实习11极射赤平投影在构造地质学中的应用

实习十一

极射赤平投影在构造地质学中的应用

一、目的要求

1、了解赤平投影的原理并初步掌握平面、直线和平面法线的投影方法。

2、学会用赤平投影方法换算真、视倾角和求岩层的真厚度。

3、学会用赤平投影中面的旋转方法。

4、学会用赤平投影对褶皱枢纽、轴迹和轴面产状的测算。

二、说明

极射赤平投影(Stereograph projection)简称赤平投影，主要用来表示线、面的方向，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素(线、面)反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，所以广泛应用于天文、航海、测量、地理及地质科学中。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此它是研究地质构造的不可缺少的一种手段。

赤平投影本身不涉及面的大小，线的长短和它们之间的距离，但它配合正投影图解，互相补充，则有利于解决包括角距关系在内的上述计量问题。

（一）投影原理

1、球面投影

极射赤平投影方法是在球面投影方法基础上发展而来的。

球面投影是以球面作为投影面，将通过球心的平面和直线投影到球面上的方法。直线的球面投影为两点，球面上的大园为平面的投影。

2、投影球要素（图1）

极射赤平投影是以圆球体作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:

投影球：又叫投射球。是以任意长为半径作成的球。投影球表面称为球面。球面、投影中心（球心）、三个特征直径（代表直立的AC、东西BD和南北EF三个坐标轴）赤平面：过投影球球心的水平面，即赤平投影面。赤平面（BEDF，将投影球分为上、下两个半球）

基圆：一个基园，赤平面与投影球面相交的大圆。或称赤平大圆，内设东西和南北径

线。注意，凡是过球心的平面与球面相交所成的圆，统称大圆。

极射点：球上两极的发射点。由上极射点，把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称下半球投影。反之以下极射点把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球投影。

这里采用下半球投影。

图1 投影球要素

3、极射赤平投影（简称赤平投影，图2）

以赤平面作投影面，以投影球最高点（极点）作发射点，将直线和平面的球面投影转投到赤平面上的方法。

（1）投影方法（下半球投影）平面：迹线法和极点法；直线：取下半球一点。

（2）赤平投影网的基本要素基园、两条直径（EW和SN向）、经线大园（南北走向向东或向西倾斜、纬线小园和五个特征点（N或0?、E或90?、S或180?、W或270?和园心）。

图2 赤平投影

（3）赤平投影网的类型等角距网—吴尔福网；等面积网—施密特网；极等面积网—赖特网。

（二）面和线的赤平投影

1、面的投影 SE130?∠40?

（1）过球心的平面投影

设想通过球心的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等）无限伸展，必与球面相交成一个直径与投影球直径相等的大圆。直立平面为一直立大圆，水平面为一水平大圆，倾斜平面为一倾斜大圆。上述球面大圆上的各点与极射点的连线必穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为相应大圆的极射赤平投影，简称大圆弧。直立大圆的赤平投影为基圆的一条直径；水平大圆的赤平投影就是基圆；倾斜大圆的赤平投影是以基圆直径为弦的大圆弧。

要点：直立大圆（平面）—为基圆直径；水平大圆（平面）—为基圆本身；倾斜大圆（平面）—以基圆直径为弧的大圆弧。

性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。

（2）不过球心的平面投影

不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。

要点：直立小圆（平面）—部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧；水平小圆（平面）—为基圆的同心圆；倾斜小圆（平面）。

性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆；2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大；3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线；4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。

2、直线的投影 SE130?∠30?

设想一直线通过球心，无限伸长必相交于球面两点，称极点。铅直线交于球面上下两点，水平直线交于基圆上两点，倾斜直线交于相应球面两点。这些交点与极射点的连线穿过赤平面的穿透点称直线的赤平投影点。铅直线投影点位于基圆中心，水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点距离等于基圆直径，倾斜直线的赤平投影点有一点在基圆内，另一点在基圆外，两点呈对折点，在赤平投影图上角距相差180。

铅直线投影点为基圆圆心。

水平线投影点为基圆直径的两个端点。

倾斜线股影点，一个在基圆内，另一个在基圆外，称对距点，其角距为180°。

（3）两面之间夹角平分线的投影 SE140?∠60?和SW200?∠60?

