3-5第五节 三角恒等变换练习题(2015年高考总复习)

第五节 三角恒等变换

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ? ????

π4＋2α＝( )

A ．－3

B ．－1

7

C ．－4

3

D ．－7

解析 依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan2α＝2×21－4＝－4

3，

所以tan ? ????π4＋2α＝1－

4

31＋43

＝－1

7

.

答案 B

2．已知cos ? ????x －π6＝－33，则cos x ＋cos ? ??

??

x －π3的值是( )

A ．－23

3

B ．±233

C ．－1

D ．±1

解析 cos x ＋cos ? ????x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋3

2sin x ＝3? ??

??32cos x ＋12sin x ＝3cos ? ????x －π6＝－1.

答案 C 3．已知cos2θ＝2

3

，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.13

18

B.1118

C.79

D ．－1

解析 ∵cos2θ＝23，∴sin 2

2θ＝79，∴sin 4θ＋cos 4θ＝1－

2sin 2

θcos 2

θ＝1－12(sin2θ)2

＝1118

.

答案 B

4．已知α＋β＝π

4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．4

解析 ∵α＋β＝π

4tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，

∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.

∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2. 答案 C 5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分

别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为? ????35，45和? ??

??

－45，35，

则cos(α＋β)的值为( )

A ．－2425

B ．－725

C ．0

D.2425

解析 cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝3

5，cos(α＋β)＝

cos αcos β－sin αsin β＝35·(－45)－45·35＝－24

25

.选A.

答案 A

6．若sin ? ??

??

α－π4cos2α

＝－2，则sin α＋cos α的值为( )

A ．－72

B ．－12

C.12

D.72

解析 ∵2

2(sin α－cos α)＝－2(cos 2α－sin 2α)，

∴sin α＋cos α＝1

2.

答案 C

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．若tan ? ????α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析 ∵tan ? ????α＋π4＝tan α＋11－tan α25

， ∴5tan α＋5＝2－2tan α. ∴7tan α＝－3，∴tan α＝－3

7.

答案 －3

7

8．(2013·江西卷)函数y ＝sin2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．

解析 y ＝sin2x ＋23sin 2x ＝sin2x －3cos2x ＋ 3 ＝2sin(2x －π

3)＋3，所以T ＝π.

答案 π

9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.

解析 f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －2

5cos x )＝5sin(x －φ)而

sin φ＝

25，cos φ＝15

，当x －φ＝π

2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值5，

即θ＝φ＋π2＋2k π时，f (x )取最大值．cos θ＝cos(φ＋π

2＋2k π)＝－sin φ＝

－25

＝－25

5.

答案 －255

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ

2

＋sin θ－1

2cos (θ＋π

4)

的值．

解 ∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2

θ＝3

4， ∴tan θ＝－3或tan θ＝1

3.

又θ∈(π

2

，π)，∴tan θ＝－3.

∴2cos 2θ

2

＋sin θ－12cos (θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ

1－tan θ

＝1－31＋3

＝－12.

11．已知函数f (x )＝2cos ? ??

??

ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈??????0，π2，f ? ????5α＋53π＝－6

5，

f ? ????5β－56π＝16

17

，求cos(α＋β)的值． 解 (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15

.

(2)由(1)得f (x )＝2cos ? ??

??15x ＋π6， ∵f ? ????5α＋5π3＝2cos ? ????α＋π2＝－2sin α＝－6

5

. ∴sin α＝35，cos α＝45

.

∵f ? ????5β－5π6＝2cos β＝16

17

， ∴cos β＝817，sin β＝1517

.

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－13

85

. 12．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.

(Ⅰ)求C ；

(Ⅱ)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝2

5，求tan α的值．

解 (Ⅰ)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，

由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－2

2.

故C ＝3π

4.

(Ⅱ)由题意得

(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝2

5.

因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝

2

5

， tan 2

αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝2

5，

tan 2

αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝2

5

.①

因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝2

2

，

因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即325－sin A sin B ＝2

2，

解得sin A sin B ＝325－22＝2

10

.

由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.