2017年中考数学真题分类解析汇编专题11:圆的问题.docx
2017 年中考数学真题分类解析汇编专题11:圆的问题
一、单选题
1、( 2017 ·金华)如图,在半径为13cm 的圆形铁片上切下一块高为8cm 的弓形铁片,则弓形弦AB 的长为()
21
A 、 10cm
B、 16cm
C、 24cm
D、 26cm
2、(2017?宁波)如图,在Rt△ ABC 中,∠ A = 90°,BC=.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB 、AC 相切于 D、 E 两点,则的长为()
21教育名师原创作品
A、
B、
C、
D、
3、( 2017 ·丽水)如图,点 C 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点, AC=2 ,则图中阴影部分的面积是()
A、
B、
C、
D、
4、( 2017 ·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB 是⊙ O 的直径, CD ,EF 是⊙ O 的弦,且AB ∥ CD ∥ EF, AB=10 ,CD=6 , EF=8 。则图中阴影部分的面积是()
A、
B、
C、
D、
二、填空题
5、( 2017?杭州)如图, AT 切⊙ O 于点 A , AB 是⊙ O 的直径.若∠ ABT=40°,则∠ ATB=________ .
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6、( 2017?湖州)如图,已知在中,.以为直径作半圆,交于点.若
,则的度数是 ________度.
7、( 2017 ·台州)如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB , AC 的夹角为120 °, AB 长为 30cm,则弧 BC 的长为 ________cm (结果保留)
8、( 2017?绍兴)如图,一块含45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点 A 在⊙ O 上,边 AB ,AC 分别与
9、( 2017 ·嘉兴)如图,小明自制一块乒乓球拍,正面是半径为的,,弓形(阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为________.
10、( 2017?湖州)如图,已知,在射线上取点,以为圆心的圆与相切;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切;在射线上取点,以
为圆心,为半径的圆与相切;;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切.若的半径为,则的半径长是________.
11、( 2017 ·衢州)如图,在直角坐标系中,⊙ A 的圆心 A 的坐标为( -1,0),半径为 1,点
P 为直线上的动点,过点 P 作⊙ A 的切线,切点为 Q,则切线长 PQ 的最小值是 ________
三、解答题
点,交于点.已知,.
(1) 求的长;
(2)求图中阴影部分的面积.
13、( 2017 ·台州)如图,已知等腰直角△ ABC ,点 P 是斜边 BC 上一点(不与 B ,C 重合), PE 是△ ABP 的外接圆⊙ O 的直径
【出处: 21 教育名师】
(1)求证:△ APE 是等腰直角三角形;
(2) 若⊙ O 的直径为2,求的值
14、( 2017 ·衢州)如图, AB 为半圆 O 的直径, C 为 BA 延长线上一点,CD 切半圆 O 于点 D。连结 OD ,作BE ⊥ CD 于点 E,交半圆 O 于点 F。已知 CE=12, BE=9
https://www.360docs.net/doc/499772968.html,
(1)求证:△ COD ∽△ CBE ;
(2)求半圆 O 的半径的长
15、( 2017 ·丽水)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=Rt ∠,以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D,切线 DE 交 AC 于点 E.
(1)求证:∠ A= ∠ ADE ;
(2)若 AD=16 , DE=10 ,求 BC 的长 .
16、( 2017?温州)如图,已知线段 AB=2 , MN ⊥ AB 于点 M ,且 AM=BM , P 是射线 MN 上一动点, E, D 分别是 PA ,PB 的中点,过点 A ,M ,D 的圆与 BP 的另一交点 C(点 C 在线段 BD 上),连结 AC ,DE .
https://www.360docs.net/doc/499772968.html,
(1) 当∠ APB=28°时,求∠ B 和的度数;
(2)求证: AC=AB .
(3)在点 P 的运动过程中
①当 MP=4 时,取四边形 ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点 Q,若以这三点为顶点的三角形是直角三
角形,且 Q 为锐角顶点,求所有满足条件的MQ 的值;
②记 AP 与圆的另一个交点为F,将点 F 绕点 D 旋转 90°得到点 G,当点 G 恰好落在 MN 上时,连结 AG ,CG, DG , EG,直接写出△ACG 和△ DEG 的面积之比.21*cnjy*com
17、( 2017?温州)如图,在△ ABC 中, AC=BC ,∠ ACB=90°,⊙ O(圆心 O 在△ ABC 内部)经过 B、 C 两点,交 AB 于点 E,过点 E 作⊙ O 的切线交 AC 于点 F.延长 CO 交 AB 于点 G,作 ED ∥ AC 交 CG 于点
D
(1)求证:四边形 CDEF 是平行四边形;
(2)若 BC=3 , tan∠ DEF=2 ,求 BG 的值.
