(9 110101011112-=++++==k k k k a 个 ] )101010[(91 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S n x x x x x x n n 2)1 11( )(242242++++++++= (1)当1±≠x 时,n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+--- (2)当n S x n 4,1=±=时 ③ k k k k k k k k k k a k 2 3 252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-= -+-+++++-= 2 ) 1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++?=+++-+++= +++=n n n n n n n a a a S n n