（4）已知真倾角求视倾角 SE130?∠40?，求SE160?和NE50?方位剖面上该面的视倾角分别是多少？

（三）吴尔福投影网

目前广泛使用的投影网有吴尔福创造的等角距投影网，简称吴氏网。吴氏网由基圆(赤平大圆)、经向大圆弧、纬向小圆弧等东西(EW)、南北 (SN)的经纬线组成。标准吴氏网的基圆直径为20厘米，经、纬度间距为2°，使用标准网投影误差可以不超过半度。

1、要素

基圆：赤平大圆，代表水平面由指北方向（N）为0°，顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用。

径大圆弧：由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°(每2°一个间隔)的许多平面投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线的各交点到直径端点(E点和W点)的距离，分别代表各平面的倾角值。

纬向小圆弧：由一系列走向东西而不通过球心的直立球面小圆的投影小圆弧组成。这些小圆弧离基圆圆心0愈远的，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心0愈近，则半径角距就愈大。纬向小圆孤也是2°一个间隔，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西直径线的距离是相等的。

2、赤平投影网的使用方法

把透明纸 (或透明胶片等)蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字中心，并用针固定于网心上，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北 (N)为0°，顺时针数至360°东西直径定倾角，一般是圆周为0°至圆心为90°。

3、吴氏网和施氏网的主要区别

吴氏网上，面积大小相等小圆，投影后成面积不等的小圆。

施氏网上，面积相等的球面小圆，投影后成加级曲线，面积等于球面小球面积二分之一。

一般求面、线的角距用吴氏网；而研究面、线群统计（极点图和等表图）用施氏网。

为了便于大量的极点投影，采用同心圆（水平小圆）和放射线（直立大圆）相成极等角度网和极等面积网（赖特网）投点。投射线表示化石向方位同心圆表示倾角。

（四）投影网的使用示例

1、平面的赤平投影

例:做产状为120°∠30°平面的赤平投影。

（1）透明纸上指北标记与网上N重合，以N为O°，顶时针数至120°得一点为倾向，过该点圆的直径为走向。

（2）转动透明纸使120°倾向的该点移至东西直径上，由圆周向圆心数30°的角距，得另一点，通过该点描绘经向大圆弧。

（3）把透明纸的指北标记转回到原来的指北方向，此时大圆弧表示的凸起方向和角距，即为平面120°∠30°的产状。

2、直线的赤平投影

例:做产状为330°∠40°直线的赤平投影。

（1）透明纸上指北标记与网上N重合，以N为0°顺时针数至330°。(北西象限) ，为该直线的倾伏向。

（2）把该点转动至东西直径上 (转至南北直径上也可)，由圆周向圆心数40°，并投点。

（3）把透明纸的指北标记转回到原来指北方向，该点即为该直线的赤平投影。

3、法线的赤平投影

是指平面法线的产状。平面及其法线的投影常常互为使用，只要注意到二者互相垂直，夹角相差90°，这样，投影操作就比较容易。由于法线投影是极点，平面投影是圆弧，所以往往用法线投影代表与其相对应的平面投影，就较为简单。

例:求一平面产状90°∠40°的法线投影。

（1）透明纸上指北标记与网上N重合，以N为O°顺时针数至90°，正好在东西直径的E点，过该点由圆周向圆内数40°，得一点，该点为平面倾斜线产状的投影。若继续数90°，显然己越过圆心进人相反倾向，得另一点，该点即为该平面法线产状。