18、( 2017?杭州)如图,已知△ ABC 内接于⊙ O,点 C 在劣弧 AB 上(不与点 A , B 重合),点 D 为弦 BC 的中点, DE ⊥ BC,DE 与 AC 的延长线交于点 E,射线 AO 与射线 EB 交于点 F,与⊙ O 交于点 G,设∠ GAB= ɑ,∠ ACB=β,∠ EAG+ ∠ EBA=γ,
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(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
ɑ30°40 °50° 60°
β120 130 140 150
° ° ° °
γ150 140 130 120
° ° ° °
猜想:β关于ɑ的函数表达式,γ关于ɑ的函数表达式,并给出证明:
(2)若γ =135,°CD=3 ,△ ABE 的面积为△ ABC 的面积的 4 倍,求⊙ O 半径的长.
19、( 2017?宁波)有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.
(1) 如图 1,在半对角四边形ABCD 中,∠ B=∠ D,∠ C=∠ A,求∠ B与∠ C的度数之和;
(2)如图 2,锐角△ ABC 内接于⊙ O,若边 AB 上存在一点 D,使得 BD= BO.∠ OBA 的平分线交 OA 于点
E,连结 DE 并延长交AC 于点 F,∠ AFE =2∠ EAF .
求证:四边形DBCF 是半对角四边形;2-1-c-n-j-y
(3)如图 3,在( 2)的条件下,过点 D 作 DG⊥ OB 于点 H,交 BC 于点 G.当 DH = BG 时,求△ BGH 与△ ABC 的面积之比.
20、( 2017 ·金华) (本题 10 分) 如图,已知:AB 是⊙ O 的直径,点 C 在⊙ O 上, CD 是⊙ O 的切线, AD ⊥CD 于点 D.E 是 AB 延长线上一点, CE 交⊙ O 于点 F,连结 OC,AC.
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(1)求证 :AC 平分∠ DAO.
(2)若∠ DAO=105°,∠ E=30°.
①求∠ OCE 的度数 .
②若⊙ O 的半径为2,求线段EF 的长 .
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】 C
【考点】勾股定理的应用,垂径定理的应用
【解析】【解答】解:∵OB=13cm,CD=8cm;
∴OD=5cm;
在RT △ BOD 中,
∴ BD===12 ( cm)
∴ AB=2BD=24 ( cm)
【分析】首先先作OC⊥ AB 交点为 D,交圆于点C,根据垂径定理和勾股定理求AB的长。
2、【答案】 B
【考点】直角三角形斜边上的中线,勾股定理,正方形的判定,切线的性质,弧长的计算
【解析】【解答】解:∵ O 为 BC 中点 .BC=2.
∴ OA=OB=OC=.
又∵ AC 、 AB 是⊙ O 的切线,
∴ OD=OE=r.OE ⊥ AC,OD ⊥ AB,
∵∠ A =90°.
∴四边形 ODAE 为正方形 .
∴∠ DOE=90° .
∴( 2r)2+( 2r)2=.
∴ r=1.
∴弧 DE=== .
故答案为 B.
【分析】根据O 为 BC 中点 .BC=2.求出 OA=OB=OC=;再根据 AC 、AB 是⊙ O 的切线,得出四边形
ODAE 为正方形;由勾股定理求出r 的值,再根据弧长公式得出弧DE 的长度 .
3、【答案】 A
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解:连接 OC,∵点 C 是以 AB 为直径的半圆O 的三等分点,
∴∠ ABC=30°,∠ BOC=120°,
又∵ AB 为直径,
∴∠ ACB=90°,
则 AB=2AC=4 ,BC=,
则 S 阴 =S 扇形BOC -S△BOC=-=-.
故选 A.
【分析】连接OC,S 阴 =S 扇形BOC -S△BOC,则需要求出半圆的半径,及圆心角∠BOC;由点 C 是以 AB 为
4、【答案】 A
【考点】垂径定理的应用,扇形面积的计算
【解析】【解答】解:作GH⊥AB, 交 CD 于 G,交 EF 于 H ,连接 OC、OD、 OE、 OF.
