河北省衡水中学高二下学期期末考试方法

2011—2012学年度第二学期高二年级期末考试

高二年级(理科)数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案

的序号填涂在答题卡上）

1．已知=+=-=211121,,,1,3Z Z i Z Z i Z i Z 则为虚数单位的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +2 D ．i -2 2.若0m >，则||x a m -<和||y a m -<是||2x y m -<的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分有必要条件 3.

=+-?

-dx x x )1(1

1

2 （ ）

A ．π B.

2

π

C.1+π

D.1-π 4. 在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π

6

)作曲线C 的切线，则切线

长为( )

A ．4 B.7 C ．2 2 D ．2 3 5.2

2

2

,,sin ,x

a xdx

b e dx

c xdx =

==?

??则a b c 、、大小关系是（ ）

A a c b <<

B a b c <<

C c b a << 6 .如图，过点P 作圆O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE,BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于C 、

D ，若∠AEB=030,则∠PC

E 等于( ) A 0150 B 075 C 0105 D 060

7.关于x 的不等式22|cos lg(1)||cos ||lg(1)|x x x x +-<+-的解集为 （ ）

A.（-1,1）

B.(,1)(1,)22

π

π

--?

C.(,)22

ππ

-

D.(0,1)

8..直线1123332

x t y t ?=+????=-+??(t 为参数)和圆22

16x y +=交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标

为( )

A ．(3，－3)

B ．(－3，3)

C ．(3，－3)

D ．(3，－3) 9.如图所示，AB 是圆O 的直径，直线MN 切圆O 于C ，CD ⊥AB ，AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，则下列结论中正确的个数是( ) ①∠1＝∠2＝∠3 ②AM ·CN ＝CM ·BN ③CM ＝CD ＝CN ④△ACM ∽△ABC ∽△CBN ．

A ． 4

B ．3

C ．2

D ． 1 10.已知非零向量,a b 满足：2=||||a b ，若函数

P

E B A

D

C 第6题

3211

()32

f x x x x =++?||a a b 在R 上有极值，设向量,a b 的夹角为θ，则cos θ的取值范

围为（ ） A ．[1[,1]2

B ．1(,1]2

C ．1[1,]2-

D ．1[1,)2

-

11.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S

a ＋

b ＋c

；

类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝( )

A ．V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

B ． 2V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

C ．3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4

D ．4V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

12.若实数,,x y z 满足2

2

2

1x y z ++=则xy yz zx ++的取值范围是 （ ） A.[-1,1] B.[1,1]2- C.[-1，1]2 D.11[,]22

-

二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在题中横线上）

13. 以Rt ABC ?的直角边AB 为直径作圆O ，圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若3BC =，4AB =，则OE =_________ 14.已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2

π

ρθ=-+

，

2cos()104

π

ρθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为

15.设22,,a x xy y b p xy c x y =

-+==+,若对任意的正实数,x y ,都存在

以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .

16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导数更为简单，如求x

e x

y

=的导数，可先在两边取对数，得x e x y x e x

ln ln ln ==，

再在两边分别对x 求导数，得

x e x e y y x x 1ln 1'?+=?即为??? ?

?

?+=x e x e y y x x x 1ln ',

即导数为???

? ??+=x e x e x y x x

e x ln 。若根据上面提供的方法计算函数x x y =的导数，则

='y

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知1a b +=，对,(0,)a b ?∈+∞，1

4

|21||1|x x a b

+

≥--+恒成立，求x 的取值范围。

18. （本题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

23(24x t

t y t

=--??

=-?为参数） 它与曲线C ：

221x -=（y-2)交于A 、B 两点。 （1）求|AB|的长

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为

3(22,)4

π，求点P 到线段AB 中点M 的距离。

19. （本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．

(1)求出)2(f ，)3(f )4(f )5(f 并猜测)(n f 的表达式；

(2)求证：1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋

1

f n －1

2

3

<

．

20.（本题满分10分） 如图, ABC ?内接于⊙O , AB 是⊙O 的

直径, PA 是过点A 的直线, 且ABC PAC ∠=∠. (Ⅰ) 求证 PA 是⊙O 的切线; (Ⅱ)如果弦CD 交AB 于点E , 8=AC ,

5:6:=ED CE , 3:2:=EB AE , 求BCE ∠sin .

