《数字信号处理》复习习题

《数字信号处理》复习思考题、习题（一）

一、选择题

1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 。

A.离散值；连续值

B.离散值；离散值

C.连续值；离散值

D.连续值；连续值

2．一个理想采样系统，采样频率Ωs =10π，采样后经低通G(j Ω)还原，

?????≥Ω<Ω=Ωπ

π

5 05 51)(j G ；设输入信号：t t x π6cos )(=，则它的输出信号y(t)

为： 。

A ．t t y π6cos )(=； B. t t y π4cos )(=； C ．t t t y ππ4cos 6cos )(+=； D. 无法确定。

3．一个理想采样系统，采样频率Ωs =8π，采样后经低通G(j Ω)还原，

G j ()ΩΩΩ=<≥???14404 π

π

；现有两输入信号：x t t 12()cos =π，x t t 27()cos =π，

则它们相应的输出信号y 1(t)和y 2(t)： 。

A ．y 1(t)和y 2(t)都有失真； B. y 1(t)有失真，y 2(t)无失真； C ．y 1(t)和y 2(t)都无失真； D. y 1(t)无失真，y 2(t)有失真。

4．凡是满足叠加原理的系统称为线性系统，亦即： 。 A. 系统的输出信号是输入信号的线性叠加

B. 若输入信号可以分解为若干子信号的线性叠加，则系统的输出信号是这些子信号的系统输出信号的线性叠加。

C. 若输入信号是若干子信号的复合，则系统的输出信号是这些子信号的系统输出信号的复合。

D. 系统可以分解成若干个子系统，则系统的输出信号是这些子系统的输出信号的线性叠加。

5．时不变系统的运算关系T[·]在整个运算过程中不随时间变化，亦即 。 A. 无论输入信号如何，系统的输出信号不随时间变化 B. 无论信号何时输入，系统的输出信号都是完全一样的

C. 若输入信号延时一段时间输入，系统的输出信号除了有相应一段时间延时外完全相同。

D. 系统的运算关系T[·]与时间无关

6．一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=7x 2(n-1)，则该系统是： 。

A ．因果、非线性系统 B. 因果、线性系统

C ．非因果、线性系统 D. 非因果、非线性系统 7．一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=3x(n-2)+3x(n+2)，则该系统是： 。

A ．因果、非线性系统 B. 因果、线性系统

C ．非因果、线性系统 D. 非因果、非线性系统

8．一离散序列x(n)，若其Z 变换X(z)存在，而且X(z)的收敛域为：

R z x -<≤∞ ，则x(n)为： 。

A ．因果序列 B. 右边序列 C ．左边序列 D. 双边序列

9．已知x(n)的Z 变换为X(z)，则x(n+n 0)的Z 变换为： 。

A ．)(0z X n B. )(0z X z n C. )(0n z X D. )(0z X z n -

10．离散序列x(n)为实、偶序列，则其频域序列X(k)为： 。

A ．实、偶序列 B. 虚、偶序列 C ．实、奇序列 D. 虚、奇序列

11．序列的付氏变换是 的周期函数，周期为 。

A. 时间；T

B. 频率；π

C. 时间；2T

D. 角频率；2π

12．若x （n ）是一个因果序列，R x-是一个正实数，则x （n ）的Z 变换X （z ）的收敛域为 。

A. ∞≤<-z R x

B. ∞<<-z R x

C. -<≤x R z 0

D. -<

13．DFT 的物理意义是：一个 的离散序列x （n ）的离散付氏变换X （k ）为x （n ）的付氏变换)(ωj e X 在区间[0，2π]上的 。 A. 收敛；等间隔采样 B. N 点有限长；N 点等间隔采样 C. N 点有限长；取值 C.无限长；N 点等间隔采样 14．以N 为周期的周期序列的离散付氏级数是 。 A.连续的，非周期的 B.连续的，以N 为周期的 C.离散的，非周期的 D.离散的，以N 为周期的

15．一个稳定的线性时不变因果系统的系统函数H （z ）的收敛域为 。

A.1 , <∞≤

B. 1 r,0>≤

C. 1 , >∞≤

D. 1 r,0<≤≤r z

16．两个有限长序列x 1（n ）和x 2（n ），长度分别为N 1和N 2，若x 1（n ）与x 2（n ）循环卷积后的结果序列为x （n ），则x （n ）的长度为： 。 A. N=N 1+N 2-1 B. N=max[N 1，N 2] C. N=N 1 D. N=N 2

17．用DFT 对一个32点的离散信号进行谱分析，其谱分辨率决定于谱采样的点数N ，即 ，分辨率越高。

A. N 越大

B. N 越小

C. N=32

D. N=64

18．一有限长序列x(n)的DFT 为X(k)，则x(n)可表达为： 。

A ．101N X k W N nk k N [()]*-*=-∑ B.

