专题24 平面向量中最值、范围问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)

【高考地位】

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

方法一 利用基本不等式求平面向量的最值

使用情景：一般平面向量求最值问题

解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；

第二步 运用基本不等式求其最值问题； 第三步 得出结论.

例1设M 是△ABC 内一点，且23AB AC ?=，30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =，其中m ，n ，

p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若1

()(,,)2

f M x y =，则14x y +的最小值是（ ）

A ．8

B ．9

C ．16

D ．18

例 2 如右图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且

,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为（ ）

A ．2

B ．

1

3

C ．

3223+ D ．3

4

【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为（ ）

A ．2

B ．

13 C ．43 D ．3

4

【变式演练2】已知点A （1,-1），B （4,0），C （2,2）．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1≤λ≤a ，1≤μ≤b ）的点P （x,y ）组成的区域．若区域D 的面积为8，则a+b 的最小值为 ． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===

为平行四边形内一点，且

2

2

AP =

，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ，则2u λ+的最大值为 ．

方法二 利用向量的数量积m n m n ?≤求最值或取值范围

使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题

解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；

第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论.

例3 已知OAB ?的顶点坐标为(0,0)O ，(2,9)A ，(6,3)B -， 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ?=. （1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标；

M

N

A B

G

Q

（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ?+的取值范围.

【变式演练4】已知向量,a b 不共线，t 为实数．

（Ⅰ）若OA a =，OB tb =，1

()3

OC a b =+，当t 为何值时，,,A B C 三点共线； （Ⅱ）若||||1a b ==，且a 与b 的夹角为120，实数1

[1,]2

x ∈-，求 ||a xb -的取值范围．

【变式演练5】若直线10()ax y a a R +-+=∈与圆2

2

4x y +=交于A 、B 两点（其中O 为坐标原点），则AO AB ?的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

方法三 建立直角坐标系法

使用情景：一般向量求最值或取值范围类型

解题模板：第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；

第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；

第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即

可.

例3 在ABC ?中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ?+的最小值是__________.

例 4 在Rt ABC ?中,BC a =,若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时

BP CQ ?的值最大?并求出这个最大值

.

【变式演练6】如图，在等腰直角三角形ABC 中，，D ，E 是线段BC 上的点，且

，则

的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【变式演练7】在平面上，121212,1,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+．若1

2

OP <，则OA 的取值范围是（ ）

A ．???

???25,0 B ．??????27,25 C ．??????2,25 D ．722? ?

【高考再现】

1. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足

DA =DB =DC ,DA ?DB =DB ?DC =DC ?DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2

BM

的最大值是( ) （A ）

434 （B ）49

4

（C ）37634+ （D ）372334+

2．【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·

b 的最大值是 ． 3.【2015高考福建，理9】已知1

,,AB AC AB AC t t

⊥== ，若P 点是ABC ? 所在平面内一点，且

4AB AC AP AB

AC

=

+

，则PB PC ? 的最大值等于（ ）

A ．13

B ．15

C ．19

D ．21

4.【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和

F 分别在线段BC 和DC 上,且,1

,,9BE BC DF DC λλ

==

则AE AF ?的最小值为 . 5.【2015高考浙江，理15】已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ?=，若空间向量b 满足125

2,2

b e b e ?=?=，

且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，

b = ．

6.【2015高考湖南，理8】已知点A ，B ，C 在圆2

2

1x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

7.【2015高考上海，文13】已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 .

【反馈练习】

1．【 2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学试卷，理15】已知AD 是ABC ?的中线，

(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，0120,2A AB AC ∠=?=-，则||AD 的最小值是 .

2. 【2017届浙江名校协作体高三上学期联考数学试卷，理15】已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆

C :2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB ?=，则正实数．．．m 的最小值为 ．

3．【 2017届山西大学附中高三二模测试数学试卷，理

15】在直角梯形

,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．

4．【 2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷理科数学试卷，理14】已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点

B ，若P 是曲线

C 上的动点，且AB AP ?的最小值为2，则a = .

5．【 2016届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二数学试卷，理16】在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2

(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -?+???≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ．

6．【 016届江苏省南京市高三第三次学情调研测试数学试卷，理14】在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o

，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则?OP BP 的最小值是 ．

7．【 2016届江苏省扬州中学高三3月质量检测数学试卷，理15】平行四边形ABCD 中，

60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点，且2

2

AP =

，若),(R ∈+=μλμλ，

则2u λ+的最大值为 ．

8．【 2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考数学试卷，文15】已知向量αβγ、、

满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-?-=．若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最

小值是 ．

9．【 2014-2015学年江苏省盐城市高一下学期期末考试数学试卷，理14】已知正方形ABCD 的边长为1，直线MN 过正方形的中心O 交边,AD BC 于,M N 两点，若点P 满足2(1)OP OA OB λλ=+-（R λ∈），则PM PN ?的最小值为 ．

10. 【2016届江苏省泰州中学高三上学期第二次月考数学试卷，理18】设ABC ?是边长为1的正三角形，点321,,P P P 四等分线段BC （如图所示）

．

（1）求112AB AP AP AP ?+?的值； （2）Q 为线段1AP 上一点，若1

12

AQ mAB AC =+

，求实数m 的值； （3）P 为边BC 上一动点，当PA PC ?取最小值时，求PAB ∠cos 的值．