21.（本题满分14分）某园林公司计划在一块O 为圆心,R (R 为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ?区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成．

本．是每平方米2元，花木的利润．．是每平方米8元，草皮的利润．．是每平方米3元.（1）设(COD θ∠=单位：弧度）, 用θ表示弓形CMDC 的面积()S f θ=弓;（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的θ (参考公式扇形面积公式211

22

S R Rl θ==，l 表示扇形的弧长)

22.（本题满分14分）已知函数2

1()(21)2ln ()2

f x ax a x x a =-++∈R (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；

(Ⅱ)求()f x 的单调区间；

(Ⅲ)设2

()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，

求a 的取值范围.

O

D

C

B

. A B C

O E D P

高二年级(理科) 期末数学答案

一、选择题：DABCD CADBD CB 二、填空题13．

52

14．21+ 15．（1,3） 16．)ln 1(x x x + 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）解：∵ a ＞0,b ＞0 且a+b=1 ∴ 1a +4b =(a+b)( 1a +4b

)=5+b a +4a

b

≥

9,

故

1

a

+

4b

的最小值为

9，

------------------------5分

因为对a,b ∈(0，+∞),使1a +4

b

≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9, -7分

当 x ≤-1时，2-x ≤9, ∴ -7≤x ≤-1, 当 -1＜x ＜1

2

时，-3x ≤9, ∴ -1＜x ＜

12,当 x ≥12时,x-2≤9， ∴ 12

≤x ≤11,∴ -7≤x ≤11 ------------- 10分

18. 解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

051272=--t t

设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 7

5

,7122121-==+t t t t ． ……3分

所以7

71

104)(5)4()3(212212122=

-+=--+-=t t t t t t AB ． ……5分

(Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为

7

6

221=+t t ． ……8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为

7

30

76)4()3(22=?-+-=PM ． ……10分

20. 解： (1)∵ f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴ f (5)＝25＋4×4＝41.

∵ f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，

由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴ f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)，

f (n －2)－f (n －3)＝4·(n －3)，… f (2)－f (1)＝4×1，

∴ f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＝2(n －1)·n ，∴ f (n )＝2n 2

－2n ＋1(n ≥2)，

又n ＝1时，f (1)也适合f (n )．

∴ f (n )＝2n 2

－2n ＋1. --------6分

(2)当n ≥2时，1f n －1＝12n 2－2n ＋1－1＝12? ??

??1

n －1－1n ，

∴ 1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1

f n －1

＝1＋12? ????1－12＋12－1

3＋…＋1n －1－1n

＝1＋12? ????1－1n ＝32－1

2n . ---------------12

分

20. （Ⅰ）证明：AB 为直径，,2

π

=

∠∴ACB

2

π

=

∠+∠ABC CAB 2

π

=

∠+∠∴∠=∠CAB PAC ABC PAC Θ

AB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线

…………………… 3分

（Ⅱ）m EB m AE k ED k CE 3,2,,5,6==== k m ED CE EB AE 5=

??=?Θ

AEC ?Θ∽DEB ?54638=?=?BD k

m

BD

CEB ?Θ∽AED ?55

2,2)3(80

25642522222==?=--=?

k m m k m m AD BC ,10=∴AB 54=BD 在直角三角形ADB 中5

5

21054sin ===∠AB BD BAD BAD BCE ∠=∠Θ5

5

2sin =∠∴BCE …………………… 10分

21 【解析】（1）212S R θ=扇，21sin 2

OCD S R θ?=, 21

()(sin )2S f R θθθ==-弓.………3分

(2)设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y

221113()22y R R πθ=-，221sin 82y R θ=?，231

(sin )22

y R θθ=-?,

22221231111

3()sin 8(sin )22222

y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+?--? .

21[3(510sin )]2R πθθ=--

……8分

设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈. '()510cos g θθ=- ，'1()0,cos ,()2g g πθθθθ<>∈在（0, ）

3

上为减函数；

'1()0,cos ,()2g g π

θθθθπ><∈在（，）

3

上为增函数当3

π

θ=

时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成

3

π

时，总利润最大. ………14分 M O

D

C

.

A

B

C

O

E

D

P

22.解：2

()(21)f x ax a x '=-++

(0)x >. ---------2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得2

3

a =. ---------3分

（Ⅱ）(1)(2)

()ax x f x x

--'=(0)x >.

①当0a ≤时，0x >，10ax -<，

在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.

②当102

a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1

(2,)a 上

()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a

.

③当1

2

a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.

④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1

(,2)a

上

()0f x '<，

故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1

(,2)a

.

---------9分

（Ⅲ）由已知，在

(0,2]

上有

max

max ()()f x g x <.

---------10分

由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，

①当1

2

a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，

故1

ln 212a -<≤.

②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1

[,2]a

上单调递减，

故max 11

()()22ln 2f x f a a a

==---.

由12a >可知11

ln ln ln 12e

a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，

所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21

a >-.

---------14分