∵⊙ O 的直径 AB=10 ,CD=6 , EF=8 ,且 AB‖ CD‖ EF,
∴OG⊥CD,OH ⊥ EF,
∴∠ COG= ∠ DOG, ∠EOH= ∠FOH,
∴OE=OF=OC=OD=5 , CG=3 ,EH=4 ,
∴OG=4 , OH=3 ,
∵AB‖ CD‖ EF,
∴S△OCD =S△BCD, S△OEF=S△BEF,
2
π.
∴ S 阴影 =S 扇形ODC +S 扇形OEF=S 半圆 = π×5=
故答案是:π.
【分析】作GH⊥ AB, 交 CD 于 G,交 EF 于 H,连接 OC、 OD、OE、OF.由 AB‖CD‖EF,可得 OG⊥ CD,OH ⊥EF,∠ COG= ∠DOG, ∠ EOH= ∠ FOH,
S△OCD =S△BCD, S△OEF=S△BEF
2
π .,所以 S 阴影 =S 扇形ODC+S 扇形OEF =S 半圆 = π×5=
二、填空题
5、【答案】 50°
【考点】三角形内角和定理,切线的性质
【解析】【解答】解:∵AT 切⊙ O 于点 A , AB 是⊙ O 的直径,∴∠ BAT=90°,
∵∠ ABT=40°,
∴∠ ATB=50°,
故答案为: 50°
【分析】根据切线的性质和三角形内角和定理即可求出答案.
6、【答案】 140
【考点】等腰三角形的性质,圆周角定理
【解析】【解答】解:连接AD (如图) ,
∵AB 为⊙ O 的直径,
∴ AD ⊥ BC,
又∵ AB=AC, ∠BAC=40° ,
∴∠ BAD=20° ,∠ B=70°,
∴弧 AD 度数为 140°.
故答案为140.
可知 AD 平分∠ BAC ,可得∠ BAD=20°,然后求得∠ B=70°,再根据同弧所的周角等于其所心角的一半,从而得出答案 .
7、【答案】 20
【考点】弧的算
【解析】【解答】解:依可得:弧BC 的 ===20.
【分析】根据弧公式即可求得.2·1 ·c·n·j· y
8、【答案】 90°
【考点】心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解:∠DAE 与∠ DOE 在同一个中,且所的弧都是,
∠ DOE=2 ∠ DAE=2× 45°=90°.
故答案90°.
【分析】运用周角与心角的关系即可解答.
9、【答案】( 32+48π) cm2
【考点】扇形面的算
【解析】【解答】解:接OA, OB,
因弧 AB 的度数是 90°,
所以心角∠AOB=90°,
S 空白 =S 扇形AOB -S△AOB ==( cm2) ,
S 阴影 =S 圆 -S 空白 =64- () =32+48 ( cm2)。
故答案( 32+48π)cm2
【分析】先求出空白部分的面,再用的面减去空白的面就是阴影部分的面.接 OA , OB, S
空白 =S 扇形AOB -S△AOB,由弧AB的度数是90°,
可得心角∠AOB=90°,即可解答 .
10、【答案】 512
【考点】含 30 度角的直角三角形,切的性,探索数与式的律
【解析】【解答】解:如,接O1A 1,O2A 2,O3A 3,
∵⊙ O1,⊙ O2,⊙ O3,??都与 OB 相切,
∴O1A1⊥ OB ,
又∵∠ AOB=30° ,O1A 1=r1 =1=20 .
∴OO1=2,
在Rt△ OO 2A 2中,
∴ OO1+O 1O2=O 2A 2.
∴2+O 2A 2=2O 2A 2.
∴OO2=4=2 2,
??
依此推可得O n A n=r n=2=2 n-1.
∴O10A 10=r10=2=210-1=29=512.
故答案512.
【分析】根据的切性,和Rt 三角形中 30°角所的直角等于斜的一半;可知OO1=2; 同可知O1O2=2,OO2 =2+2=2 2; ?? OO n=2 n;O n A n=r n=2=2 n-1; 因此可得第 10 个⊙ O10的半径 .
11、【答案】 2
【考点】点到直的距离,勾股定理的用,解直角三角形
【解析】【解答】解:接 AP,依可得:要使 PQ 最小,只要 AP 最小即可,即 AP 垂直直,直与 x 交于 C( 4,
0),与 y 交于 B( 0,3),
在Rt△ COB 中,
∵ CO=4,BO=3,
∴AB=5,
∴ sinA==,
在Rt△ CPA 中,
∵ A ( -1, 0),∴
AC=5,
∴ sinA===
∴PA=3 ,
在Rt△ QPA 中 ,
∵QA=1,PA=3,
∴ PQ=
【分析】要使PQ
==2
最小,只要AP最小即可,即AP垂直直,求出直与坐的交点坐,再根据角
三角函数sinA====,从而求出PA, 再根据勾股定理求出PQ即可。
三、解答
12、【答案】( 1)解:在Rt△ABC中, AB===2.∵ BC⊥ OC
∴BC 是⊙ O 的切又∵
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
== .
