北师大版2021年中考数学总复习《三角形的证明》(含答案)

北师大版2021年中考数学总复习

《三角形的证明》

一、选择题

1.如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关

系是（）

A.PD＞PC

B.PD=PC

C.PD＜PC

D.无法判断

2.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等

下列说法：

①点P在∠BAC的平分线上；

②点P在∠CBE的平分线上；

③点P在∠BCD的平分线上；

④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.

其中正确的是( )

A.①②③④

B.①②③

C.④

D.②③

3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三

角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）

A.1：1：1

B.1：2：3

C.2：3：4

D.3：4：5

4.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：

①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；

③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.

正确的有（）

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

5.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠

BCD的度数为（）

A.10°

B.15°

C.40°

D.50°

6.一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）

A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm

7.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△

PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）

A．25° B．30° C．35° D．40°

8.如图，已知下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分

成两个小等腰三角形的是（）

A.①③④

B.①②③④

C.①②④

D.①③

二、填空题

9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距

离为6，则BC的长是．

10.如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长

为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=8，AC=3，则△ACD的周长为．

11.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．

12.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长

为 .

三、解答题

13.如图所示，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

求证：DE=DF．

14.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.

(1)求证：CO平分∠ACD；

(2)求证：AB+CD=AC.

15.如图，△ACB和△ADE均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接BD，试猜想线段CE、BD之间的数量关系，并说明理由.

16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE.

(1)求∠DBE的大小；

(2)求证：AD=2BE.

参考答案

1.B

2.A

3.C

4.答案为：B

5.A

6.D

7.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C,∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，

∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．

8.答案为：A.

9.答案为：15．

10.答案为：11．

11.答案为：40°．

12.答案为：1.5；

13.证明：连接AD，

在△ACD和△ABD中，，

∴△ACD≌△ABD（SSS），

∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，

∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE=DF．

14.证明：(1)过O点作OE⊥AC于点E.

∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC

∴OB=OE，

又∵O是BD中点

∴OB=OD，

∴OE=OD，

∵OE⊥AC，∠D=90°

∴点O在∠ACD 的角平分线上

∴OC平分∠ACD.

(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中

∵

∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，

∴AB=AE，

在Rt△CDO和Rt△CEO中

∵

∴Rt△CDO≌Rt△CEO(HL)，

∴CD=CE，

∴AB+CD=AE+CE=AC.

15.解：CE=BD，

理由：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE，

∴∠DAB=∠EAC.

在△ADB和△AEC中，，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴CE=BD.

16.解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠BAC=45°，

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAC=22.5°，

∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，

∴∠ACD=∠BED=90°，

∵∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠CAD=22.5°.

(2)延长AC、BE交于点G.

∵AE⊥BG，∴∠AEB=∠AEG=90°，

在△AEB和△AEG中，，

∴△AEB≌△AEG，

∴BE=EG，

在△ACD和△BCG中，，

∴△ACD≌△BCG，

∴AD=BG=2BE，

∴AD=2BE.