7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

7.3.4正切函数的性质与图像

课标要求素养要求

1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质.

2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养.

教材知识探究

孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．

那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？

问题类比y＝sin x

，y＝cos x的图像与性质．

（1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？

（2）正切函数的图像是连续的吗？

提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的．

函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论

解析式 y ＝tan x

图像

定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π

2＋k π，k ∈Z }

值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数

单调性 在区间（k π－π2，k π＋π

2）（k ∈Z ）都是增函数

对称中心 ? ????

k π2，0（k ∈Z ） 零点

x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗

[微判断]

1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×）

提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π

2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数．

2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2.

3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√）

4．函数y ＝2tan x ，x ∈???

???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√）

[微训练]

与函数y ＝tan ? ?

???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ）

A ．x ＝π2

B ．x ＝－π

2

C ．x ＝π4

D ．x ＝π

8

解析 ∵2x ＋π4≠π

2＋k π（k ∈Z ），

∴x ≠π8＋k π

2（k ∈Z ），故选D.

答案 D [微思考]

正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示 y ＝tan x 是中心对称图形，对称中心为? ??

??

k π2，0（k ∈Z ），不是轴对称图形．

题型一 正切函数的定义域、值域问题

例1 （1）函数y ＝3tan ? ????

π6－x 4的定义域为 ；

正切函数的定义域为??????x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方

（2）函数y ＝tan 2x －2tan x ? ?

?

??|x |≤π3的值域为 ．

解析 （1）由π6－x 4≠π

2＋k π，k ∈Z ，

得x ≠－4π

3－4k π，k ∈Z ，

即函数的定义域为{x |x ≠－4π

3－4k π，k ∈Z }．

（2）令u ＝tan x ，∵|x |≤π

3，

∴由正切函数的图像知u ∈[－3，3]， ∴原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ∈[－3，3]，

∵二次函数y ＝u 2－2u ＝（u －1）2－1图像开口向上，对称轴方程为u ＝1， ∴当u ＝1时，y min ＝－1， 当u ＝－3时，y max ＝3＋23， ∴原函数的值域为[－1，3＋23]．

答案 （1）{x |x ≠－4π

3－4k π，k ∈Z } （2）[－1，3＋23]

规律方法 （1）求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图像或三角函数线．

（2）处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．

【训练1】 函数y ＝tan 2? ????3x ＋π3＋tan ? ?

?

??3x ＋π3＋1的定义域为 ，值域

为 ．

解析 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π

18，k ∈Z ，

所以函数的定义域为????

??x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ? ?

?

??3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2

＋t ＋1＝? ????t ＋122

＋34≥34，

所以原函数的值域是????

??

34，＋∞.

答案 ??????x |x ≠k π3＋π18，k ∈Z ??????34，＋∞ 题型二 正切函数的单调性 探究1 求正切函数的单调区间

解题时注意“ω”的符号对单调区间的影响

【例2－1】 求函数y ＝tan ? ??

??

－14x ＋π4的单调区间．

解 y ＝tan ? ????－14x ＋π4＝－tan ? ????

14x －π4，

由－π2＋k π<14x －π4<π

2＋k π（k ∈Z ）得－π＋4k π

y ＝tan （－14x ＋π

4）的单调递减区间是（－π＋4k π，3π＋4k π）（k ∈Z ）. 规律方法 y ＝tan （ωx ＋φ）（ω>0）的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π

2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 探究2 比较大小 把角转化到同一单调区间内

【例2－2】 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小． （1）tan 13π4与tan 17π

5；

（2）tan ? ????－13π4与tan ? ??

??

－16π5.

解 （1）因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π

5，

又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在???

?

??0，π2上是增函数，

所以tan π4

5.

（2）因为tan ? ????－13π4＝－tan π4，tan ? ????

－16π5＝－tan π5，

又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在???

?

??0，π2上是增函数，

所以tan π4>tan π

5，

所以－tan π4<－tan π

5，

即tan ? ????－13π4

（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． （2）运用单调性比较大小关系．

训练2 （1）函数y ＝3tan ? ??

??

π6－x 4的单调减区间为 ．

（2）比较大小：tan ? ????－7π4和tan ? ????

－9π5.

（1）解析 y ＝3tan ? ????π6－x 4＝－3tan ? ??

??

x 4－π6，

∴k π－π2

2（k ∈Z ），

∴4k π－4π3

3（k ∈Z ），

∴函数y ＝3tan ? ????π6－x 4的递减区间为?

?

4k π－4π3，

?

??

4k π＋8π3（k ∈Z ）.

答案 ? ?

?

??4k π－4π3，4k π＋8π3（k ∈Z ）

（2）解 ∵tan ? ????－7π4＝－tan ? ?