10

1N X k W N nk k N [()]-*

=-∑

C ．101N X k W N nk k N [()]**=-∑ D. 10

1N X k W N

nk k N [()]*

=-∑ 19．频域采样定理告诉我们：如果有限长序列x （n ）的点数为M ，频域采样点

数为N ，则只有当 时，才可由频域采样序列X （k ）无失真地恢复x （n ）。

A. N=M

B. N

C. N ≥M

D. N ≤M

20．当用循环卷积计算两个有限长序列的线性卷积时，若两个序列的长度分别是N 和M ，则循环卷积等于线性卷积的条件是：循环卷积长度 。 A.L ≥N+M-1 B.L

21．一离散序列x(n)，其定义域为-5≤n<∞，若其Z 变换存在，则其Z 变换X(z)的收敛域为： 。

A ．R z x -<≤∞ B. R z x -<<∞ C ．0<<∞z D. R z R x x -+<<

22．已知x(n)的Z 变换为X(z)，则x(-n)的Z 变换为： 。

A ．X(z -1) B. X*(z *) C. X*(z -1) D. X(-z)

23．离散序列x(n)满足x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)有： 。

A ．X(k)=-X(k) B. X(k)=X*(k) C ．X(k)=X*(-k) D. X(k)=X(N-k)

24．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。

A.32

B.6

C.16

D. 8

25．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。 A. 8 B. 16 C. 1 D. 4

26．在时域抽取FFT 运算中，要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。在16点FFT 中，原来x(9)的位置扰乱后信号为： 。 A ． x(7) B. x(9) C. x(1) D. x(15) 二、概念填空题

1．系统的因果性是指系统n 时刻输出只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而和n 时刻以后的输入序列无关。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是：h （n ）=0，n<0。

2．为对某模拟信号作谱分析，以10kHz 的速率对其进行采样，采样点的间隔为T=410110000

11-?===

s f T s ，若计算1024个采样点的DFT 来进行信号的谱分析，则该信号的观察时宽T P =1024.010110244=??==-NT T P s ，信号频谱分辨率（谱样点之间的间隔）101024

10000≈==

N f F s Hz 。

3．系统的稳定性是指：若系统的输入有界，则系统的输出也是有界的。线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为

∑∞

-∞

=∞

4．基2DIT —FFT 或DIF —FFT 算法在时域或频域通过将长序列的DFT 不断地分解成若干个短序列的DFT ，并利用旋转因子的周期性和对称性来减少DFT 的运算次数。

三、判断说明题

1．一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=7x 2(n-1)，试判断该系统是否为线性系统？并简述理由。 答：1、判断：不是

简述：因为系统不满足叠加原理。例如：)1(7)]([22-=n x a n ax T 而

)1(7)]([2-=n ax n x aT ，即：)]([)]([n x aT n ax T ≠，不满足叠加原理。

2．一个N 点DFT ，其中M N 2=，当采用基2 DIT —FFT 计算时，其复数乘法

次数最多为

N N

M N 2log 2

2=?，试判断是否正确？并说明理由。 答：判断：正确 简述：采用DIT —FFT 运算，共分解成N M 2log =级，每级有N/2个蝶形，每个蝶形需要一次复数乘法，所以共需要

N N

M N 2log 2

2=?复数运算。

3．设有二个离散序列h （n ）和x （n ），序列长分别为M 和N ，且N>>M ，试问直接采用循环卷积的方法计算h （n ）*x （n ）能否节省运算量？并说明理由。 答：判断：不能

简述：用循环卷积计算线性卷积需要对短序列补许多零点，使N ≈M ，这样将增大运算量；应采用分段处理的方法计算，例如采用重叠相加法或重叠保存法计算，方可节省运算量。 4．只要因果序列x(n)具有收敛的Z 变换，则其“序列的付氏变换”就一定存在。判断该说法是否正确？并简述原因。 答：判断：不正确 简述：“序列的富氏变换”为单位圆上的Z 变换，因此，不仅要求序列Z 变换存在，而且还要求序列在单位圆上（︱z ︱＝1）的Z 变换存在。

