(完整版)八年级下册数学第十六章分式方程知识点与练习题,推荐文档
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16.3分式方程
一、基础知识:
1、分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程。
下列关于x 的方程哪1900015003004801232,,4,20,,,45030002321x x x x x x x x x x x x
-+==-=-===-=+-些是整式方程,哪些是分式方程?
2、分式方程的解法:
(1)去分母,方程两边乘最简公分母,化成整式方程。
(2)解整式方程。
(3)检验:把解带入最简公分母,使最简公分母不等于0的解是方程的解,否
则原分式方程无解。
例一、解分式方程:
(1) (2)30048042x x -=21233x x x
-=---(3) (4)2236111x x x +=+--32322
x x x +=+-3、分式方程的应用。(列方程解应用题)
(1)关于工程问题。
某工程,原计划由52人在一定时间内完成,后来决定自开工之日起采用新
技术,工作效率提高,现只派40人去工作,结果比原计划提前6天完成,求50%采用新技术后完成这项工程所需的天数。
(2)关于行程问题
从甲地到乙地共50千米,其中开始的10千米是平路,中间的20千米是上坡路,余下的20千米又是平路,小明骑自行车从甲地出发,经过2小时10分钟到达甲乙两地的中点,再经过1小时50分钟到达乙地,求小明在平路上的速度。(假设小明在平路上和上坡路上均保持匀速)
练习:
一、选择题
1.方程=的解为( )23+x 1
1+x A .x=B .x= - C .x=-2 D .无解542
12.(2009·山西中考)解分式方程11222x x x
-+=--,可知方程( )A .解为2x = B .解为4x = C .解为3x = D .无解3.关于x 的方程
211x a x +=-的解是正数,则a 的取值范围是( ).A .a >-1 B .a >-1且a≠0 C .a <-1
D .a <-1且a≠-2 4.用换元法解分式方程时,如果设,将原方程化为关于的整式方13101
x x x x --+=-1x y x -=y 程,那么这个整式方程是( )
A .
B .
C .
D .230
y y +-=2310y y -+=2310y y -+=2310y y --=二、填空题
5.方程 = 的解是
1x –22
x 6.当x =___________时,分式 的值等于2.
x +3
x -17.分式方程的解为 。1
211-=+x x 8.方程
2512x x
=-的解是 .9.若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解,则a = .
10.请你给x 选择一个合适的值,使方程成立,你选择的x =________。2112-=-x x 11.已知关于x 的方程32
2=-+x m x 的解是正数,则m 的取值范围为___ .12.(2008·烟台中考)请选择一组,a b 的值,写出一个关于x 的形如2a b x =-的分式方程,
使它的解是0x =,这样的分式方程可以是______________.
三、解分式方程
1、─ ─ 1 = 0
2、x x ─ 1 2 x ─ 2
x 13222
x x x --=--3、 4、14143=-+--x
x x 1321x x =+13.若关于x 的方程无解,求m 的值。12212(1)(2)
m m x x x x ++=----18.设,当为何值时,与的值相等?23111
x A B x x ==+--x A B
分式知识点总结和练习题讲义
分式知识点总结和题型归纳 (一)分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义: 一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 【例1】下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π,是分式的有: . 题型二:考查分式有意义的条件 分式有意义:分母不为0(0B ≠) 分式无意义:分母为0(0B =) 【例1】当x 有何值时,下列分式有意义 (1) 44+-x x (2)232+x x (3)1 2 2-x (4) 3||6--x x (5)x x 11- 题型三:考查分式的值为0的条件 分式值为0:分子为0且分母不为0(?? ?≠=0 B A ) 【例1】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1)3 1 +-x x (2)4 2||2--x x (3)6 53222----x x x x 【例2】当x 为何值时,下列分式的值为零: (1)4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或???<<00B A ) 分式值为负或小于0:分子分母异号(???<>00B A 或???><0 B A ) (1)当x 为何值时,分式x -84 为正; (2)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负; (2)当x 为何值时,分式32 +-x x 为非负数.
题型五:考查分式的值为1,-1的条件 分式值为1:分子分母值相等(A=B ) 分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 【例1】若 2 2 ||+-x x 的值为1,-1,则x 的取值分别为 (二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2.分式的变号法则:b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例1】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. (1)y x y x --+- (2)b a a --- (3)b a --- 题型三:化简求值题 【例1】 已知:511=+y x ,求y xy x y xy x +++-2232的值 【例2】 已知:21=-x x ,求2 21 x x +的值. 【例3】 若0)32(|1|2=-++-x y x ,求y x 241 -的值. 【例4】 已知:311=-b a ,求a ab b b ab a ---+232的值.