（2）也可沿90°的反方向即以圆心向反倾向数至40°，即得该法线产状。因为从圆周数起和从圆心反向数起正好差90°

上述是单一的面、线的投影方法，是研究线与线、线与面、面与面相互关系的基础。

4、求相交两直线构成的平面产状

例:两直线产状为180°∠20°和120°∠ 36°，求所构成的平面产状。

（1）据前面的作法，透明纸上分别画出两直线产状，得出两个点。

（2）因为两相交直线可构成一个平面，转动透明纸，使该两点位于同一大圆孤上，井描绘此大圆弧 (即经度线)，它代表该平面产状。孤凸中心点到圆周的角距为该平面倾角，即该平面与水平面的最大夹角。

（3）把透明纸的指北标记转回到与网北重合，此时由圆心过弧凸中心点的连线与圆周相交得另一点，并从北开始，顺时针方向数至该点，即为该平面的倾向方位角。

5、求相交两直线的夹角及其平分线

例:同作法（四）。

（1）据作法（四）中1、2，得一两点构成的大圆弧 (产状正好120°∠36°)。

（2）大圆孤上两点之间的角距(54°)，即为相交两直线的夹角。该交角的平分角距点(27°)即为夹角平分线。

6、求平面上一真线的倾伏和侧伏

例：一平面产状180°∠37°，平面上一直线的侧伏向E、侧伏角44°，求该直线的倾伏向、倾伏角。

（1）据作法（一），透明纸上作出一平面的产状为一大圆弧。

（2）大圆孤走向对准网上S一N，从透明纸上E端开始，沿大圆弧数到44°纬向小圆孤的交点则为平面上直线所在的位置。

（3）在东西直径上，量角距既为该直线倾伏角 (得25°)；而在基圆上的交点则为该直线的倾伏向（128°）。

7、求两平面的交线产状

例：两平面产状70°∠40°和290°∠30°，求其交线产状。

（1）据作法（一），透明纸上按两平面的产状分别画出两大圆弧。

（2）两大圆弧交于一点，该点即为两平面交线的产状（4°∠13°）。

8、求两平面夹角及其等分线

例：同作法（七）。

（1）在作法（七）的基础上把两平面的交点转至EW直径上，沿该点相圆心方向数90°得辅助点，过该辅助点终于径向大圆弧，相当于与两平面交线成垂直的辅助平面。是两平面的公垂面。

（2）在辅助面大圆弧上数二面角的平分角距，得一点。

（3）转动透明纸，使这一点与上述两面的交点位与同一大圆弧上，即得二平面的夹平分面 (产状267°∠285°)。

（五）面状构造和线状构造的标绘法

面状构造通常是指岩石中的层理面、节理面、劈理面、片理面、断层面、流面以及摺皱轴面等；线状构造通常是指沉积岩形成时的波痕、砾石定向、岩浆岩中的流线以及次生的旷物线理、两面状构造的交线、擦痕及摺纹、枢纽等。面状构造和线状构造是表现地质构造几何形态和运动图象的基本要素。

学习赤平投影方法，首先必须熟练掌握单个面状和线状构造的标绘和测读。

（六）面状构造的真倾斜和视倾斜及线状构造的倾伏和侧伏的测算

1、真倾斜和视倾斜的测算:

野外只能测得斜交岩层或其它面状构造走向的两个视倾斜，所测的位置只要在同一层面上，则投影在赤平投影图上就反映为同一个大圆弧，所以可以应用作法（四），求相交两直线 (相当于两视倾斜线)构成平面的产状。

例：己知岩层两视倾斜①80°∠18°，②120°∠32°，求岩层真倾斜，并求180°方位(视倾向)剖面上的岩层视倾角。

2、构造的倾伏和侧伏测算：

线状构造除了它本身的产状特征外，多与面状构造密切有关。如层面上的波痕，流面上的流线，断层面上的擦痕，褶皱轴面上的枢纽，以及两面状构造交线与两面状构造的关系。总之，它们都反映了平面上一直线与该面走向之间的角距关系，因此可用侧伏向和侧伏角来表示该线状构造产状。