5．只要因果序列x(n)的“序列的富氏变换”存在，则该序列的DFT 就一定存在。判断该说法是否正确？并简述理由。 答：判断：不正确

简述：序列的富氏变换存在，可能是收敛的无限长序列，而DFT 定义的序列是

有限长的，因此序列的富氏变换存在不能保证其DFT 存在。

6．序列x(n)的DFT 就是该序列的频谱。此提法是否正确？说明理由。 答：判断：不正确

简述：有限长序列的DFT 是该序列在频域（单位圆上）的N 点取样，而不是全部频谱。

7．一离散序列x(n)，若其Z 变换X(z)存在，而且X(z)的收敛域为：

R z x -<≤∞ ，判断x(n)是否为因果序列？并简述理由。

答：判断：是

简述：由收敛域知该序列Z 变换收敛域在半径为R x-的圆的外部，故序列是右边序列；又因为收敛域包含∞点，所以该序列是因果序列。

8．.一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=x(n)+8，试判断该系统是否为线性系统？并简述理由。 答：判断：不是

简述：因为系统不满足叠加原理。例如：8)()]([+=n ax n ax T 而8)(]8)([)]([?+=+=a n ax n x a n x aT ，即：)]([)]([n x aT n ax T ≠，不满足叠加原理。

9．离散序列x(n)为实、偶序列，试判断其频域序列X(k)的虚实性和奇偶性。 答：判断：X （k ）仍为实、偶序列

简述：由DFT 的共轭对称性可以证明该结论。 四、计算应用题

1．求序列x(n)=n

a (0<|a|<1)的Z 变换和收敛域。 解：∑∑∞

=---∞

=--+=

1

)(n n n n n

n z a z

a

z X

在上式中：

a

z az az z

a n n

n 1 11

<-=∑--∞

=--； a z az z a n n n <-=

-∞

=-∑ 11

1

所以：1

121 )

1)(1(1111)(---<<---=-+-=a z a az az a az az az z X

2．设有一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

1) 求这个系统的系统函数H(z)，并指出H(z)的收敛域； 2) 求出这个系统的单位脉冲响应h(n)； 3) 判断这个系统是否为稳定系统。 解：1）对差分方程两边求Z 变换，得：

（1-z -1-z -2）Y （z ）=z -1X （z ）

)

618.0)(618.1()

2

5

1)(251(11)()()(2211+-=

--+-

=

--=--==---z z z

z z z

z z z

z z z z X z Y z H 收敛域为：618.1>z

2）由Z 反变换，对H （z ）方程两边同除z ，有：

618

.0618.1)(++

-=z B

z A z z H ，容易求出A=0.4472；B=-0.4472 从而可得：)618

.0618.1(4472.0)(+--=z z

z z z H ，由Z 反变换得：

)]()618.0()()618.1[(4472.0)(n u n u n h n n --=

3）由线性时不变系统稳定性的充要条件

∑∞

-∞

=∞

统。 3．设一个N 点序列x(n)的DFT 为X(k)，试证明x*((-n))N R N (n)的DFT 为X*(k)。 证：)(])([)()(1

1

1

0k X W m x W

m x W

n x N m mk N N m mk N

N n nk

N

**

-=-=-*-=*===-∑∑∑ 4．一欲作频谱分析的模拟信号以10kHz 的速率被取样，且计算了1024个取样

的DFT ，试完成： (1) 说明该DFT 的物理意义；

(2)求出该DFT 两频率样点之间的频率间隔。 解：（1）DFT 是一个有限长离散信号的信号谱的频域等间隔取样。

（2）z s H N f F 101024

10000

≈==

5．求序列x(n)=- a n u(-n-1)(|a|<1)的Z 变换和收敛域。 解：

1

10

11

11

111)(1)(--∞

=---∞

=--=--

=-=-=

∑∑az z a z a z

a z X n n n n

n

收敛域：a z z a <∴<- 11Θ

6．设有一16点序列x(0),x(1),x(2),?,x(15)，用Couley —Tukey 算法做基2FFT 运算时需对输入序列进行“码位倒置”，试写出倒序方法和倒序后的序列顺序。 解：按照“码位倒置”方法，容易求得扰乱后的序列顺序为：

x(0)，x(8)，x(4)，x(12)，x(2)，x(10)，x(6)，x(14)，x(1)，x(9)，x(5)，x(13)，x(3)，x(11)，x(7)，x(15)