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 分式方程精华练习题 1.在下列方程中,关于x 的分式方程的个数(a 为常数)有( ) ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④. ;13 9 2=+-x x ⑤;621=+x ⑥211=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程 15 m x =-,下列说法正确的是( ) A .方程的解是5x m =+ B .5m >-时,方程的解是正数 C .5m <-时,方程的解为负数 D .无法确定 3.方程x x x -=++-1315112 的根是( )A.x =1 B.x =-1 C.x =83 D.x =2 4.,04412=+-x x 那么x 2的值是( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是( ) A. 112 11-++=-x x x 去分母得,1)2)(1(1-+-=+x x x ; B. 1255 52=-+-x x x ,去分母得,525-=+x x ; C.242222-=-+-+-x x x x x x ,去分母得,)2(2)2(2 +=+--x x x x ; D. ,1 1 32-=+x x 去分母得,23)1(+=-x x ; 6. .赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半书时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下面所列方程中,正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.21 10 10++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ,有增根,则m 的值是( )A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为( ) A.2,1 B.1,2 C.1,1 D.-1,-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a ( )A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1+-x x 10.使分式442-x 与6 52 6322+++-+x x x x 的值相等的x 等于( ) A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题(每小题3分,共30分) 11. 满足方程: 22 11-=-x x 的x 的值是________. 12. 当x =________时,分式x x ++51的值等于21. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地,每小时行驶v 1千米,t 小时可到达,如果每小时多行驶v 2千米,那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车速度为自行车速度的3倍,若设自行车的速度为x 千米/时,则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x .17.=a 时,关于x 的方程53221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 到B 的速度是,1v ,返回的速度是2v ,往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时,关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中,需要整修一段全长2400m 的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修路x m ,则根据题意可得方程 . 三、解答题(共5大题,共60分) 21. .解下列方程 (1) x x x --=+-34231 (2) 21 23442+-=-++-x x x x x (3)21124 x x x -=--. 22. 有一项工程,若甲队单独做,恰好在规定日期完成,若乙队单独做要超过规定日期3天完成;现在先由甲、乙两队合做2天后,剩下的工程再由乙队单独做,也刚好在规定日期完成,问规定日期多少天? 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶,但她在百货商场食品自选室内发现,同样的酸奶,这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱,因此,当第二次买酸奶时,便到百货商场去买,结果用去18.40元钱,买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍,问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶? 分式方程(1) 【学习目标】 1.了解分式方程的概念, 和产生无解的原因。 2.掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的解。 【重点】会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的解。 【自主学习】 1、预习内容:自学教材第149页 2、预习检测: 1) 中含有 的方程叫做分式方程。 2)你能再写出几个分式方程吗? 3)下列式子中,属于分式方程的是 ,属于整式方程的是 。 ①1213=-+x x ②21412x x -=- ③12312=+x x ④51≥x 【合作探究】 探究点一 类比学习探究分式方程的解法 1、解下列方程: (1)415-=x x (2)1 45-=x x ; 解:去分母(各项乘以公分母 ) 解:去分母(各项乘以最简 公分母________ _) ?-=?415 x x 约分得:()()54?=? 约分得:()()x x ?=-?)1( 去括号: 去括号: 移项: 移项: 合并同类项: 合并同类项: 系数化为1: 归纳:解分式方程的思路是将分式方程转化成 ,基本的方法是 (一般是方程两边同乘 )。且解分式方程必须 。 例1解方程 x x 332=- 例2解方程2)(1(311+-=--x x x x ?-=?145x x 2、解分式方程 1223x x =+ 2510512-=-x x 22411x x =-- 21133x x x x =+++ 例3、若关于x 的方程 021 1=--+x ax 无解,求a 的值 3、课后作业 1、=a 时,关于x 的方程 53221+-=-+a a x x 的解为零; 2、若关于x 的方程 3232-+=--x m x x 无解,则m 的值为 。 3、若代数式11 2--x 的值为零,则=x 4、若11-x 与1 2+x 互为相反数,则可得方程 ,解得=x 5、解方程: (1)1332+=-a a (2)88122-=--m m m (3) 22510x x x x -=+- 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n; am ÷ a n =am -n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = am b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b )(a-b )= a 2 - b 2 ;(a±b )2= a 2±2a b+b2 (一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中:y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的有: . 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3) 1 22-x (4) 3||6--x x (5)x x 11- 题型三:考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?(3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】(1)当x 为何值时,分式 x -84 为正; (2)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负; (3)当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1.当x 取何值时,下列分式有意义: (1) 3 ||61 -x (2) 1 )1(32++-x x ??(3) x 111+ 2.当x 为何值时,下列分式的值为零: (1)4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3.解下列不等式 (1) 01 2 ||≤+-x x (2) 03 252 >+++x x x (二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2.分式的变号法则: b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. (1)y x y x --+-? (2)b a a --- ?(3)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知: 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值. 提示:整体代入,①xy y x 3=+,②转化出 y x 1 1+. 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?初二数学分式方程练习题(含答案)
新人教版八年级数学分式方程
人教版初中数学专题复习---分式知识点和典型例习题
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx