相交线与平行线 讲义

相交线相关知识点

相交线的相关知识点：

1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关

系的两个角，互为_____________.

2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的

反向延长线，具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________.

3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.垂

线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.

4.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分

别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.

知识点补充

1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O

⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)

⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。

如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)

⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。

⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

例1、两个角互为邻补角，它们的平分线所成的角是 度.

A B C D

O

?A B O

例2、（1）、若三条直线AB、CD、EF相交于一点O，一共构成多少对邻补角？

（2）、一个角的余角是这个角的补角的1/3 ，试求这个角。

例3、三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（）。

A、3对

B、4对

C、5对

D、6对

例4、下列说法正确的是（）

A．有公共顶点，且方向相反的两个角为对顶角 B．有公共顶点，且又相等的角为对顶角C．角的两边互为反向延长线且有公共顶点的两个角为对顶角

D．有公共顶点的两个角为对顶角

例5、已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC+∠BOD=230°，求∠BOC的度数.

例6、如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠2：∠3=2：3：4，求∠4的度数.

例7、如图，,8,6,10,

⊥===那么点A到BC的距离是_____，点B到BC AC CB cm AC cm AB cm

AC的距离是_______，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是________．

例8、如图所示的6

个角中，

同位角有

对，他们是

内错角有对，他们是

同旁内角有对，他们是

例9、如图，下列说法错误的是（）。

A、∠A与∠C是同旁内角

B、∠1与∠3是同位角

C、∠2与∠3是内错角

D、∠3与∠B是同旁内角

练习：

1、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形（）

A、 B、 C、

2、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（）

A第一次右拐50°，第二次左拐130° B第一次左拐50°，第二次右拐50°

C第一次左拐50°，第二次左拐130° D第一次右拐50°，第二次右拐50°

3、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB ⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．

1 2

4、如图，直线

AB 、CD 相交于O ，∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度数

5、如图,直线AB 、CD 相交于点O

(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求∠BOC 、∠AOD 的度数；

(2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 、∠BOD 的度数。

6、如图,直线AB 、CD 、EF 相交于点O,∠BOE 的对顶角是_______,∠COF 的邻补角是________.若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.

7、如图,直线AB 、CD 相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=________.

A

E 1 2

) ) O

C

B

D

A

D

O

C

B

8、如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与

OE 的位置关系，并说明理由．

9、下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角．．．

的是（ ）

A. ②③

B. ①②③

C. ①②④

D. ①④

10、如图1,∠2和∠8是 . ∠2和∠4是 .∠1和∠3是 .∠9和∠10是 ,∠1和∠7也是 .∠2和∠10是 .

-

l 3

l 2

l 1

直线平行的判定

知识点： 1、在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两

条直线的位置关系只有________与_________两种.

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 3、平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平

行.简单

说成：

_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所

截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互

补，那么这两条直线平

行.简单说成：

________________________________________.

（4）在同

一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______

例1、如图，已知∠AED ＝60°，∠2

＝30°，EF 平分∠AED ，可以判断

EF ∥BD 吗？为什么？

H G

21

F

E D

C B

A

E D

C

B A

21

F E D

C

B A

N M

E

D C B

A

F

E D C B A 2

1

D

C

A

B

E

1

2

3 4

α