7．设h(n)是某线性时不变系统的单位脉冲响应，试证明对任意输入x(n)，其输

出y(n)为：

解：∵)()]([n h n T =δ ∴由时不变特性，有：)()]([k n h k n T -=-δ 而又因为对任意序列，有： ∑∞

-∞

=-=k k n k x n x )()()(δ

由线性性，有：

)

()()()()]

()([])()([)]([)(n h n x k n h k x k n k x T k n k x T n x T n y k k k *=-=

-=

-==∑∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=∞

-∞=δδ

8．试证明：若x(n)是实偶对称的，即x(n)=x(N-n)；则其频域序列X(k)也是实偶对称的。

解：因为：∑-=-=1

02)()]([N n nk j N

e

n x n x DFT π∑-=-=1

]2sin 2)[cos

(N n nk N

j nk N n x π

π k=0，1，…，N-1

由于x （n ）是关于N 的实偶序列，而nk N

π

2sin 是关于N 的奇序列，所以有：

02sin

)(1

=∑-=N n nk N

n x π

亦即：∑-==10

2cos

)()]([N n nk N

n x n x DFT π

为实序列； 又有：

)

(2cos )(]

2sin 2sin 2cos 2)[cos ()(2cos )()(1

1

1

0k X nk N n x k N n k N n n x k N n N n x k N X N n N n N n ∑∑∑-=-=-===+=-=-π

π

ππππ

9．设N 点实序列x （n ）=-x （N-n ），X （k ）=DFT[x （n ）]，试证明X （k ）是纯虚序列，而且满足X （k ）=-X （N-k ）。 解：因为：∑-=-=1

02)()]([N n nk j N

e

n x n x DFT π∑-=-=1

]2sin 2)[cos

(N n nk N

j nk N n x π

π k=0，1，…，N-1

由于x （n ）是关于N 的奇序列，而nk N

π

2cos

是关于N 的偶序列，所以有：02cos

)(1

=∑-=N n nk N

n x π

， 亦即：∑-=-=10

2sin

)()]([N n nk N

n x j n x DFT π

为纯虚序列； 又有：

)

(])([])([ )()()()(10

1

1

1

010

)(k X W n x W n x W n x W

W

n x W

n x k N X N n nk N nk N N n N n nk

N N n nN N

nk N

N n k N n N

**

-=*-=*-=--=--=-======-∑∑∑∑∑

所以：)()(2sin

)()()(1

k N X k N n N

n x j k N X k X N n --=-=-=∑-=*

π

10．设x （n ）是有限长复序列，X （k ）是它的DFT 。 试证明DFT[x *（n ）]=X *（-k ）和DFT[x *（-n ）]= X *（k ）。 解：1）)(])([)()]([1

01

0k X W n x W

n x n x DFT N n nk N N n nk

N

-===**

-=--=**

∑∑ 2）

)

(])([

])([)()]([)1(0

1

10

k X W

m x W n x W

n x n x DFT N m mk N

N n nk N N n nk

N

**

--=*

-=--=*

*

==-=-=-∑∑∑

11．研究一个复序列x(n)，x(n)=x r (n)+jx i (n)，其中x r (n)和x i (n)是实序列，序列x(n)的z 变换X(z)在单位圆的下半部分为零，即当πωπ2≤≤时，

0)(=ωj e X 。x(n)的实部为：

?????????±=-==其它

, 02 , 4

1

, 21

)(n n n x r

试求)(ωj e X 的实部和虚部。

解：因为)]()([2

1

)(n x n x n x r *+=

所以有：

)]()([2

1

)(ωωωj j j r e X e X e X -*+=

由题设当πωπ2≤≤时， 0)(=ωj e X ，从而有：

??