?

??2π－π4＝tan π4，

tan ? ????－9π5＝－tan ? ?

?

??2π－π5＝tan π5. 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在? ?

?

??0，π2内单调递增，

∴tan π5

即tan ? ????－7π4>tan ? ????－9π5.

题型三 正切函数图像、性质的应用

例3 设函数f （x ）＝tan ? ??

??x 2－π3.

（2）作出函数f （x ）在一个周期内的简图．

画正切函数的图像主要采用“三点二线”法，两线即为渐近线（1）求函数f （x ）的最小正周期，对称中心； 解 （1）∵ω＝1

2， ∴最小正周期T ＝πω＝π

12

＝2π.

令x 2－π3＝k π2（k ∈Z ），得x ＝k π＋2π3（k ∈Z ），

∴f （x ）的对称中心是? ?

?

??k π＋2π3，0（k ∈Z ）.

（2）令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π

6； 令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.

∴函数y ＝tan ? ????x 2－π3的图像与x 轴的一个交点坐标是? ??

??

2π3，0，在这个交点左，右

两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π

3，从而得到函数y ＝f （x ）在一

个周期? ??

??

－π3，5π3内的简图（如图）.

规律方法 熟练掌握正切函数的图像和性质是解决正切函数综合问题的关键，正

切曲线是被相互平行的直线x ＝π

2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成的， y ＝tan x 的对称中心为? ??

??

k π2，0，k ∈Z .

【训练3】 画出f （x ）＝tan|x |的图像，并根据其图像判断其单调区间、周期性、奇偶性．

解 f （x ）＝tan|x |化为

f （x ）＝?????tan x ，x ≠k π＋π

2，x ≥0（k ∈Z ），

－tan x ，x ≠k π＋π

2，x <0（k ∈Z ），

根据y ＝tan x 的图像，作出f （x ）＝tan|x |的图像，如图所示，

由图像知f （x ）不是周期函数，是偶函数，单调增区间为???

???0，π2，? ??

?

?k π＋π2，k π＋32π（k ∈N ）；单调减区间为? ????－π2，0，? ?

?

??k π－32π，k π－π2（k ＝0，－1，－2，…）.

一、素养落地

1．通过本节课的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养．

2．正切函数y ＝tan x 有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π

2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．

3．（1）正切函数y ＝tan x 的定义域是?

???

??x |x ≠k π＋π

2，k ∈Z ，

值域是R .

（2）正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan （ωx ＋φ） （Aω≠0）的周期为T ＝π|ω|.

（3）正切函数在? ??

??

－π2＋k π，π2＋k π（k ∈Z ）上递增，不能写成闭区间．正切函数

无单调减区间． 二、素养训练

1．函数y ＝2tan ? ?

???2x ＋π3的定义域为（ ）

A ．{x |x ≠π12}

B ．{x |x ≠－π

12}

C ．{x |x ≠π12＋k π，k ∈Z }

D ．{x |x ≠π12＋1

2k π，k ∈Z }

解析 由2x ＋π3≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π12＋12k π，k ∈Z ，故函数的定义域为{x |x ≠π

12＋1

2k π，k ∈Z }． 答案 D

2．函数f （x ）＝tan ? ??

??

x ＋π4的单调递增区间是（ ）

A.? ?

???k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．（k π，k π＋π），k ∈Z

C.? ?

?

??k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.? ?

?

??k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析 由－π2＋k π

4＋k π，k ∈Z ，故f （x ）的

单调递增区间是? ????

－3π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z . 答案 C

3．函数y ＝2tan （－3x ＋π

4）的最小正周期是（ ） A.π6 B.π3 C.π2

D ．π

解析 T ＝π

|－3|＝π3

. 答案 B

4．比较大小：tan 12 tan 5

2.

解析 因为tan 12>0，tan 52<0，所以tan 12>tan 5

2. 答案 >

5．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图像． 解 由2x ≠π

2＋k π，k ∈Z ， 得x ≠π4＋1

2k π，k ∈Z ，

即函数的定义域为{x |x ≠π4＋1

2k π，k ∈Z }，

值域为（－∞，＋∞），周期为T ＝π

2，对应图像如图所示．

基础达标

一、选择题

1．函数y ＝tan ? ??

??

x ＋π5，x ∈R 的一个对称中心是（ ）

A ．（0，0） B.? ??

??

π5，0

C.? ????45π，0 D ．（π，0） 答案 C

2．函数y ＝tan x ＋1

tan x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数

解析 函数的定义域是{x |x ≠1

2k π，k ∈Z }，且tan （－x ）＋

1

tan （－x ）

＝－tan x －

1tan x ＝－（tan x ＋1tan x ），所以函数y ＝tan x ＋1tan x 是奇函数． 答案 A

3．若x ∈[0，2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为（ ）

A.???