( 2)解:在Rt△ ABC 中, sinA=
∴∠ A=30°.
∵ AB 切⊙ O 于点 D.
∴ OD⊥ AB.
∴∠ AOD=90° -∠ A=60°.
∵=tanA=tan30 °.
∴=.
∴OD=1.
S 阴影 == .
【考点】勾股定理,切线的性质,扇形面积的计算,解直角三角形
【解析】【分析】( 1)在 Rt△ ABC 中,利用勾股定理求出AB 的长,然后根据切线的判定证出BC 为切线,然后可根据切线长定理可求解.
( 2)在 Rt△ ABC 中,根据∠ A 的正弦求出∠ A 度数,然后根据切线的性质求出OD 的长,和扇形圆心角的度数,再根据扇形的面积公式可求解.【版权所有:21教育】
13、【答案】( 1)证明:∵△ ABC 是等腰直角三角形,
∴∠ C=∠ ABC=45° ,
∴∠ PEA= ∠ABC=45°
又∵ PE 是⊙ O 的直径,
∴∠ PAE=90° ,
∴∠ PEA= ∠APE=45° ,
∴ △ APE 是等腰直角三角形.
( 2)解:∵△ ABC 是等腰直角三角形,
∴AC=AB,
同理 AP=AE,
又∵∠ CAB= ∠ PAE=90° ,
∴∠ CAP= ∠BAE,
∴△ CPA ≌△ BAE,
∴CP=BE,
在Rt△ BPE 中,∠ PBE=90° ,PE=2,
222
∴ PB+BE =PE ,
∴ CP2+PB2=PE2=4.
【考点】全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,等腰
直角三角形
【解析】【分析】( 1)根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ ABC= ∠ PEA=45°,再由PE 是⊙ O的直径,得出∠ PAE=90°,∠ PEA= ∠APE=45° ,从而得证 .
14、【答案】( 1)解:∵ CD 切半圆于点 D ,OD 为⊙ O 的半径,
∴CD⊥ OD,
∴∠ CDO=90° ,
∵BE⊥ CD 于点 E,
∴∠ E=90°.
∵∠ CDO= ∠ E=90°,∠ C=∠C,
∴△ COD ∽△ CBE.
(2)解:∵在 Rt△ BEC 中, CE=12,BE=9,
∴CE=15,
∵△ COD ∽△ CBE,
∴,
即,
∴ r=.
【考点】切线的性质,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】( 1)根据 CD 切半圆于点D, BE ⊥ CD 于点 E,得出∠ CDO= ∠ E=90°,根据三角形两个角对应相等的两个三角形相似得出△COD ∽△ CBE.
( 2)根据( 1)中△ COD ∽△ CBE, 得出
15、【答案】( 1)证明:连结OD ,∵ DE是⊙ O
,从而求出半径。
的切线,
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∴∠ ODE=90°,
∴∠ ADE+ ∠ BDO=90°,
∵∠ ACB=90°,
∴∠ A+ ∠ B=90°,
又∵ OD=OB ,
∴∠ B=∠ BDO ,
∴∠ ADE= ∠ A.
(2)解:连结 CD ,∵∠ ADE= ∠ A,∴ AE=DE ,
∵BC 是⊙ O 的直径,∠ ACB=90° .∴EC 是⊙ O 的切线,∴ DE=EC ,
∴AE=EC.
∴AC=2DE=20 ,
在 Rt△ ADC 中, DC=.
设BD=x ,
在Rt△ BDC 中, BC 2=x 2+12 2, 在 Rt△ ABC 中, BC 2=(x+16) 2-202,
2222
∴ x+12 =(x+16)-20 ,解得 x=9
,
∴ BC=.