?≤≤<<=πωππ

ωωω

2

00 )(2)(j r j e X e X 而已知：)2(41

)2(41)(21)(--+-=n n n n x r δδδ

所以：)2cos 1(21

)(4121)(22ωωωω-=+-=-j j j r e e e X

由此可得：0)](Im[=ωj e X

???≤≤<<-=πωππωωω2

00

2cos 1)](Re[j e X

一、思考题

1．IIR 系统级联型结构的一个主要优点是 。 A.实现简单 B.所需器件最省 C.降低有限字长效应的影响 D.无误差积累 2．全通网络是指 。

A. 对任意时间信号都能通过的系统

B. 对任意相位的信号都能通过的系统

C. 对信号的任意频率分量具有相同的幅度衰减的系统

D. 任意信号通过后都不失真的系统 3．利用模拟滤波器设计法设计IIR 数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，即它使 。

A. 模拟滤波器的频谱与数字滤波器频谱相同

B. 模拟滤波器结构与数字滤波器相似

C. 模拟滤波器的频率成分与数字滤波器频率成分成正比

D. 模拟滤波器的冲激响应与数字滤波器的脉冲响应在采样点处相等

4．双线性变换法的最重要优点是： ；主要缺点是 。

A. 无频率混叠现象；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系

B. 无频率混叠现象；二次转换造成较大幅度失真

C. 无频率失真；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系

D. 无频率失真；二次转换造成较大幅度失真

5．IIR 滤波器必须采用 型结构，而且其系统函数H （z ）的极点位置必须在 。

A. 递归；单位圆外

B. 非递归；单位圆外

C. 非递归；单位圆内

D. 递归；单位圆内

6．在通信领域中，若对相位要求不敏感的场合，如语音通信等，选用 滤波器较为合适。

A.FIR 型

B. IIR 型

C.递归型

D.非递归型

7．IIR 系统并联型结构与级联型结构相比较，最主要的优点是 。 A. 调整零点方便 B. 结构简单，容易实现 C. 无有限字长效应 D. 无误差积累

8．在数字信号处理中，FIR 系统的最主要特点是： 。

A. 实现结构简单

B. 容易实现线性相位

C. 运算量小

D. 容易实现复杂的频率特性 9．利用模拟滤波器设计法设计IIR 数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。双线性变换法是一种二次变换方法，即它 。

A. 通过付氏变换和Z 变换二次变换实现

B. 通过指标变换和频谱变换二次变换实现

C. 通过二次变换，使得变换后S 平面与Z 平面间为一种单值映射关系

D. 通过模拟频率变换和数字频率变换二次变换实现

10．由于脉冲响应不变法可能产生 ；因此脉冲响应不变法不适合用于设计 。

A. 频率混叠现象；高通、带阻滤波器

B. 频率混叠现象；低通、带通滤波器

C. 时域不稳定现象；高通、带阻滤波器

D. 时域不稳定现象；低通、带通滤波器

11．一个线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应为奇对称、长度为奇数点，则该滤波器适宜作： 。

A. 低通

B. 高通

C. 带通

D. 带阻

12．FIR 滤波器主要采用 型结构，其系统函数H （z ）不存在 。

A.非递归；因果性问题

B.递归；因果性问题

C. 非递归；稳定性问题

D. 递归；稳定性问题

13．在通信领域中，若对相位要求高的场合，如图象通信、数据通信等，最好选用 滤波器。

A.FIR 型

B. IIR 型

C.递归型

D.全通型

14．一个线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应为偶对称、长度为偶数点，则该滤波器适宜作： 。

A ．低通 B. 高通 C. 点阻 D. 带阻

15．一个线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应为奇对称、长度为偶数点，则该滤波器适宜作： 。

A ．低通 B. 高通 C. 点阻 D. 带阻 16．在数字信号处理中通常定义的数字频率ω是归一化频率，归一化因子为 。

A ．采样周期 B. 模拟采样角频率 C. 模拟采样频率 D. 任意频率

17．信号数字频谱与模拟频谱间的一个显著区别在于数字频谱具有 。

A ．周期性 B. 更大的精确度 C. 更好的稳定性 D. 更高的分辨率

18．数字信号处理存在有限字长效应，适当增加信号描述字长将 。

A ．增大其影响 B. 消除其影响 C. 减小其影响 D. 对其无影响 二、概念填空题

1．利用付氏级数法设计FIR 数字滤波器时，首先由已给出的)(

j d e

H 用付氏级数展开的

方法求出h d （n ）（理想的单位脉冲响应），然后用R N （n ）（N 点矩形窗或N 点矩形序列）截取该序列就得到设计滤波器的h （n ）（单位脉冲响应）序列。由于截取就会产生误差，这