侧伏角的表示方法一般以侧伏角和位于侧伏角一侧的该平面的走向方向来表示，其习惯表示法如60°S，即指侧伏角60°，侧伏向大致向南。

（七）褶皱枢纽、轴迹和轴面产状的测算

摺皱枢纽产状一般可据褶皱两翼同一褶皱面的交线求得。

轴迹是轴面与任意截面的交线，表现为褶皱各岩层转折弯曲最明显的点的连线。

轴面产状可根据枢纽和轴迹求得 (因为二者都位于轴面上)。也可以根据平分褶皱两翼顶角的面来代替，但要注意所选二平面的部位和褶皱两翼地层厚薄是否对称。

（八）断裂构造的赤平投影和分析

这里着重讲述分析断裂面与应力的几何关系、共轭断裂与主应力关系。

共轭断裂与主应力之间有下列几何关系是：一对共轭断裂，两断面交线代表中间主应力轴σ2，垂直σ2并又互相垂直的为最大主(压)应力轴σ1和最小主应力轴σ3。理论上两共轭断裂面互相垂直成90°，但由于不同岩石中具有不同大小的内摩擦角(一般为30°)，因此，σ1所对的为锐角二面角(即90°30°)的平分线方向，σ3所对的为钝角二面角(即90°+30°)的平分线方向。

（九）求一平面（或直线）绕一水平轴旋转后的产状

1、预备知识

①水平轴与基圆的直径一致：其旋转轨迹就相对于把要旋转的点（直线或面的法线的投影）沿某一纬度旋转，角度在纬度上定，旋转方向，根据已知条件定，一平面绕轴旋转，产状变化，走向与轴平行时则倾向或一致或相反。

②纬向小圆弧的构造是旋转板平的双圆锥，其锥度为直立小圆；下半部圆锥面的产状与上半部圆锥的拉互关系。

2、例：一平面AB产状130°<50°，（RCD）走向60逆时针水平沿走向旋转30°

作法：①作出AB平面投影，RCD st.60°

②转动RCD与N.S重合

③将AB弧上任意点反钟向（向SE方向）旋30°，得新点，连接新点即在。注意有的点不够30°，要到外对焦去数。

3、用面的法线旋转

（十）求一平面（或直线）绕一倾斜轴旋后的产状

有间接法和直接法这分。均很繁琐。仅介绍前者，分二步：①高倾斜轴为水平轴。②按十法旋转再要原。

例：平面160°<40°，绕倾斜轴R（30°<30°），顺时针旋转120°，求该平面旋转后的产状。

方法：①作平面P和R的投影

②将R沿纬向弧转成水平轴至基圆上R’，P同步沿所在纬向弧运移到P1

③将R’转到SN径上，P1绕R’转120°（顺钟向），P2-P3

④R’复原到R，P3同步运移到P4，P4点即是

（十一）求作小圆，已知小圆投影圆心及其角距

例：一小圆投影圆心（相当旋转轴）产状10°<70°，小圆半径角距55°（相当于旋转轴与一直线夹角），求投影小圆（相当于求该直线绕旋转一圈的圆锥体的度面。

方法：

①作投影圆心R（10°<70°），并转到EW或SN径上，也可以在R的某大圆弧上取55°的角距半径。

②使R落在直径线上，以小圆角距的线长度为直径作小圆，即成。

③若已知R和小圆圆周上一点A，同法可作小圆。方法是大圆弧上量RA角距，使R转至直径上，以R为准，分别量RA角距，得直径角距，即可得小圆。

（十二）求作小圆，已知小圆投影圆心（R）方位及其圆周上两点

例：已知小圆圆心R的方位290°，小圆周上两点A、B，求作小圆及其投影圆心R的产状。

1）作A、B及290°方向线

2）作AB两点的垂直平分线与290°方向线交于C点，C点即为小圆O的作圆中心

3）以C为圆心，CA=CB 为半径作圆，而且小圆与290°方向线相交得小圆直径角距4）在位于EW直径上的290°方向线上，找小圆投影圆心R，即取角距的一半的点。

（十三）求小圆圆周上两点之间的弧度

例：见作法十三及图1-21，已求得小圆及小圆圆周上AB弧。其弧度量法：

1）直接法：即作与R⊥的大圆弧GMH，再过RA及RB分别作大圆弧，交GMH为A′、B′，同前沿线度移至A′、B′，延长R′A、OA′、OB′、R′B′至基圆周A〞B〞，OA〞,OB〞直线圆心角即得