?

??0，π2 B.? ????

π2，π C.???

?

??π，3π2

D.? ??

??3π2，2π 解析

由题意知????

?tan x ≥0，－cos x ≥0，0≤x ≤2π，

∴函数的定义域为???

???π，3π2，故选C.

答案 C

4．下列各式正确的是（ ） A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7

7 D ．tan 9π8

7

答案 D

5．已知函数f （x ）＝tan ωx （ω>0）的图像的相邻两支截直线y ＝π

4所得线段长为π4，则f ? ????

π4的值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．－1

D.π

4

答案 A

解析 由题意，T ＝πω＝π

4，∴ω＝4. ∴f （x ）＝tan 4x ，f ? ????

π4＝tan π＝0.

二、填空题

6．函数y ＝tan x （π4≤x ≤3π4，且x ≠π

2）的值域是 ．

解析 函数y ＝tan x 在[π4，π2）上单调递增，在（π2，3π

4]上也是单调递增，所以函

数的值域是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. 答案 （－∞，－1]∪[1，＋∞）

7．比较大小：tan ? ????－2π7 tan ? ????

－π5.

解析 tan ? ????－2π7＝tan 5π7，tan ? ??

??

－π5＝tan 4π5，

又y ＝tan x 在? ????

π2，π上是增函数，

所以tan 5π7

－π5.

答案 <

8．若tan ? ?

?

??2x －π6≤1，则x 的取值范围是 ． 解析 由题意可得－π2＋k π<2x －π6≤π4＋k π，k ∈Z ，解之得－π6＋12k π

2k π，k ∈Z .

答案 {x |－π6＋12k π

2k π（k ∈Z ）}

三、解答题

9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈????

??

－π4，π4的值域．

解 ∵－π4≤x ≤π

4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1，1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－（t －2）2＋5.

∴当t ＝－1，即x ＝－π

4时，y min ＝－4，

当t ＝1，即x ＝π

4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4，4]．

10．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性． 解 由y ＝|tan x |得，

y ＝?????tan x ，k π≤x

2（k ∈Z ），－tan x ，－π

2＋k π

其图像如图：

由图像可知，函数y ＝|tan x |是偶函数． 函数y ＝|tan x |的周期T ＝π，

函数y ＝|tan x |的单调递增区间为[k π，k π＋π

2）（k ∈Z ）， 单调递减区间为（k π－π

2，k π）（k ∈Z ）.

能力提升

11．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间? ??

??

π2，3π2内的图像是（ ）

解析 当π

2

当x ＝π时，y ＝0；当π

2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x <0.故选D. 答案 D

12．已知函数f （x ）＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈? ??

??

－π2，π2.

（1）当θ＝－π

6时，求函数的最大值和最小值；

（2）若y ＝f （x ）在区间[－1，3]上是单调函数，求θ的取值范围． 解 （1）当θ＝－π6时，f （x ）＝x 2－233x －1＝? ????x －332

－4

3.

∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f （x ）取得最小值－4

3，

当x ＝－1时，f （x ）取得最大值23

3.

（2）f （x ）＝（x ＋tan θ）2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数，它的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ.

∵y ＝f （x ）在区间[－1，3]上是单调函数，

∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.

又θ∈? ????－π2，π2，∴θ的取值范围是? ????－π

2，－π3∪????

??π4，π2.

创新猜想

13．（多选题）下列说法正确的是（ ） A ．正切函数是周期函数，最小正周期为π B ．正切函数的图像是不连续的

C ．直线x ＝k π＋π

2（k ∈Z ）是正切曲线的渐近线

D ．把y ＝tan x ，x ∈? ??

??

－π2，π2的图像向左、右平行移动k π个单位，就得到

y ＝tan x ? ?

???x ∈R ，x ≠k π＋π2的图像 解析 正切函数是周期函数，周期为k π（k ∈Z ，k ≠0），最小正周期为π；正切曲线是由相互平行的直线x ＝π

2＋k π（k ∈Z ）（称为渐近线）所隔开的无穷多支曲线组成的，故A ，B ，C 均正确，选项D 中，没有明确k 的取值，故D 错． 答案 ABC

14．（多选题）关于函数y ＝tan ? ????2x －π3，下列说法错误的是（ ）

A ．是奇函数

B ．在区间? ?

?

??0，π3上单调递减 C.? ????

π6，0为其图像的一个对称中心 D ．最小正周期为π

解析 A 、B 错误，T ＝π2，故D 错，当x ＝π6时，y ＝tan ? ????

π3－π3＝tan 0＝0，C 正确．

答案 ABD