种截取误差在频域称作吉布斯效应，该效应将引起滤波器通阻带的波动（不平稳）性，从而使阻带的衰减（最小衰减）减小。

2．选择不同形状的窗函数截取可以改善FIR 滤波器的特性，常用的窗函数有：三角窗、汉宁窗、哈明窗、布莱克曼窗等，调整窗函数的长度N 可以有效地控制过渡带的宽度，适当选择形状的窗函数可使阻带衰减增大。

3．脉冲响应不变法是一种时域变换方法，它使h （n ）（数字滤波器单位脉冲响应）在采样点上等于h a （t ）（模拟滤波器冲激响应）。为了避免产生频谱混叠现象，在设计时要求对应的模拟滤波器带限于折叠频率（π/T ）以内。

4．如果FIR 滤波器的单位脉冲响应h （n ）为实序列，且满足偶对称（奇对称） 或奇对称（偶对称） ，其对称中心在2

)

1(-=

N n 处，则滤波器就具有严格的线性相位特性 。 5．利用窗函数法设计FIR 滤波器时，从时域出发，把滤波器理想的单位脉冲响应h d （n ）用一定形状的窗函数截取成 有限长的单位脉冲响应h （n ），以此h （n ）来逼近理想的h d （n ）。

6．数字滤波器计算机辅助设计是一种采用某种优化逼近方法，使设计的滤波器频响逼近理想滤波器频率响应，使其达到最优滤波器特性的一种方法。 三、判断说明题

1．采用频率取样结构实现FIR 数字滤波器时，其结构由一个梳状滤波器和N 个一阶网络并联结构级联构成，因此，只要滤波器单位脉冲响应h （n ）的长度N 相同，对于任何频响形状，其滤波器结构均相同。以上说法是否正确？并说明理由。 判断：正确

简述：按照频率采样滤波器结构的推导，上述说法是正确的，这正是频率采样结构的一个优点。但对于不同的频响形状，N 个并联一阶节的支路增益H （k ）不同。

2．在数字滤波器设计中常用先设计相应的模拟滤波器H a （s ），再通过某种映射将H a （s ）转换成数字滤波器的系统函数H （z ）的方法设计。为了保证转换后的H （z ）仍满足技术指标要求，要求转换关系必须满足：因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器后，仍是因果稳定的。有人将上述要求改述为：转换关系应使S 平面的左半平面转换到Z 平面的单位圆内。上述说法是否一致？并说明理由。 判断：一致

简述：由于对模拟滤波器而言，因果稳定系统传递函数H a （s ）的极点均在S 平面的左半平面，只要转换关系满足使S 平面的左半平面转换到Z 平面的单位圆内，就保证了转换后数字滤波器系统函数H （z ）的极点全部在Z 平面的单位圆内，从而保证了系统的因果稳定性。

3．IIR 滤波器采用递归型结构实现，又称为递归滤波器；FIR 采用非递归型结构实现，又称为非递归滤波器。试判断此说法是否正确？并说明理由。 判断：不对

简述：正确的表述应为：IIR 滤波器只能采用递归型结构实现；FIR 滤波器一般采用非递归型结构实现，但也可使结构中含有递归支路。就是说滤波器结构与特性没有必然的联系。

4．在数字滤波器设计中常用先设计相应的模拟滤波器H a （s ），再通过某种映射将H a （s ）转换成数字滤波器的系统函数H （z ）的方法设计。为了保证转换后的H （z ）仍满足技术指标要求，要求转换关系必须满足：模拟域的频率转换成数字域的频率。有人将上述要求

改述为：转换关系应使S 平面的j Ω轴转换到Z 平面的单位圆上。上述说法是否一致？并说明理由。 判断：一致

简述：由于对模拟域而言，其频率轴就是S 平面的虚轴j Ω轴，而对数字域来说，其频率轴是Z 平面的单位圆，因此两者是一致的。

四、计算应用题

1．设某滤波器的系统函数为：

)81.09.0)(14()

123)(32()(22-+-+-+=

z z z z z z z H

1）若用级联型结构实现，画出系统的结构流图；

2）若用直接Ⅱ型结构实现，画出系统的结构流图。 解：1）容易将H （z ）写成级联型的标准形式如下：

2

12

11

4114321121181.09.012315.0)