3）注意A、B间的弧度有三个，θ或360-θ

（十四）求两小圆在同一大圆上同步旋转后的产状

便：两小圆投影圆心R1，R2，半径角距为θ1，θ2，求两小圆同前转至水平时的小圆转特。

方法：

1）据方法二、十二作R1，R2及小圆

2）使R1、R2位于同一大弧上，并以R1、R2大圆弧的走向线为轴，并将轴转到，SN 径上，把R1、R2沿所在纬向弧同前转到水平状态，则R1、R2变为R1，R2 3）分别将R1和R2转到SN径上，以R1和R2为圆心，θ1和θ2为半径角度，描出两小圆。

4）指北标志转回到N。

（十五）过通过三点A、B、C作一小圆及投影圆心（R）

作法：1）连接AB、BC分别作中垂线交于C’点，以C’为圆心，C’A、C’B、C’C 为半径画圆即为小圆。

2）把C’移到EW径上，取FC’D的角距中点R，为投影圆心

三、练习

1、某地测得各矿层产状为①170°∠70°，②280°∠50°，③10°∠16°，④直立面走向为290°，试用吴氏网绘出它们的赤平图。

2、已知岩层产状为①40°∠50°，②340°∠10°，试用吴氏网绘出它们的大圆弧及其极点产状。

3、己知铁矿层产状为270°∠40°，求它在下列各方向剖面上的视倾角N、290°、190°、120°(答：0°、38°，8°，36°)。

4、公路转弯两陡璧上，测得含金石英脉两视倾斜：120°∠16°和27°∠22°求该脉的真倾斜及150°方向剖面上的视倾角(答：181°∠30°、26°)。

5、岩层面产状为1501°∠40°，岩层面上有一擦痕线，其侧伏角30°S W，求该擦痕的倾伏向及倾伏角 (答，216°∠19°)。

6、一个背斜构造两翼产状为46°∠50°和344°∠20°，在一个产状为184°∠80°的陡壁面上测得该背斜轴迹的侧伏角为6n°W，求该背斜的轴面产状，并与用两翼顶角平分线和枢组构成共面的轴面作比较(答:枢组333°∠20°，轴迹259°∠59°，轴面257°∠59°一253°∠68°)。

7、一背斜在地面出露的轴迹走向为2O°，在横切背斜的河谷中测得坡面为180°∠70°，其上轴迹侧伏角50°E，求该背斜轴面产状(答，轴迹倾伏112°∠46°，轴面11O°∠46°)。

8、一褶皱的石灰岩层产状如下：74°∠61°，318°∠70°，41°∠51°，348°∠55°，15°∠49°。求①②③④⑤表示的摺皱枢纽的倾伏向和倾伏角，②褶皱轴面的倾向和倾角(据水平面上轴迹走向正北)，③轴面上枢纽的侧伏角。(答:24°∠49°,90°∠71°,54°N)。

9、一筒状矿体受两断层相交控制，现测得两断层产状分别为290°∠70°和210°∠60°，求筒状矿体产状(答：235°∠58°)。

10、一对共轭含金石英脉A和B，在陡壁上测得视倾斜A为250°∠40，B为l00°∠50°，在地面上量得走向A为330°，B为l0°。试求各主应力轴方位(答：σ1、= 81°∠7°，σ2、=173°∠19°,σ 3 =、332°∠268°)。(注意: 要先求得A、B的真倾斜)。

11、一条左行断层，产状为200°∠ 60°，在断层面上量得擦痕侧伏角为16°W，设该岩石内摩擦角为30°。求σ1、σ2、σ3、。如有共轭断层，其产状如何(答：σ1、=76°∠2°，σ2、=170°∠56°，σ3、=345°∠33°，共轭断层130°∠63°)。