【考点】切线的性质
【解析】【分析】( 1)连结 OD ,根据切线的性质和同圆的半径相等,及圆周角所对的圆周角为90°,得到相对应的角的关系,即可证明;(2)由( 1)中的∠ ADE= ∠ A 可得 AE=DE ;由∠ ACB=90°,可得 EC 是⊙ O 的切线,由切线长定理易得DE=EC ,则 AC=2DE ,由勾股定理求出CD ;设 BD=x ,再可由勾股定理 BC 2= x2+12 2=(x+16) 2-202,可解出 x 的值,再重新代入原方程,即可求出BC.21 教育网
16、【答案】( 1)解:∵ MN ⊥ AB , AM=BM ,
∴ PA=PB ,
∴∠ PAB= ∠B ,
∵∠ APB=28°,
∴∠ B=76°,
如图 1,连接 MD ,
∵MD 为△ PAB 的中位线,
∴ MD ∥AP ,
∴∠ MDB= ∠APB=28°,
∴=2∠MDB=56°;
又∵∠ BAP=180° ﹣∠ APB ﹣∠ B ,∠ ACB=180° ﹣∠ BAC ﹣∠ B,∴∠ BAP= ∠ACB ,
∵∠ BAP= ∠B ,
∴∠ ACB= ∠ B ,
∴AC=AB ;
( 3)解:①如图2,记 MP 与圆的另一个交点为R,
∵MD 是 Rt△ MBP 的中线,
∴ DM=DP ,
∴∠DPM= ∠DMP= ∠RCD,
∴ RC=RP,
∵∠ ACR= ∠ AMR=90°,
∴ AM 2+MR 2 =AR 2=AC 2+CR 2,
2222
∴ 1 +MR =2 +PR,
∴ 12+( 4﹣ PR)2=22+PR2,
∴ PR=,
∴ MR=,
Ⅰ.当∠ ACQ=90°时, AQ 为圆的直径,
∴Q 与 R 重合,
∴MQ=MR=;
Ⅱ.如图3,当∠ QCD=90°时,
在 Rt△ QCP 中, PQ=2PR=,
∴ MQ=;
Ⅲ.如图4,当∠ QDC=90°时,
∵BM=1 ,MP=4 ,
∴ BP=,
∴ DP=BP=,
∵ cos∠ MPB==,
∴ PQ=,
∴ MQ=;
Ⅳ.如图5,当∠ AEQ=90°时,
由对称性可得∠AEQ= ∠ BDQ=90°,
∴ MQ=;
综上所述, MQ 的值为或或;
.②△ ACG 和△ DEG 的面积之比为
理由:如图 6,∵ DM ∥ AF ,∴
又由对称性可得GE=GD ,
∴△ DEG 是等边三角形,
∴∠ EDF=90° ﹣60°=30°,
∴∠ DEF=75° =∠MDE ,
∴∠ GDM=75° ﹣ 60°=15°,
∴∠ GMD= ∠PGD ﹣∠ GDM=15°,
∴GMD= ∠ GDM ,
∴GM=GD=1 ,
过C 作 CH⊥ AB 于 H,
由∠ BAC=30°可得 CH=AC=AB=1=MG , AH=,
∴CG=MH=﹣1,
∴ S△ACG =CG×CH=,
∵ S△DEG =,
∴ S△ACG: S△DEG =.
【考点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)根据三角形 ABP 是等腰三角形,可得∠ B 的度数,再连接 MD ,根据 MD 为△ PAB 的中位线,可得∠MDB= ∠ APB=28°,进而得到=2∠ MDB=56°;( 2)根据∠ BAP= ∠ ACB ,∠ BAP=∠ B ,即可得到∠ACB= ∠ B ,进而得出AC=AB ;( 3 )①记 MP 与圆的另一个交点为R ,根据AM 2+MR 2=AR 2=AC 2+CR 2,即可得到 PR=, MR=,再根据 Q 为直角三角形锐角顶点,分四种
情况进行讨论:当∠ACQ=90°时,当∠ QCD=90°时,当∠ QDC=90°时,当∠ AEQ=90°时,即可求得 MQ 的值为或或;②先判定△ DEG 是等边三角形,再根据GMD= ∠GDM ,得到 GM=GD=1 ,过 C 作CH ⊥AB于H,由∠ BAC=30°可得CH=AC=1=MG ,即可得到CG=MH=﹣1,进而得出S△ACG =
17、【答案】( 1)解:连接CE ,
∵在△ ABC 中, AC=BC ,∠ ACB=90°,∴∠ B=45°,
∵ EF 是⊙ O 的切线,
∴∠ FEC= ∠ B=45°,∠ FEO=90°,
∴∠ CEO=45°,
∵DE∥ CF,
∴∠ ECD= ∠ FEC=45°,
∴∠ EOC=90°,
∴EF∥OD ,
∴四边形 CDEF 是平行四边形;
( 2)解:过G 作 GN⊥ BC 于 M ,
∴△ GMB 是等腰直角三角形,
∴MB=GM ,
∵四边形 CDEF 是平行四边形,
∴∠ FCD= ∠FED ,
∵∠ ACD+ ∠ GCB= ∠ GCB+ ∠ CGM=90°,∴∠ CGM= ∠ACD ,
∴∠ CGM= ∠DEF ,
∵tan∠DEF=2 ,
∴ tan∠CGM==2,
∴CM=2GM ,
∴GM=1 ,
∴ BG=GM=.