81.09.01)(4()

23)(32()(-------------++-?-+=-+-+-+=

z z z z z z z z z z z z z H

显见，该系统的级联结构由一个直接Ⅱ型一阶节和一个直接Ⅱ型二阶节级联而成，因此容易画出该系统的级联型结构图如图A-1所示。 2）容易将H （z ）写成直接Ⅱ型的标准形式如下：

3213

212025.0035.165.0175.025.15.1)(------+-++-+=

z z z z

z z z H

从而容易画出该系统的直接Ⅱ型结构图如图A-2所示。

2．设某FIR 系统的系统函数为：

532

15

13

12)(---

-+++=z z z

z z H

1） 求出该系统的h （n ），并作图表示；

2） 写出描述该系统的差分方程； 3） 判断该系统的因果性和稳定性。

解：1）由FIR 系统函数表述关系，容易写出该系统的单位脉冲相应为：

)5(5

1

)3(31)2(2)1()(-+-+-+-=n n n n n h δδδδ

画出h （n ）的图形如图A —3所示。

2）由系统函数容易求出系统的差分方程为： )

()()(z X z Y z H =

Θ

所以有：

图A —1

图A —2

2 1 1/3

0 0

1/5

n

图A —3

)()5

1312()(5

32

1z X z z z

z z Y ----+++=

对上式两边求Z 反变换，可得：

)5(5

1

)3(31)2(2)1()(-+-+-+-=n x n x n x n x n y

3）由线性时不变系统因果性和稳定性的充分必要条件，容易判断知：该系统为因

果稳定系统。

3．设某滤波器的系统函数为：

)32)(152(34)(223++-+-=

z z z z

z z z H

1）若用级联型结构实现，画出系统的结构流图； 2）若用直接Ⅱ型结构实现，画出系统的结构流图。 解：1）容易将H （z ）写成级联型的标准形式如下：

2

12

11211215.05.2125.075.015.111)5.05.21)(5.11()

25.075.01()(----------+-+-?+=+-++-=

z z z z z z z z z z z H

显见，该系统的级联结构由一个直接Ⅱ型一阶节和一个直接Ⅱ型二阶节级联而成，因此容易画出该系统的级联型结构图如图A-4所示。 2）容易将H （z ）写成直接Ⅱ型的标准形式如下：

3

212

175.025.3125.075.01)(-----+--+-=

z z z z

z z H

从而容易画出该系统的直接Ⅱ型结构图如图A-5所示。

4．设有一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)

1）求这个系统的系统函数H(z)，画出H(z)的零点和极点图，并指出H(z)的收敛域； 2）出这个系统的单位脉冲响应h(n)；判断这个系统是否为稳定系统； 3）画出这个系统的实现结构方框图。

解：1

）对差分方程两边求Z 变换，得：

（1-z -1-z -2）Y （z ）=z -1X （z ）

)

618.0)(618.1()

251)(251(1

1)()()(2211

+-=

--+-=

--=--==

---z z z

z z z

z z z z z z

z X z Y z

收敛域为：618.1>z

图A —4

图A —5

x(n)

-rsin θ rcos θ

rsin θ

rcos θ

z -1

z -1

y(n)

2）由Z 反变换，对H （z ）方程两边同除z ，有：

618

.0618.1)(++-=z B

z A z z H 容易求出A=0.4472；B=-0.4472。从而可得：

)618

.0618.1(4472.0)(+--=z z z z z H

由Z 反变换得：

)]()618.0()()618.1[(4472.0)(n u n u n h n n --=3）由线性

时不变系统稳定性的充要条件

∑∞

-∞

=∞

5．关于滤波器结构试完成以下工作：

1） 数字滤波器的差分方程为：

)

1(31

)( )2(81)1(43)(-+=-+--

n x n x n y n y n y

试按下列形式画出该滤波器的结构流图：

(1)直接型 (2)正准型 (3)级联型 (4)并联型

级联型和并联型流图中只允许使用一阶节实现。

2）求出图P-1所示结构的差分方程和系统函数。 解：1）对差分方程两边求Z 变换有：

)()3

1

1()()81431(121z X z z Y z z ---+=+-

从而系统的系统函数为：

1

2

114

112

1

1

4

113

1281

1431

3

113

10

137)

1)(1(111)()()(---------+-

-=

--+=+-+==z z z z z z z z z X z Y z H

由此可画出系统的直接型、正准型、级联型和并联型如图A －6、图A －7、图A －8和图A

－9所示。

图P-1

2）设在图P-1上面右边节点为y 1(n)，则有：

)1(cos )1(sin )()(11-+--=n y r n y r n x n y θθ对上式两端求Z 变换，有：

)(sin )()cos 1)((111z Y rz z X rz z Y θθ---=-

θ

θcos 1)

(sin )()(111----=rz z Y rz z X z Y

)1(cos )1(sin )(1-+-=n y r n y r n y θθ

对上式两端求Z 变换，并做整理后有：

θ

θθθθcos 1)(sin )(sin )

(sin )()cos 1(11

1

111-------==-rz z Y rz z X z

r z Y z r z Y rz

从而有：

)

(sin )(sin )()cos 1(222121z Y z r z X z r z Y rz θθθ----=-

)(sin )()cos 21(1221z X rz z Y z r rz θθ---=+-

从而可得，系统函数为：

2

211cos 21sin )(---+-=

z r rz rz z H θθ

进而可得系统的差分方程为：

)1(sin )2()1(cos 2)(2-+---=n x r n y r n y r n y θθ

6．用信号流图画出以下系统函数所对应的直接型和正准型结构：

1）2

345

2238.0)(2

323++++++=z z z z z z z H 2）3282

)(2--+-=z z z z H

解：1）先将系统函数改写成：

3

213

21234146.16.14.2)(------++++++=z z z z z z z H

从而可以容易地画出直接型和正准型结构如图A －10和A －11所示。 2

8

31412

4

1181212113282)(----------+-=--+-=z z z z z z z z z H 从而可以容易地画出直接型和正准型结构如图A －12和A －13所示。

7．试用双线性变换法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，其技术指标为：

2） 在ω≤0.5π的通带内，衰减小于等于3dB ；

3） 在0.75π≤ω≤π的阻带范围内，衰减大于等于15dB 。

注：设T=1，给出p s ΩΩ=λ；1101101.01.0--=s

p a a k ；

λlg lg k N -≥；

A －10

A －11

-1

A －12

A －13

归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数： N=2

1

414.11

)(2++=s s s H a

N=3

)1)(1(1

)(2

+++=s s s s H a

解：1）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标

s rad tg tg T p p /22

5.0222===Ωπω

s rad tg tg T s s /828.42

75.0222===Ωπω

2）计算模拟滤波器阶数N

414.22

828.4==ΩΩ=p s λ

1803.01

101101.01.0=--=s

p a a

k 9412.1414

.2lg 1803

.0lg lg lg =-=-≥λk N 取N=2

3）由给出的归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数可得所设计的模拟滤波器

传递函数为：

1

414.11

)(2++=s s s H a

4）用双线性变换法求出数字低通滤波器系统函数为：

2

12

111

211

112172.26828.7211)112(414.1)112(1

)()(1

1--------+-=+-++=

++-++-=

=--z z z z z

z z z s H z H z z s a

8．用双线性变换设计一个巴特沃思数字低通滤波器，要求： 1） 在频率小于等于2.5Hz 的通带内，衰减小于等于3dB ； 2） 在频率大于等于50Hz 的阻带内，衰减大于等于40dB ； 3） 采样频率f s =200Hz 。

注：设T=1，给出p

s

ΩΩ=λ；1101101.01.0--=s p

a a k ；λlg lg k N -≥；

归一化原型巴特沃思低通滤波器传递函数： N=2

1

414.11

)(2++=s s s H a

N=3

)

1)(1(1

)(2

+++=s s s s H a

解：1）将滤波器指标转换到数字域

rad T f s p

p 07854.0200

5

.222=?='=ππω

rad T f s s s 5708.1200

50

22=?='=ππω

2）将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标

s rad tg tg T p p /07858.02

07854.0222===

Ωω s rad tg tg T s s /22

5708.1222===Ωω

3）计算模拟滤波器阶数N

4518.2507858

.02==ΩΩ=p s λ

01.01

101101.01.0=--=s p

a a k

4228

.14518

.25lg 01

.0lg lg lg =-=-≥λk N 取N=2