【考点】平行四边形的判定与性质,切线的性质,解直角三角形
【解析】【分析】( 1)连接 CE,根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°,根据切线的性质得到∠FEC=∠B=45°,∠ FEO=90°,根据平行线的性质得到∠ ECD= ∠ FEC=45°,得到∠ EOC=90°,求得 EF∥ OD ,于
是得到结论;( 2)过 G 作 GN⊥ BC 于 N ,得到△ GMB 是等腰直角三角形,得到 MB=GM ,根据平行四边形的性质得到∠ FCD= ∠ FED,根据余角的性质得到∠ CGM= ∠ACD ,等量代换得到∠ CGM= ∠DEF ,根据三角函数的定义得到 CM=2GM ,于是得到结论.
18、【答案】( 1)解:β =α +90,°γ=﹣α +180 °
连接 OB ,
∴由圆周角定理可知:2∠ BCA=360° ﹣∠ BOA ,
∵OB=OA ,
∴∠ OBA= ∠ OAB=α,
∴∠ BOA=180° ﹣ 2α,
∴2β=360°﹣( 180°﹣ 2α),
∴β=α+90,°
∵D 是 BC 的中点, DE⊥ BC ,
∴ OE 是线段 BC 的垂直平分线,
∴ BE=CE ,∠ BED= ∠ CED,∠ EDC=90°
∵∠ BCA= ∠ EDC+ ∠CED ,
∴ β=90°+∠ CED ,
∴∠ CED=α,
∴∠ CED= ∠ OBA=α,
∴O、A 、 E、 B 四点共圆,
∴∠ EBO+ ∠ EAG=180°,
∴∠ EBA+ ∠ OBA+ ∠ EAG=180°,
∴γ+α=180°
( 2)解:当γ=135°时,此时图形如图所示,
∴ α=45°,β=135°,
∴∠ BOA=90°,∠ BCE=45°,
由( 1)可知: O、 A 、 E、B 四点共圆,
∴∠ BEC=90°,
∵△ ABE 的面积为△ ABC 的面积的 4 倍,
∴,
∴,
设CE=3x , AC=x ,
由( 1)可知: BC=2CD=6 ,
∵∠ BCE=45°,
∴CE=BE=3x ,
∴由勾股定理可知:(3x)2+( 3x)2=62,
x=,
∴ BE=CE=3,AC=,
∴ AE=AC+CE=4,
在Rt△ ABE 中,
由勾股定理可知:AB2=( 3)2+(4)2,
∴ AB=5,
∵∠ BAO=45°,
∴∠ AOB=90°,
在 Rt△ AOB 中,设半径为r,
由勾股定理可知: AB2=2r2,
∴ r=5,
∴⊙ O 半径的长为5.
【考点】余角和补角,三角形的面积,勾股定理,圆的综合题
【解析】【分析】( 1)由圆周角定理即可得出β=α+90,°然后根据 D 是 BC 的中点,DE⊥ BC,可知∠ EDC=90°,由三角形外角的性质即可得出∠ CED=α,从而可知 O、 A 、 E、 B 四点共圆,由圆内接四边形的性质可知:
∠EBO+ ∠EAG=180°,即γ=﹣α+180°;(2)由( 1)及γ=135°可知∠ BOA=90°,∠ BCE=45°,∠BEC=90°,
由于△ABE的面积为△ABC的面积的 4 倍,所以,根据勾股定理即可求出AE 、AC的长度,从
而可求出AB的长度,再由勾股定理即可求出⊙O 的半径r;
19、【答案】( 1)解:在半对角四边形ABCD中,∠B=∠ D,∠ C=∠A.
∵∠ A+ ∠ B+∠ C+∠ D=360°,
∴3∠B+3 ∠C=360°.
∴∠ B+∠ C=120°.
即∠ B 与∠ C 的度数之和120 °.
( 2)证明:在△BED 和△ BEO 中,